《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5状态重构问题与 Luenberger状态观测器 前已指出,对于状态完全能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上,不仅是极点配置,而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制(LQ 问题等,也都可由状态反馈实现。然而,在42节介绍极点配置方法时,曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中,并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量, 因为噪声通常比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器,或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接量测,这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时,我们只需观测不可量测的状态变量,而不是可直 接量测的状态变量。例如,由于输出变量是能量测的,并且它们与状态变量线性相关,因而 无需观测所有的状态变量,而只需观测n-m个状态变量,这里n为状态向量的维数,m为输 出向量的维数 估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的,当且仅当系统满足能观测性条件 时,才能设计状态观测器 在下面有关状态观测器的讨论中,我们用ⅹ表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中,一般将被观测的状态向量用于状态反馈,以便产生期望的控制输入 考虑如下线性定常系统 x=Ax+Bu (4.27) y=Cx 假设状态向量x可由如下动态方程 Ax+ Bu+K,(y-Cx) 中的状态x来近似,则该式表示状态观测器,其中K。称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为y和u,输出为X。式(429)中右端最后一项包括可量测输出y与估计输
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 1 4.5 状态重构问题与 Luenberger 状态观测器 前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系 统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ) 问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在 4.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态 变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需 要估计不可量测的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量， 因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个纯微分 环节可使信噪比减小数倍。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能 量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或 简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接量测，这种 状态观测器均称为全维状态观测器。有时，我们只需观测不可量测的状态变量，而不是可直 接量测的状态变量。例如，由于输出变量是能量测的，并且它们与状态变量线性相关，因而 无需观测所有的状态变量，而只需观测 n-m 个状态变量，这里 n 为状态向量的维数，m 为输 出向量的维数。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称 降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最 小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 问题的提法 状态观测器基于可直接量测的输出变量和控制变量来估计状态变量。在前面讨论的能观 测性概念在这里具有重要的作用。正如在下面将要看到的，当且仅当系统满足能观测性条件 时，才能设计状态观测器。 在下面有关状态观测器的讨论中，我们用 x ~ 表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。 考虑如下线性定常系统 x = Ax + Bu (4.27) y = Cx (4.28) 假设状态向量 x 可由如下动态方程 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − (4.29) 中的状态 x ~ 来近似，则该式表示状态观测器，其中 Ke 称为观测器的增益矩阵。注意到状态 观测器的输入为 y 和 u，输出为 x ~ 。式（4.29）中右端最后一项包括可量测输出 y 与估计输
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 出Cⅹ之差的修正项。矩阵K起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量x。当此模型使 用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时,由于动态模型和实际系统 之间的差别,该附加修正项将减小这些影响。图45所示为带全维状态观测器的系统方块图 下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中 的附加修正项包含可量测输出与估计输出之差。在讨论过程中,假设在此观测器模型中使用 的矩阵A和B与实际系统使用的相同 B 图45全维状态观测器方块图 4.5.2全维状态观测器的误差方程 在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(427)和(4.28)定 义。观测器的方程由式(4.29)定义 为了得到观测器的误差方程,将式(4.27)减去式(429),可得 x-x= Ax-Ax-K (cx-Cx)=(A-K C)x-x)( 定义x与x之差为误差向量,即 则式(4.30)可改写为 =(A-KeC)e (431) 由式(431)可看出,误差向量的动态特性由矩阵A-KC的特征值决定。如果矩阵A-KC 是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e(O,误差向量e(都将趋近于零。也就是说,不管x (0)和x(O)的值如何,x()都将收敛到x(1)。如果所选的矩阵A-KC的特征值使得误差向量 2
