《现代控制系统 The Academy of Armored Force Engineering of PLA》第九章 频域稳定性（9.4-9.8）

94相对稳定性和 Nyquist稳定性判据 在s平面上,用每个根或每对根的相对调节时间来度量 相对稳定性。 本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。 Nyquist 稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息,而且还 能够用于定义和估算系统的相对稳定性。 Nyquist稳定性判据是以极坐标图上的(-1,0)点,或者 Bode图和对数幅-相图上的(dB,-180)点为基础的。显然, GH(s)的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相 对稳定性的度量

9.4 相对稳定性和Nyquist稳定性判据 在s平面上，用每个根或每对根的相对调节时间来度量 相对稳定性。 本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。Nyquist 稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还 能够用于定义和估算系统的相对稳定性。 Nyquist稳定性判据是以极坐标图上的(-1,0)点，或者 Bode图和对数幅-相图上的 点为基础的。显然， 的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相 对稳定性的度量。 (0 dB, -180 )  GH(s)

考虑 K GHG jo(1+1)j2+1) k(丌1+z2) K2>k>k K I GHOo) 图918

( 1)( 1) ( ) 1 + 2 + =     j j j K G H j 考虑 图 9.18

1)通过幅值定义相对稳定性 该轨迹与轴的交点为 + 2 当l2-1或K=(42)时,系统在jo轴上存在特征 T,T 根。随K值从该临界值下降,稳定性将随之增加,并且在 临界增益K=(x1+2)12与增益k=K2之间的裕量就是 相对稳定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量 ( gaIn margIn),它定义为相角达到-180(即v=0)时 的增益GH(o)的倒数。增益裕量是GH(jo)的轨迹通过 u=-1点之前系统能够增加多少倍增益的度量

该轨迹与轴的交点为 1 2 1 2     + − = K u u = −1 ( ) 时，系统在 轴上存在特征 1 2 1 2    + 或 K = j 根。随K值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在 临界增益 与增益 之间的裕量就是 相对稳定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量 （gain margin），它定义为相角达到 （即 ）时 的增益 的倒数。增益裕量是 的轨迹通过 点之前系统能够增加多少倍增益的度量。 1 2 1 2 K = ( + )/  K = K2 当  −180 v = 0 GH( j) GH( j) u = −1 1）通过幅值定义相对稳定性

对于图918所示的增益K=K2,增益裕量等于V=0时 GH()的倒数。由于当相角为-180时,有=1√x2, 所以增益裕量为 K,71z GH(j@ LI,+t2 增益裕量可以用对数形式(分贝)定义为 20log d -20 log d dB 增益裕量是当相位为-180°时,系统的 Nyquist曲线与 1+j0点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最 大增益量

对于图 9.18所示的增益 ，增益裕量等于 时 的倒数。由于当相角为 时，有 ， 所以增益裕量为 K = K2 v = 0 GH( j)  −180 1 2  =1/   d K GH j 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 2  =      + = −      增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为 20log dB 1 20log d d  = −      增益裕量是当相位为 时，系统的Nyquist曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最 大增益量。  −180 −1+ j0

2)通过相位定义相对稳定性 相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳 定系统之间的相角差来定义。当 于是,作为相对稳定性的一种度量一相位裕量定义为 GH(O)轨迹在单位幅值GH()=1点上通过GH(o) 平面上的(-1,0)点时所转过的相角量。这种相对稳定 性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量 该信息可以从图9.18所示的 Nyquist曲线确定。当增益 K=K时,系统变成不稳定之前可以增加一个相位角 2。而对于增益K;相位裕量等于d2如图918所示

相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳 定系统之间的相角差来定义。当 2）通过相位定义相对稳定性 于是，作为相对稳定性的一种度量—相位裕量定义为 轨迹在单位幅值 点上通过 平面上的 点时所转过的相角量。这种相对稳定 性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。 GH( j) GH( j) =1 GH( j) (−1 , 0) 该信息可以从图9.18所示的Nyquist曲线确定。当增益 时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角 。而对于增益 ，相位裕量等于 ，如图9.18所示。 K = K2  2 K1 1

相位裕量是当幅值为1时,系统的 Nyquist曲线与-1+10 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。 3)由Bode图判断稳定性 考察开环频率特性函数GH(o) j0(0+1)(0.2jc+1) Asymptotic curve Actual curve 180 0.1 0.5 2

相位裕量是当幅值为1时，系统的Nyquist曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。 −1+ j0 3) 由Bode图判断稳定性 考察开环频率特性函数 ( 1)(0.2 1) 1 ( ) + + =     j j j GH j

4)由对数幅-相图图判断相对稳定性 GH GHGON GH jo(O+1)(0.2j+1) 70.24 GH2 O) jaUja+l) 0.67 078 Gain 第一个更稳定些。 I& 210 d

4) 由对数幅-相图图判断相对稳定性 ( 1)(0.2 1) 1 ( ) 1 + + =     j j j GH j 2 2 ( 1) 1 ( ) + =    j j GH j 第一个更稳定些

5)确定二阶系统的增益裕量,以及相位裕量与欠阻尼 系统的阻尼比5的关系。 考虑图9.1所示的系统,其中开环传递函数为 GH(S) S(S+25@m) 该二阶系统的特征方程为 s2+220nS+On=0 S=-sontj@ 频率传递函数为 GHG 0(+22n)

5) 确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼 系统的阻尼比  的关系。 考虑图9.1所示的系统，其中开环传递函数为 ( 2 ) ( ) 2 n n s s GH s   + = 该二阶系统的特征方程为 2 0 2 2 s +  n s + n = 2 s = − n  j n 1− ( 2 ) ( ) 2 n n j j GH j      + = 频率传递函数为

在频率o处,频率响应的幅值等于1,于是有 O(02+442m,21/2=1 (o2)2+42o2(2) 0 =(44+1) 12-2

在频率 c 处，频率响应的幅值等于1，于是有 1 ( 4 ) 2 2 2 1/ 2 2 = c c + n n      ( ) 4 ( ) 0 2 2 2 2 2 4 c +   n c − n = 4 1/ 2 2 2 2 (4 1) 2   = + − n c

于是,该系统的相位裕量为 =180°-90°-tan-()=90°-tan([( 44++1)2-2-21/2 250n tan (25[ 1/2 (424+1)12-2z2 提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式 提供了频率响应和时间响应之间的关系。 5=0.0102m,其中相位裕量的单位为度

] ) (4 1) 2 1 tan (2 [ [(4 1) 2 ] ) 2 1 ) 90 tan( 2 180 90 tan ( 1/ 2 4 1/ 2 2 1 1 4 1/ 2 2 1/ 2          + − = = − − = − + − −   −  n c p m 于是，该系统的相位裕量为 提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式， 提供了频率响应和时间响应之间的关系。  01 pm = 0. ，其中相位裕量的单位为度