7.3用根轨迹法分析和设计控制系统 例6:自动平衡的天平示于图715,其称量是由电气反馈回 路的物理平衡作用来控制的。 Battery Lead screw do W motor Pivot Viscous In damper
7.3 用根轨迹法分析和设计控制系统 例6：自动平衡的天平示于图7.15，其称量是由电气反馈回 路的物理平衡作用来控制的
设计目的: 1.选择反馈系统的参数和技术指标。 2.得出表示该系统的模型和信号流图。 3.根据根轨迹图选择增益K。 4.确定主导响应 )系统参数选择列于表74。技术指标为稳态量误差 较小;在阶跃输入下响应为欠阻尼时,其中ξ=0.5时为 主导响应;进入终值2%以内的调整时间应小于2秒 二)电气机械系统模型的推导可由平衡运动方程式来 完成。对平衡位置的小偏移角θ为
设计目的： 1. 选择反馈系统的参数和技术指标。 2. 得出表示该系统的模型和信号流图。 3. 根据根轨迹图选择增益K。 4. 确定主导响应。 一）系统参数选择列于表7.4。技术指标为稳态量误差 较小；在阶跃输入下响应为欠阻尼时，其中ζ=0.5时为 主导响应；进入终值2%以内的调整时间应小于2秒。 二）电气机械系统模型的推导可由平衡运动方程式来 完成。对平衡位置的小偏移角θ为 . i l y
横梁对刀口的运动用扭矩公式表示: ∑扭矩 于是用偏移角运动可以表示为 d20 de =LW一xW-D2b dt 电动机的输入电压是vn(=Kp-K 电动机的传递函数是 0m (s) K (s)s(IS+1) 式中τ是时间常数,对整个系统的时间常数来说τ可以忽略不计
横梁对刀口的运动用扭矩公式表示： 2 =扭矩 2 dt d I 于是用偏移角运动可以表示为 . 2 2 2 dt d l W x W l b dt d I w c i = − − 电动机的输入电压是 vm (t)=Ki y－Kf x. 电动机的传递函数是 , ( ) ( 1) ( ) + = s s K V s s m m m 式中τ是时间常数，对整个系统的时间常数来说τ可以忽略不计
nb Input Motor w(s Iw Y Y(s)pot. Vm(s)K,/s m screw Applied O X(s) ght L2 K Measurement S 系统的闭环传递函数用梅逊公式得出为 X(S) (lnl1K1KmK。/ls3) W(s)1+(1 6/1s)+(KmKK/s)+(K, Kmkw/ls)+( bkmk Kr/Is) X(S L. K W(s S(Is+1, b)(s+knkK+wKmkK l
1 ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 I b Is K K K s l K K K W Is l bK K K Is l l K K K Is W s X s i m s f i i m s c i m s f w i i m s + + + + = 系统的闭环传递函数用梅逊公式得出为 i m s f c m s i i w i i m s s Is I b s K K K W K K K l l l K K K W s X s + + + = ( ) ( )( ) ( ) 2
三)设计 W(s)=Ws时,系统的稳态增益是 x =m w_=2.5cm/kg t→)00 s→>0 w(s) w 该闭环系统的特征方程式 K、96K S(S+8√3(s+2m)+ 10x10丌 进一步整理可得
三）设计 W(s) = W /s 时，系统的稳态增益是 cm k g W l W s X s W x t c w t s ) 2.5 / ( ) ( ) ) lim ( ( ) lim ( 0 = = = → → 该闭环系统的特征方程式 0 10 96 ) 10 ( + 8 3)( + + = Km Km s s s 进一步整理可得
1+KP(s)=1 (Kn/10z)s(+83)+96] (s+83) (Km10x(s+693+j693s+693-j693) (s+8√3 4.5+j7.7 =0.707 K=25.3 =0.5 Complex zero K=25.3 30.2 ※0 12 8
0 ( 8 3) ( /10 )( 6.93 6.93)( 6.93 6.93) 1 ( 8 3) ( /10 )[ ( 8 3) 96] 1 ( ) 1 2 2 = + + + + − = + + + + + = + s s K s j s j s s K s s KP s m m
当K=253=K/10时主导根可以位于=0.5处。为达到这个增益, raa s K=795 =7600 VO l t VO lt 主导根的实部大于4,因此调整时间4/σ小于1秒,满足 了对调整时间的要求。特征方程式的第三个根是在 302处的实根并且欠阻尼根明显为主导系统的响应。 系统用根轨迹法来分析而且对参数K实现了合理的设 计
当K=25.3=Km /10π时主导根可以位于ζ=0.5处。为达到这个增益， volt rpm volt rad s K m 7600 / = 795 = 主导根的实部大于4，因此调整时间4/σ小于1秒，满足 了对调整时间的要求。特征方程式的第三个根是在 s=－30.2处的实根并且欠阻尼根明显为主导系统的响应。 系统用根轨迹法来分析而且对参数Km实现了合理的设 计
74用根轨迹法设计参数(广义根轨迹) )如何提取设计参数 一个动态系统的特征方程式可以写成: asn a 十.+a1s+an= 0 0 n 若a1为设计参数,则 a,s 1+ 0 n-1 2 a,S+a,;S+…+a,S+a 若参数a不是完全作为一个系数出现,这个参数就分离为 ansn+ an-isn-+.+(an-g- a )sn-q +asq+.+as+a=o
7.4 用根轨迹法设计参数(广义根轨迹) 一个动态系统的特征方程式可以写成： an s n＋ an－1 s n－1 ＋……＋ a1 s ＋ a0 =0 一）如何提取设计参数 1 0 0 2 2 1 1 1 = + + + + + − a s a − s a s a a s n n n n 若a1为设计参数，则 若参数a不是完全作为一个系数出现，这个参数就分离为 an s n＋ an－1 s n－1＋…＋( an－q－α)sn－q ＋αs n－q ＋…＋ a1 s ＋ a0 =0
例如,一个感兴趣的三阶公式是 s3+(3+a)s2+3s+6=0 将这个参数分隔开并且根轨迹形式重新写为 2 aS 1+ =0 s3+3s2+3s+6
例如，一个感兴趣的三阶公式是 s 3＋(3＋α)s2＋3s＋6=0 0 3 3 6 1 3 2 2 = + + + + s s s s 将这个参数分隔开并且根轨迹形式重新写为
对有二个变参数a和β的特征方程式,我们有 ansn+ an-s-lt.t(an=aa sn-qtasnqt +(an-r-B)s-r+βs-r+…+a;s+a0=0 采用方法为:将这二个参数隔离,确定β的影响后再确定 a的影响。 二)绘制两个变参数的根轨迹的实例 对某个有a和β作为参数的三阶特征方程式 s3+s2+βs+a=0 参数β由零变化到无穷大的影响由根轨迹公式来确定: 1+ 0 s+s+a
对有二个变参数α和β的特征方程式，我们有 an s n＋ an－1 s n－1＋…＋( an－q－α)sn－q＋αs n－q＋… ＋( an－r －β) s n－r＋βs n－r＋…＋a1 s＋a0=0 采用方法为：将这二个参数隔离，确定β的影响后再确定 α的影响。 二）绘制两个变参数的根轨迹的实例 对某个有α和β作为参数的三阶特征方程式 s 3＋s 2＋βs＋α=0 参数β由零变化到无穷大的影响由根轨迹公式来确定： 1 0 3 2 = + + + s s s