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 2 出 C x ~ 之差的修正项。矩阵 Ke 起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量 x ~ 。当此模型使 用的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的矩阵 A 和 B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统 之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图 4.5 所示为带全维状态观测器的系统方块图。 下面将详细讨论用矩阵 A 和 B 以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其中 的附加修正项包含可量测输出与估计输出之差。在讨论过程中，假设在此观测器模型中使用 的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的相同。 图 4.5 全维状态观测器方块图 4.5.2 全维状态观测器的误差方程 在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（4.27）和（4.28）定 义。观测器的方程由式（4.29）定义。 为了得到观测器的误差方程，将式（4.27）减去式（4.29），可得 ) ~ ) ( )( ~ ( ~ ~ x x Ax Ax K Cx Cx A K C x x − = − − e − = − e − (4.30) 定义 x 与 x ~ 之差为误差向量，即 e x x ~ = − 则式（4.30）可改写为 e A K C e e = ( − ) (4.31) 由式（4.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵 A - KeC 的特征值决定。如果矩阵 A -KeC 是稳定矩阵，则对任意初始误差向量 e (0)，误差向量 e (t)都将趋近于零。也就是说，不管 x (0)和 x ~ (0)的值如何， ( ) ~ x t 都将收敛到 x (t)。如果所选的矩阵 A - KeC 的特征值使得误差向量
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量e()都将以足够快的速度趋近于零(原点) 此时将()称为x(m)的渐近估计或重构。 如果系统是完全能观测的,下面将证明可以通过选择K。,使得A-KC具有任意的期 望特征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵K。,以便产生期望的矩阵A-KC 4.5.3对偶问题 全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵K。,使得由式(4.31)定义的误 差动态方程,以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KC的特征值决定)。因此,全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的K。,使得 A-KC具有期望的特征值。此时,全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与42节讨论 的极点配置相同的问题。 考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu y=Cx 在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统 +C U n= B 的极点配置问题。假设控制输入为 K 如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得反馈闭环系统的 系统矩阵A-CK得到一组期望的特征值 如果1,凵2,…,n是状态观测器系统矩阵的期望特征值,则可通过取相同的作为其 对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值,从而 s1-(4-Ck)|=(s-H1Xs-2)(s-Hn) 注意到A-CK和A-KC的特征值相同,即有 sI-(A'-CK)=s/-(A 比较特征多项式s1-(A-K(C)和观测器的系统矩阵(参见式(4.31)的特征多项 式s-(A-KC),可找出K。和K7的关系为 因此,观测器问题与极点配置问题具有对偶关系,即 A→A,B→B,C→Cr,K2→K 在下面的讨论中,我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题,考虑为其对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 3 的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量 e (t)都将以足够快的速度趋近于零 (原点)， 此时将 ( ) ~ x t 称为 x (t)的渐近估计或重构。 如果系统是完全能观测的，下面将证明可以通过选择 Ke ，使得 A - KeC 具有任意的期 望特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵 Ke ，以便产生期望的矩阵 A - KeC。 4.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵 Ke ，使得由式（4.31）定义的误 差动态方程，以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KeC 的特征值决定）。因此，全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的 Ke ，使得 A-KeC 具有期望的特征值。此时，全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与 4.2 节讨论 的极点配置相同的问题。 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu = = + 在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统 n B z z A z C T T T = = + 的极点配置问题。