24线性系统的传递函数 )传递函数的定义 线性系统的传递函数( transfer function)被定义为系统输出 变量的 Laplace变换与输入变量的 Laplace变换之比,其中所有 初始条件均假定为零 适用范围:定常线性系统,具有一个时变参数的系统。 传递函数的意义:系统行为特性的一个输入输出描述;不包 含系统内部结构及其内部行为特性的任何信息 MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 0 2.4 线性系统的传递函数 一）传递函数的定义 线性系统的传递函数（transfer function）被定义为系统输出 变量的Laplace变换与输入变量的Laplace变换之比，其中所有 初始条件均假定为零。 适用范围：定常线性系统，具有一个时变参数的系统。 传递函数的意义：系统行为特性的一个输入输出描述；不包 含系统内部结构及其内部行为特性的任何信息
例6:弹簧质量-阻尼器系统 M4y(),,.d() d2+6 +ky()=r() 其传递函数为 输出 Y(S) 输入 G(S) R(S Ms+bs+k MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 1 例 6：弹簧-质量-阻尼器系统 R s Ms bs k Y s G s + + = = = 2 1 ( ) ( ) ( ) 输入 输出 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 k y t r t dt dy t b dt d y t M + + = 其传递函数为
例7:RC电路 (1)=R(t)+()dh v2(t)=(0 图2.13RC网络 进行 Laplace变换 n1(s)=(R+1()p2(s)=l(s 时间常数 S (1/z) 2(s)= S T(S VI(s) RCS +1 IS +1 5+1/ R Cs MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 2 例 7：RC电路 图2.13 RC网络 ( ) 1 ( ) 1 I s Cs V s R = + = Cs V s I s 1 ( ) ( ) 2 1/ (1/ ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 + = + = + = = V s RCs s s V s G s = + t i t dt C v t Ri t 0 1 ( ) 1 ( ) ( ) = t i t dt C v t 0 2 ( ) 1 ( ) 进行Laplace变换 Cs R V s Cs V s 1 ( ) 1 ( ) 1 2 + = 时间常数
二)激励作用下一般系统输出响应的结构 动态系统的一般描述 d "r +…+qy=P +∴+ n-1 m-2 如果在零初始条件下 (s)=G(s)()() R(S) m2+…+PR(s) +q) MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 3 二）激励作用下一般系统输出响应的结构 动态系统的一般描述 p r dt d r p dt d r q y p dt d y q dt d y m m m m m n m n n n 2 0 2 1 2 1 1 0 1 1 2 + 1 + + = + + + − − − − − − − − − 如果在零初始条件下 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 2 2 1 1 R s s q s q p s p s p R s q s p s Y s G s R s n n n m m m m + + + + + + = = = − − − − − −
完整的输出响应包括零输入响应(由初始状态决定) 和由输入作用激励的零状态响应。完整的响应为: 2(S (S) g( 5)×(s) R(S) g(s) n(s R(S) d(s) X1(s)+Y2(S)+Y3(s) g(s qs)d(s) 瞬态响应 y()=y1()+y2(O)+y3()→>稳态响应 DEl MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 4 完整的输出响应包括零输入响应（由初始状态决定） 和由输入作用激励的零状态响应。完整的响应为： 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s q s p s q s m s Y s = + ( ) ( ) ( ) d s n s R s = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 Y s Y s Y s d s n s q s p s q s m s Y s = + = + + 稳态响应 瞬态响应 y(t) = y1 (t) + y2 (t) + y3 (t) →
三)典型的输入信号或激励 1.阶跃函数和单位阶跃函数 t<0 f(m)= R t≥0 (),其 Laplace变换为 2.斜坡函数 0 t<0 R Rt t≥0 其 Laplace换为 MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 5 三）典型的输入信号或激励 1. 阶跃函数和单位阶跃函数 0 0 , 0, ( ) = t t R f t 2. 斜坡函数 0 0 , 0, ( ) = t t Rt f t 1(t) ，其Laplace变换为 s 1 ，其Laplace变换为 s R
3脉冲函数和单位脉冲函数 f()=m-(1()-1(-t0) 0→>0t 脉动函数 单位脉冲函数(,其 Laplace变换为1 4.三角函数 f(t)=Asin(wt-o) f(t)=Acos(wt-D) 振幅,角频率,初始相角 MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 6 3. 脉冲函数和单位脉冲函数 4. 三角函数 f (t) = Asin( wt −) ( ) lim (1( ) 1( )) 0 0 0 0 t t t t A f t t = − − → 脉动函数 单位脉冲函数 (t) ，其Laplace变换为 1 f (t) = Acos(wt −) 振幅，角频率，初始相角
例8:求微分方程的解。 2 +4+3y=2r(t) 其中风0)=1(o)=0(O MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 7 4 3 2 ( ) 2 2 y r t dt dy dt d y + + = 例 8：求微分方程的解。 y(0) = 1 (0) = 0 dt dy 其中 r(t) = 1
解:式中 Y(s)-90(0)+4s(s)-y(0)+3Y(s)=2Rs 其中y(O=1 Y(s) (S+4) R(S) (s2+4s+3)(s2+4S+3) (s)=-(s S+4) (s2+4s+3)s(S2+4s+3) DEl MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 8 解：式中 [ ( ) (0)] 4[ ( ) (0)] 3 ( ) 2 ( ) 2 s Y s − sy + sY s − y + Y s = R s 其中 y(0) = 1 ( 4 3) 2 ( 4 3) ( 4) ( ) 2 2 + + + + + + = s s s s s s Y s ( ) ( 4 3) 2 ( 4 3) ( 4) ( ) 2 2 R s s s s s s Y s + + + + + + =
式中 小(s)=s2+4s+3=(s+1X+3)=0为特征方程4(s)=S 3/2-1/2 11/32/3 Y(S)+Y2(S)+y,(s) (S+1)(s+3)L(s+1)(+3) 输出响应为 pm=/3 2 e le t-e 2 系统稳态响应为 1()2 t→> 3 MODERN CONTROL SYSTEM
MODERN CONTROL SYSTEM 9 ( ) 4 3 ( 1)( 3) 0 2 q s = s + s + = s + s + = 式中 为特征方程 d(s) = s ( ) ( ) ( ) 2 / 3 ( 3) 1/ 3 ( 1) 1 ( 3) 1/ 2 ( 1) 3/ 2 ( ) 1 2 3 Y s Y s Y s s s s s s Y s + = + + + + + − + + − + + = 输出响应为 3 2 3 1 1 2 1 2 3 ( ) 3 3 + + − + = − −t − t −t − t y t e e e e 3 2 lim ( ) = → y t t 系统稳态响应为