10.4基于根轨迹的相位超前设计 利用根轨迹方法也可方便地设计相位超前校正网络。 相位超前网络具有如下传递函数 G2(s)= S+(1ar)(S+z) +(l/z)(s+p) 通过配置零点和极点的位置,可以使已校正的系统具有 满意的根轨迹。而系统的设计要求被用于指定系统主导 极点的期望位置。 s平面根轨迹法的设计步骤为如下: 1)列出系统的设计要求,并变换成主导极点的期望位置; 2)画出未校正系统的根轨迹,确定利用未校正系统可否 实现期望的极点位置;
10.4 基于根轨迹的相位超前设计 利用根轨迹方法也可方便地设计相位超前校正网络。 相位超前网络具有如下传递函数 ( ) ( ) (1 ) (1 ) ( ) s p s z s s G s c + + = + + = 通过配置零点和极点的位置，可以使已校正的系统具有 满意的根轨迹。而系统的设计要求被用于指定系统主导 极点的期望位置。 s平面根轨迹法的设计步骤为如下： 1) 列出系统的设计要求，并变换成主导极点的期望位置； 2) 画出未校正系统的根轨迹，确定利用未校正系统可否 实现期望的极点位置；
3)若需要校正器,则直接配置相位超前网络的零点在 期望极点位置的下方(或配置在前两个实极点的左 侧附近); 4)确定超前网络的极点,使得期望极点位置的相角和 为180°; 5)计算期望极点位置的总增益,然后计算误差系数 6)如果误差系数没有满足要求,则重复上述各步骤
3)若需要校正器，则直接配置相位超前网络的零点在 期望极点位置的下方（或配置在前两个实极点的左 侧附近）； 4)确定超前网络的极点，使得期望极点位置的相角和 为 ； 5)计算期望极点位置的总增益，然后计算误差系数； 6)如果误差系数没有满足要求，则重复上述各步骤。 180
例3基于根轨迹的超前校正器 重新考察例1所示的系统,其中开环未校正传递函数为 GH(S 未校正系统的特征方程为 K 1+G(s)=1+-2=0 并且根轨迹在虚轴上。因此,我们希望用超前网络校正 该系统,其中 S+Z G(S) stp
例3 基于根轨迹的超前校正器 重新考察例1所示的系统，其中开环未校正传递函数为 2 1 ( ) s K GH s = 未校正系统的特征方程为 1 ( ) 1 0 2 1 + = + = s K GH s 并且根轨迹在虚轴上。因此，我们希望用超前网络校正 该系统，其中 s p s z G s c + + ( ) = ， z p
系统的设计要求为 调节时间(2%基准)T≤4秒; 阶跃输入的百分比超调量≤35%。 开始设计: 由超调百分比确定系统的阻尼为≥032。由调节时间要 求知 选取系统的阻尼为=045,从而期望的主导根为 1±12 把校正器的零点放置在期望根位置下面,从而
系统的设计要求为 调节时间（2%基准） 秒; 阶跃输入的百分比超调量 。 Ts 4 35% 开始设计： 由超调百分比确定系统的阻尼为 。由调节时间要 求知 选取系统的阻尼为 ，从而期望的主导根为 0.32 4 4 = = n Ts ， n =1 r1 ,r ˆ 1 = −1 j2 = 0.45 把校正器的零点放置在期望根位置下面，从而 s = −z = −1
如图10.12所示: Compensated root locus Desired root locatio 2 j3
如图10.12 所示：
计算期望根的角度,有 ∠GHG(1)=-2(16°)+90-6p=-180° =38 以6n=38角度画一相交实轴的直线,交点便是期望根 位置,如图10.12所示,并求得 S=-p=-36 因此,校正器为 S+1 s+3.6 以及已校正系统的传递函数为 GH(s)G()=A1(s+1) s(S+3.6)
计算期望根的角度，有 ( ) = −2(116) +90− = −180 c 1 p GHG r ， p = 38 以 角度画一相交实轴的直线，交点便是期望根 位置，如图10.12所示，并求得 p = 38 s = − p = −3.6 因此，校正器为 3.6 1 ( ) + + = s s G s c 以及已校正系统的传递函数为 ( 3.6) ( 1) ( ) ( ) 2 1 + + = s s K s GH s G s c
增益K1通过测量从极点和零点至根位置的向量长度来 计算,从而 (223)2(325 8.1 最后,计算该系统的误差常数。 具有两个开环积分的该系统将对阶跃和斜坡输入信号产 生零稳态误差。加速度常数为 8.1 K 2.25 3.6
增益 通过测量从极点和零点至根位置的向量长度来 计算，从而 K1 8.1 2 (2.23) (3.25) 2 K1 = = 最后，计算该系统的误差常数。 具有两个开环积分的该系统将对阶跃和斜坡输入信号产 生零稳态误差。加速度常数为 2.25 3.6 8.1 K = =
该系统的稳态性能满足要求,因而完成了校正器设计 比较基于根轨迹方法和基于Bode图法计算的校正网络 时,会发现极点和零点的位置并不太一样。然而, 得到的系统将具有相同的性能,我们不必关心该差别。 事实上,差别是由任选的设计步骤(第3步)造成的, 在该步骤,我们把零点直接放置在期望根位置下面。如 果我们把零点放置在s=-20,我们将发现,基于平面 方法计算的极点等于用Bode图法计算的极点
该系统的稳态性能满足要求，因而完成了校正器设计。 比较基于根轨迹方法和基于Bode图法计算的校正网络 时，会发现极点和零点的位置并不太一样。然而， 得到的系统将具有相同的性能，我们不必关心该差别。 事实上，差别是由任选的设计步骤（第3步）造成的， 在该步骤，我们把零点直接放置在期望根位置下面。如 果我们把零点放置在 ，我们将发现，基于平面 方法计算的极点等于用Bode图法计算的极点。 s = −2.0
例41型系统的超前校正器 重新考察例10.2所示的系统,并利用根轨迹法设计超前 校正器。开环传递函数为 K GH(S S(S+2) 希望系统主导根的阻尼比为4=045,速度误差常数为20。 开始设计:为了满足误差常数要求,未校正系统的增益为 K=40。此时未校正系统的根为 S2+2s+40=(S+1+j6.25)S+1-j6,25) 未校正系统的阻尼比约为0.16。故必须增加校正网络。为 了实现较快速的调节时间,选取期望根的实部为
例4 1型系统的超前校正器 重新考察例10.2所示的系统，并利用根轨迹法设计超前 校正器。开环传递函数为 ( 2) ( ) + = s s K GH s 希望系统主导根的阻尼比为 ，速度误差常数为20。 开始设计：为了满足误差常数要求，未校正系统的增益为 。此时未校正系统的根为 未校正系统的阻尼比约为0.16。故必须增加校正网络。为 了实现较快速的调节时间，选取期望根的实部为 = 0.45 K = 40 2 40 ( 1 6.25)( 1 6.25) 2 s + s + = s + + j s + − j
5n=4,于是调节时间为1秒。自然频率为on=9。从而 期望根的位置如图10.13(a)所示 g=0.45 Desired root location Compensated root locus 50
n = 4 ，于是调节时间为1秒。自然频率为 。从而 期望根的位置如图10.13(a)所示。 n = 9