假设控制输入为 = −Kz 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵 K，使得反馈闭环系统的 系统矩阵 A C K T T − 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,μn 是状态观测器系统矩阵的期望特征值，则可通过取相同的μi 作为其 对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值，从而 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n T T sI − A −C K = s − s − s − 注意到 A C K T T − 和 A K C T − 的特征值相同，即有 sI (A C K) sI (A K C) T T T − − = − − 比较特征多项式 sI (A K C) T − − 和观测器的系统矩阵（参见式（4.31））的特征多项 式 sI (A K C) − − e ，可找出 Ke 和 T K 的关系为 T Ke = K 因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即 T e T T T A A , B B , C C , K K 在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 的极点配置问题,即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵A,然后利 用关系式K=K,确定出原系统的观测器增益矩阵K 4.5.4可观测条件 如前所述,对于使A-AC具有期望特征值的观测器增益矩阵K。的确定,其充要条件 为原给定系统的对偶系统 2=A 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为 的秩为n。而这正是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味 着。由式(4.27)和(4.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。 下面将利用上述对偶关系,介绍全维状态观测器的设计算法,包括相应的Bass-Gura 算法、直接代入法,以及爱克曼公式 4.5.5全维状态观测器的Bass-Gura算法 考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统 x= Ax+ Bu 式中,x∈R,u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R。假设系统是状态完全能观测 的,又设系统结构如图45所示 在设计全维状态观测器时,若将式(4.32)和(433)给出的系统变换为能观测标准形, 则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系,将式(432)和(433)的系统变换为能 观测标准形,可按下列步骤进行,即首先定义一个变换矩阵P,使得 P=(R)-1 (4.34) 式中R是能观测性矩阵 R=[ C:A C…(A)"Cr] (4.35) 且对称矩阵W由式(4.6)定义,即 0 0 0 0 式中,a1是由式(432)给出的如下特征方程的系数
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4 的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵 K，然后利 用关系式 T Ke = K ，确定出原系统的观测器增益矩阵 K。 4.5.4 可观测条件 如前所述，对于使 A - KeC 具有期望特征值的观测器增益矩阵 Ke 的确定，其充要条件 为原给定系统的对偶系统 z A z C v T T = + 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为 [ ( ) ] T T T T n 1 T C A C A C − 的秩为 n 。而这正是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味 着。由式（4.27）和(4.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。 下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的 Bass-Gura 算法、直接代入法，以及爱克曼公式。 4.5.5 全维状态观测器的 Bass-Gura 算法 考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统 x = Ax + Bu (4.32) y = Cx (4.33) 式中， n n n n n x R u R y R A R B R C R 1 1 1 1 , , , , , 。假设系统是状态完全能观测 的，又设系统结构如图 4.5 所示。 在设计全维状态观测器时，若将式（4.32）和（4.33）给出的系统变换为能观测标准形， 则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（4.32）和（4.33）的系统变换为能 观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵 P，使得 1 ( ) − P = WR (4.34） 式中 R 是能观测性矩阵 [ ( ) ] T T T T T n 1 T R C A C A C − = (4.35) 且对称矩阵 W 由式（4.6）定义，即 = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1 a a a a a a W n n n n 式中， i a 是由式（4.32）给出的如下特征方程的系数
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 显然,由于假设系统是完全能观测的,所以矩阵WR的逆存在 现定义一个新的n维状态向量5为 则式(4.32)和(4.33)为 5=P-lAPE +P-Bu (4.37) 式中 0 0 P-1ap/I 0 6.-ab PB= (4.40) CP=[00…01 (4.41) 式(4.39)到(441)的推导见例47和48,此时式(4.37)和(438)即是能观测标准形 从而给定一个系统的状态方程和输出方程,如果系统是完全能观测的,并且通过采用式 (4.36)的变换,将原系统的状态向量x变换为新的状态向量,则可将给定系统的状态方 程和输出方程变换为能观测标准形。注意,如果矩阵A已经是能观测标准形,则P=l。 如前所述,选择由 G=A+ Bu+k(-Cx (A-K. C)X+ Bu +K, Cx (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义 443) 将式(443)代入式(442),有 P-(A-KCP5 +P- Bu (444) 由式(4.37)减去式(444),可得 P(A-KOP(S-S (4.45) 定义 则式(445)为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 5 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n sI A s a s a s a 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵 WR 的逆存在。 