第7章根轨迹法 个闭环控制系统的稳定性和瞬态性能是直接和特征方程 式在平面内闭环根的位置有关的。常常需要调整系统的 个或几个参数以得到合适的根的位置。所以,当参数变化 时研究给定系统特征方程式的根在s-平面上如何移动是 很有价值的。也就是说当一个参数变化时研究s平面内根 的轨迹是很有用的。根轨迹法是由Evan在1948年提出的 并且在控制工程中得到很大的发展和应用。根轨迹技术是 当一个参数变化时在s一平面中绘出根的轨迹的一种图解 方法
一个闭环控制系统的稳定性和瞬态性能是直接和特征方程 式在平面内闭环根的位置有关的。常常需要调整系统的一 个或几个参数以得到合适的根的位置。所以，当参数变化 时研究给定系统特征方程式的根在s－平面上如何移动是 很有价值的。也就是说当一个参数变化时研究s平面内根 的轨迹是很有用的。根轨迹法是由Evans在1948年提出的 并且在控制工程中得到很大的发展和应用。根轨迹技术是 当一个参数变化时在s－平面中绘出根的轨迹的一种图解 方法。 第7章 根轨迹法
主要内容: 7.1根轨迹的概念 7.2绘制根轨迹的方法 7.3用根轨迹法分析和设计控制系统 7.4用根轨迹法设计参数 7.5灵敏度和根轨迹 7.6PID控制器 7.7设计举例:激光操纵器控制系统设计 机器人控制系统设计 7.8应用 MATLAB绘制根轨迹
7.1 根轨迹的概念 7.2 绘制根轨迹的方法 7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统 7.4 用根轨迹法设计参数 7.5 灵敏度和根轨迹 7.6 PID控制器 7.7 设计举例: 激光操纵器控制系统设计 机器人控制系统设计 7.8 应用MATLAB绘制根轨迹 主要内容：
71根轨迹的概念 )单回路 R(S)一 G(5) Y(s) 图71有一个可变参数K的闭环控制系统 其传递函数为 T(S)= Y(s KG(s) R(s 1+KG(s) 其特征方程式为 1+kG(S)=0 式中K是一个可变参数
图 7.1 有一个可变参数K的闭环控制系统 其传递函数为 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KG s KG s R s Y s T s + = = 其特征方程式为 1+ KG(s) = 0 式中K是一个可变参数。 7.1 根轨迹的概念 一）单回路
将特征方程写成极坐标形式为 KG(s)∠KG(s)=-1+0 从而 KG(s=1 ∠KG(s)=180°±k360 式中k=0,±1,±2,士3,。 根轨迹是当系统参数变化时特征方程式的根 在s-平面内变化的轨迹
将特征方程写成极坐标形式为 KG(s)KG(s) = −1+ j0 从而 KG(s) =1 KG(s) =180 k360 式中k=0,±1, ±2, ±3,…。 根轨迹是当系统参数变化时特征方程式的根 在s－平面内变化的轨迹
R()→○ Y(s) S(S+2) 图72单位反馈控制系统,增益K是一个可变参数 该系统的特征方程式是 △(s)=1+KG()=1+ 0 或 S(S+2) q(s)=s2+2s+K=s2+250ns+On=0
图7.2 单位反馈控制系统，增益K是一个可变参数 该系统的特征方程式是 0 ( 2) ( ) 1 ( ) 1 = + = + = + s s K s KG s ( ) 2 2 0 2 2 2 q s = s + s + K = s + n s + n = 或
当增益K变化时根轨迹要求满足 K G(s S(S+2) ∠G(s)=±180°,+540 其中增益K可以由零变到一个无穷大的正数
当增益K变化时根轨迹要求满足 1 ( 2) ( ) = + = s s K G s G(s) = 180 ,540 , 其中增益K可以由零变到一个无穷大的正数
上述二阶系统的极点为 S,=-5O,± 2 K =0 两个共轭复根,实部为0; 0〈<1两个共轭复根,实部为负 两个相等负实根; )1两个不等负实根
, 1 2 s1 s2 = − n n − 上述二阶系统的极点为 ζ=0 两个共轭复根，实部为0； 0〈ζ<1 两个共轭复根，实部为负； ζ=1 两个相等负实根； ζ 〉1 两个不等负实根。 K 1 =
当0(1时,令此时虚部为正数的极点为s K 180)+]=-180° s(+ 2)/a==-∠S1-∠(s1+2)=- 2 在垂直线上任何点都满足角度的要求,因为它是实轴 由0到一2的垂直等分线。 K K s(s+2) +2 S=S K=s+2
当0〈ζ<1时，令此时虚部为正数的极点为s1， ( 2) [(180 ) ] 180 ( 2) 1 = − 1 − 1 + = − − + = − + = s s s s K s s 在垂直线上任何点都满足角度的要求，因为它是实轴 由0到－2的垂直等分线。 1 ( 2) 1 1 2 1 = + = + = s s K s s K s s K = s1 s1 + 2
K (U K Increasing K 图7.3 K 二阶系统的根轨迹 K Increasing roots of the losed-loop K svstem X- poles of the open-Io0 system K
图7.3 二阶系统的根轨迹
二)多回路 由梅逊公式可以得到 MM A(s)=1-∑Ln+∑Ln∑LLL+ q 其形如 △(S)=1+F(S) 因此特征方程为△(s)=1+F(s)=0 F(s)=-1+0j
二）多回路 由梅逊公式可以得到 = − + − + = r s t N n M N m q s Ln Lm Lq L L L 1 , , ( ) 1 其形如 (s) =1+ F(s) 因此特征方程为 (s) =1+ F(s) = 0 F(s) = −1+ 0 j