第10章线性系统的多项式矩阵描述 10.1多项式矩阵描述 ·前已讲过,多项式矩阵描述(PMD) P(SEs=Q(S)u(s) y(s=R(s)E(s)+w(su(s) 它是系统的内部描述,是最一般的描述。 ·不可简约PMD P(s),Qs)}左互质,且{P(s),R(s)}右互质 不可简约PMD不唯一 P(s)Q(S,R(s),Ws)}不可简约 →{U(sP(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
第10章 线性系统的多项式矩阵描述 10.1 多项式矩阵描述 • 前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 • 不可简约PMD {P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质 • 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 {U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
由可简约PMD求不可简约PMD (1){P(s)Q(s)}非左互质,{P(S,R(s)}右互质 此时,P(s)Q(s)有非单模的gcld,设为H(s),非奇 则 P(S=H(SP(S) (S)=H(SO(S) P(s)Q(s)左互质 P(s)(、s)=Q(s)(s)两边左乘H(得 P(s)(s)=Q(s)(s) y()=R(S)S(S)+W(S)u(s) 不可简约 P(S) rankl 故P(S),R(s)右互质 R(S R(s
• 由可简约PMD求不可简约PMD （1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则 , ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 故 右互质 不可简约 两边左乘 得 左互质 P s R s R s P s rank R s P s rank y s R s s W s u s P s s Q s u s P s s Q s u s H s P s Q s Q s H s Q s P s H s P s = = + = = = = −
(2)P(s)Q)左互质,P(s),R(s)非右互质 P(S,R(s)有非单模的gcrd,设为F(s),必非奇 P(S=P(SF(S) R(S=RSF(S) P(s),R(s)右互质 原描述可写成 P(SF(SE(s=Q(S)u(s) y(S)=R(SF(SS(S)+w(s)u(s) 设5(s)=F(S)(S),则 P(ss(s=Q(S)u(s) y(s)=R(SS(S)+w(s)u(s 不可简约 rnkP(s)]=mnk()s)]故P(Qs)左互质
(2) P(s),Q(s)左互质，P(s),R(s)非右互质 P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 故 左互质 不可简约 设 则 原描述可写成 右互质 rank P s Q s rank P s Q s P s Q s y s R s s W s u s P s s Q s u s s F s s y s R s F s s W s u s P s F s s Q s u s P s R s R s R s F s P s P s F s = = + = = = + = = =
(3)前两种情况的组合 P(S)Q(s)非左互质,消去其 gold H(s),得 H(SP(S(s)=H(SQ(Su(s) y()=R(SS(S)+W(S)u(s) 再消去H(s)P(s)和R(s)的 gord F(s),即做代换 5(S)=F(s)(S) H(SP(SF(s5(S)=H-(sQ(s)u(s) y(S)=R(S)F(s)2(s)+W(S)(s) P(s)=HSP(SF(S,O(s=H(SQ(S) R(S=R(SF-(S), W(s) P(s),Q(s),R(s),W()即为不可简约
（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld H(s), 得 即为不可简约 再消去 和 的 即做代换 ( ), ( )} ~ ( ), ~ ( ), ~ { ( ) ( ) ( ), ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ~ ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P s Q s R s W s R s R s F s W s P s H s P s F s Q s H s Q s y s R s F s s W s u s H s P s F s s H s Q s u s s F s s H s P s R s gcrd F s y s R s s W s u s H s P s s H s Q s u s − − − − − − − − − − − = = = = + = = = + =
102PMD的状态空间实现 定义 给定{P(sQ(s),R(s)W(s)},若能找到状态空间描述 ABC,E(p)},使 R(SP (SQ()+W(s=C(/-A)B+E(S) 则称{,B,C,E(p)}为给定PMD的实现 ·实现不唯一,有维数最小的一类实现,称为最小实现。最小 实现能控且能观,不同的最小实现间代数等价。 二.算法:以构造观测器形实现为最简便 已知:{P(S)Q(s)R(s),W(s)},求实现
10.2 PMD的状态空间实现 一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述 {A,B,C,E(p)}，使 • 实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小 实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现 { , , , ( )} . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 则称 A B C E p 为给定PMD的实现 R s P s Q s +W s = C sI − A B + E s − −