现定义一个新的 n 维状态向量ξ为 x = Pξ (4.36) 则式（4.32）和（4.33）为 P AP P Bu −1 −1 = + (4.37) y = CP (4.38) 式中 − − − = − − 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a a a P AP n n (4.39) − − − = − − − o n n o n n o b a b b a b b a b P B 1 1 1 1 1 (4.40) CP = [0 0 0 1] (4.41) 式（4.39）到（4.41）的推导见例 4.7 和 4.8，此时式（4.37）和（4.38）即是能观测标准形。 从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式 （4.36）的变换，将原系统的状态向量 x 变换为新的状态向量ξ，则可将给定系统的状态方 程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵 A 已经是能观测标准形，则 P = I。 如前所述，选择由 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e − = A K C x Bu K Cx − e + + e ~ ( ) (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义 ~ ~ x = P (4.43) 将式（4.43）代入式（4.42），有 P A KeC P P Bu P KeCP 1 ~ 1 1 ( ) ~ − − − = − + + (4.44) 由式（4.37）减去式（4.44），可得 ) ~ ( ) ( ~ 1 − = − − − P A KeC P (4.45) 定义 ~ = − 则式（4.45）为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) =P(A-K)Pa (446) 要求误差动态方程是渐近稳定的,且6(1)以足够快的速度趋于零。因此,确定矩阵K。的步 骤是:首先选择观测器的极点(A-KC的特征值),然后确定K。,使其等于期望的观测 器极点。注意P=WR,可得 C「k1 0CA‖k K 00 ‖k k2 由于P-K是一个n维向量,则令 (4.47) 参考式(441),有 06n P-K CP= 0 和 P(A-K, C)P=P-AP-P-KCP 0 0 特征方程为 sI-P-l(A-K C)P=0
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 6 P A K C P e ( ) 1 = − − (4.46) 要求误差动态方程是渐近稳定的，且 (t) 以足够快的速度趋于零。因此，确定矩阵 Ke 的步 骤是：首先选择观测器的极点（ A− KeC 的特征值），然后确定 Ke ，使其等于期望的观测 器极点。注意 P = WR −1 ，可得 = − − − − − − − − n n n n n n n n e k k k k CA CA CA C a a a a a a P K 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 式中 = n e k k k K 2 1 由于 P Ke −1 是一个 n 维向量，则令 = − − 1 1 1 n n P Ke (4.47) 参考式（4.41），有 = = − − − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 1] n n n n P KeCP 和 P A KeC P P AP P KeCP 1 1 1 ( ) − − − − = − − − − − − − − − = − − − − 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 a a a a n n n n n n 特征方程为 ( ) 0 1 − − = − sI P A KeC P 即
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 00 6n S 0 a,+0 S+a1+ 或者 +(a1+81)s"+(a2+62)s"2+…+(an+n)=0 可见,每个δ;只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 (s-41)(s-2)…(S-un)=s”+a1sn1+a2s"2+…+an1s+an=0(4.49 注意,期望的特征值μ:确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式(4.48)和(4.49)的s同幂项的系数,可得 ato=a a, a +d=a 从而可得 δn 于是,由式(4.47)得到 PK 8n-an-1-an-Il 因此 K。=P|-0|=()an1-an a1 式(4.50)确定了所需的状态观测器增益矩阵K 如前所述,式(4.50)也可通过其对偶问题由式(4.13)得到。也就是说,考虑对偶系 统的极点配置问题,并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么,状态观测器的增益矩阵
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 7 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 = − + + − + − + + − − − − s a s a s a s a n n n n n n 或者 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 1 + 1 + 1 + + + + + = − − n n n n n s a s a s a (4.48) 可见，每个δi 只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 ( )( ) ( ) 0 * * 1 * 2 2 * 1 − 1 − 2 − = + 1 + + + − + = − − n n n n n s s s n s a s a s a s a (4.49) 注意，期望的特征值μi 确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式（4.48）和(4.49)的 s 同幂项的系数，可得 + = + = + = n n n a a a a a a 2 2 2 1 1 1 从而可得 n n n a a a a a a = − = − = − 2 2 2 1 1 1 于是，由式（4.47）得到 − − − = = − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 1 a a a a a a P K n n n n n n e 因此 − − − = − − − = − − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 * 1 1 * 1 * ( ) a a a a a a WR a a a a a a K P n n n n n n n n e (4.50) 式（4.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵 Ke 。 如前所述，式（4.50）也可通过其对偶问题由式（4.13）得到。也就是说，考虑对偶系 统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵 K。那么，状态观测器的增益矩阵
《现代控制理论基础》第四章(讲义) K可由K确定(见例4.16)。 旦选择了期望的特征值(或期望的特征方程),只要系统状态完全能观测,就能设计 出全维状态观测器 Luenberger曾经指出,当观测器期望极点的选择,使衰减太快,即使A-KC特征值 的实部太负,将导致观测器的作用接近于一个微分器,从而使频带加宽,不能容忍地将高频 噪声分量放大,而且也存在观测器的可实现性问题(因为衰减速度太快,则矩阵K较大), 因此 Luenberger建议,进行观测器本身的极点配置时,只需使观测器的期望极点比由此组 成的闭环反馈系统A-BK的特征值稍大一些即可。一般地,选择的期望特征值,应使状态 观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2~5倍。 如前所述,全维状态观测器的方程为 x=(A-K,C)x+ Bu+ K (4.51) 注意,迄今为止,我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上, 这做不到。因此,误差动态方程不可能由式(4.46)给出,这意味着误差不可能趋于零。因 此,应尽量建立观测器的准确数学模型,以使相应的误差小到令人满意的程度 4.5.6求状态观测器增益矩阵Ke的直接代入法 与极点配置算法的情况类似,如果系统是低阶的(n≤3),可将矩阵K。直接代入期望的 特征多项式进行计算。例如,若x是一个3维向量,则观测器增益矩阵K。可写为 K。=k 将该K代入期望的特征多项式 C)|=(s-1s-2Xs-2) 通过使上式两端s的同次幂系数相等,即可确定出ka、ka2和k3的值。如果n=12或 者3,其中n是状态向量x的维数,则该方法十分简便(虽然该方法可应用于n=4,5,6 的情况,但计算有可能非常繁琐) 4.5.7爱克曼公式( Ackermann' s Formula) 考虑如下的单输出线性定常系统 Ax+ Bu =Cx 在42节中,我们已推导了用于式(4.52)系统极点配置的爱克曼公式,其结果已由式 (4.18)给出,现重写为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 8 Ke 可由 T K 确定（见例 4.16）。 一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计 出全维状态观测器。 Luenberger 曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使 A− KeC 特征值 的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频 噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵 Ke 较大)， 因此 Luenberger 建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组 成的闭环反馈系统 A − BK 的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态 观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快 2~5 倍。 如前所述，全维状态观测器的方程为 x A K C x Bu Ky = − e + + ~ ( ) ~ (4.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵 A 和 B 与实际系统中的严格相同。实际上， 这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（4.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因 此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。 4.5.6 求状态观测器增益矩阵 e K 的直接代入法 与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的( n 3 )，可将矩阵 Ke 直接代入期望的 特征多项式进行计算。例如，若 x 是一个 3 维向量，则观测器增益矩阵 Ke 可写为 = 3 2 1 e e e e k k k K 将该 Ke 代入期望的特征多项式 ( ) ( )( )( ) − − = − 1 − 2 − 3 sI A K C s s s e 通过使上式两端 s 的同次幂系数相等，即可确定出 e1 k 、 e2 k 和 e3 k 的值。如果 n =1,2 或 者 3，其中 n 是状态向量 x 的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于 n = 4, 5, 6, … 的情况，但计算有可能非常繁琐）。 4.5.7 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑如下的单输出线性定常系统 x = Ax + Bu (4.52) y = Cx (4.53) 在 4.2 节中，我们已推导了用于式（4.52）系统极点配置的爱克曼公式，其结果已由式 （4.18）给出，现重写为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) K=[00…0IB:AB:…:AmBp(A) 对于由式(4.52)和(453)定义的对偶系统 E=A=+C n= B 上述极点配置的爱克曼公式可改写为 K=|00…0ICr:ACr (4)Crp'(A)(.54) 由于状态观测器的增益矩阵K。可由K给出,这里的K由式(4.54)确定。从而 CA CA 0 0 K.=K=(4) 6(A) O (AR CA CA-20 0 CA-I 式中,φ(s)是状态观测器的期望特征多项式,即 p(s)=(s-1s-42)…(s-n) 这里,μ,H2…,μn是期望的特征值。式(455)称为确定观测器增益矩阵K的爱克曼 公式 4.5.8最优le选择的注释 参考图4.5,应当指出,作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵K,通过反馈信 号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素,那么利用矩阵K。的反馈信号也应 该比较大。然而另一方面,如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰,则输出y 是不可靠的。因此,由矩阵K引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵K2时,应该仔细 检查包含在输出y中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵K依赖于期望的特征方程 (s-1)(s-2)…(S-n)=0 在许多情况中,1,H2…;n的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程,可有不同的观测器增益矩阵K。 在设计状态观测器时,最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 K。对不同的矩阵K必须进行仿真验证,以评估系统的最终性能。当然,应从系统总体 性能的观点来选取最好的K。在许多实际问题中,最优矩阵K。的选取,归结为对快速响应 及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 9 [0 0 0 1][ ] ( ) 1 1 * K B AB A B A n − − = 对于由式（4.52）和(4.53)定义的对偶系统 n B z z A z C T T T = = + 上述极点配置的爱克曼公式可改写为 [0 0 0 1][ ( ) ] ( ) T T T T n 1 T 1 * T K C A C A C A − − = (4.54) 由于状态观测器的增益矩阵 Ke 可由 T K 给出，这里的 Ke 由式（4.54）确定。从而 = = = = − − − − − − − 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) * 1 1 1 2 * 1 1 2 * A R CA CA CA C A CA CA CA C K K A n n n n T T T e (4.55) 式中， ( ) * s 是状态观测器的期望特征多项式，即 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 * n s = s − s − s − 这里，μ1, μ2, …,μn 是期望的特征值。式（4.55）称为确定观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼 公式。 4.5.8 最优 e K 选择的注释 参考图 4.5，应当指出，作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵 Ke ，通过反馈信 号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素，那么利用矩阵 Ke 的反馈信号也应 该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出 y 是不可靠的。因此，由矩阵 Ke 引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵 Ke 时，应该仔细 检查包含在输出 y 中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵 Ke 依赖于期望的特征方程 (s − 1 )(s − 2 )(s − n ) = 0 在许多情况中，μ1, μ2, …,μn 的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的观测器增益矩阵 Ke 。 在设计状态观测器时，最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 Ke。 对不同的矩阵 Ke 必须进行仿真验证，以评估系统的最终性能。当然，应从系统总体 性能的观点来选取最好的 Ke 。在许多实际问题中，最优矩阵 Ke 的选取，归结为对快速响应 及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。 ------------------------------------------------------------------------------
《现代控制理论基础》第四章(讲义) [例4.2]考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu 式中 020.6 C=[01 设计一个全维状态观测器。设系统结构与图45所示相同。又设观测器的期望特征值为 1=-1.8+j24,2=-1.8-24 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵K。,为此先检验 能观测性矩阵,即 的秩为2。因此,该系统是完全能观测的,并且可确定期望的观测器增益矩阵K。。我们将 用3种方法来求解该问题。 I解」方法1:采用式(450)来确定观测器的增益矩阵。由于该状态空间表达式已是能观 测标准形,因此变换矩阵P=(R)=1。由于给定系统的特征方程为 20.6 ISI-Al =s2-20.6=s+a1S+a2=0 因此 0.6 观测器的期望特征方程为 (S+18-j24)(s+1.8+j24)=s2+36s+9=s2+a1s+a2 因此 36,a2=9 故观测器增益矩阵K可由式(4.50)求得如下 K=()-a2-a2 109+2061296 a -a 0113.6-0 3.6 方法2:参见式(4.31) e=(A-k,c)e 观测器的特征方程为
《现代控制理论基础》第四章(讲义) 10 [例 4.2] 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu = = + 式中 , [0 1] 1 0 , 1 0 0 20.6 = = A = B C 设计一个全维状态观测器。设系统结构与图 4.5 所示相同。又设观测器的期望特征值为 1 = −1.8+ j2.4, 2 = −1.8− j2.4 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵 Ke ，为此先检验 能观测性矩阵，即 = 1 0 0 1 [ ] T T T C A C 的秩为 2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵 Ke 。我们将 用 3 种方法来求解该问题。 [解] 方法 1：采用式（4.50）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态空间表达式已是能观 测标准形，因此变换矩阵 P = WR = I −1 ( ) 。由于给定系统的特征方程为 20.6 0 1 20.6 | | 1 2 2 2 = − = + + = − − − = s s a s a s s sI A 因此 a1 = 0, a2 = −20.6 观测器的期望特征方程为 * 2 * 1 2 2 (s +1.8 − j2.4)(s +1.8 + j2.4) = s + 3.6s + 9 = s + a s + a 因此 3.6, 9 * 2 * a1 = a = 故观测器增益矩阵 Ke 可由式（4.50）求得如下 = − + = − − = − 3.6 29.6 3.6 0 9 20.6 0 1 1 0 ( ) 1 * 1 2 * 1 2 a a a a Ke WR 方法 2：参见式（4.31） e A K C e e = ( − ) 观测器的特征方程为 sI − A+ KeC = 0