·思路: 前面已讲过的MFD实现方法,要求分母矩阵行(列)既约, 严格真; 在P(s)(s)=Q(s川中,先求5()=P()Q(s)(s)的 实现 ·步骤: 先把P(s)Q(s)化成满足左MFD求实现的条件,即P(s)化 为行既约,P(s)(s)严格真 2()=P(s)Q(s)(s)=[M(s)P(s)[M(s)Q(S)]() P(s) Or(s) P(s)Q,(s)(s)=[Y(S)+P(s)Q(s)](s) strictly proper
• 思路： – 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约， 严格真； – 在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求 的 实现。 • 步骤： – 先把 化成满足左MFD求实现的条件，即P(s)化 为行既约， 严格真； ( ) ( ) ( ) ( ) 1 s P s Q s u s − = ( ) ( ) 1 P s Q s − ( ) ( ) 1 P s Q s r r − ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 P s Q s u s Y s P s Q s u s s P s Q s u s M s P s M s Q s u s strictly proper r r r r P s Q s r r − − − − = = + = =
对P(s)Q(s)求观测器形实现(利用上节方法), 得{A2B0,C},必有 C(Sl-A)B=P(SQ (S) observable 5(s)=[P(s)Qs)+Y(s)(s) (S/-A Bu(s)+Y(s)u(s) 总之 yS=R(SS(S)+W(S)u(s) R(s)C。(S-A)B(s)+[R(s)Y(s)+W()](s) =X(s(sI-A)+C Co(Sl-A) Bu(s)+[X(s)b+r(s)r(s)+w(sju(s) =C(s1-4)B(s)+E(s)(s)
– 对 求观测器形实现（利用上节方法）， 得 必有 – 总之 ( ) ( ) 1 P s Q s r r − { , , }, Ao Bo Co ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 C sI A B u s Y s u s s P s Q s Y s u s A C observable C sI A B P s Q s o o o r r o o o o o r r = − + = + − = − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( ) C sI A B u s E s u s C sI A B u s X s B R s Y s W s u s R s C sI A B u s R s Y s W s u s y s R s s W s u s o o o o o o o o o X s s I A C o o o = − + = − + + + = − + + = + − − − = − +
实现为{A2,Bn,C2E(p)} 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时,其维数为n- deg detp(s) 的任何实现均为最小实现
– 实现为 三. 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=deg detP(s) 的任何实现均为最小实现。 {A ,B ,C ,E( p)} o o o
10.3PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性 互质性与能控性、能观性的等价性 1.给定{P(s)、Q(S,R(s),W(s)},其维数为n- deg detP(s)=dimA的 个实现为{ABCE(p)},则 Ps)Q(s)}左互质令{A,B}能控 PS,R(s)}右互质→{A,C}能观 2.对右MFD,N(s)D(s)=N(s)D(s)+E(s 能控类实现:{A,B,C,E},dimA= deg detD(s) 则:{D(s),N(S)}右互质令{AC}能观(已经能控) 对左MFD,D(s)N(s)=DD2(s)N(s)+E(s) 能观类实现:{A,B,CE;dmA= deg det D(s)则 D(s)M2(s)}右互质令{A,B}能控
10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性 • 互质性与能控性、能观性的等价性 1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dim A的 一个实现为{A,B,C,E(p)}，则 {P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控 {P(s),R(s)}右互质{A，C}能观 2. 对右MFD， 能控类实现：{A，B，C，E}，dim A=deg detD(s) 则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控） 对左MFD， 能观类实现： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 N s D s = N s D s I + E s − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 D s N s ID s N s E s L L = L + − − 右互质 能控 则 { ( ), ( )} { , } { , , , },dim deg det ( ), D s N s A B A B C E A D s L L L =
3. X]A, B, C,E(p), G(s)=C(s/-A)B+E(s) A,B}能控◇{Sl-A,B}左互质 A,C}能观{Sl-A,C}右互质 此即为PBH秩判据的结论 4.SISO系统{A,b,c}, g(s=c(sl-A)b adi (sl-A). b N(s) det(sl-A) A(s) 系统完全能控且能观}◇→g(s)无零极点相消 系统完全能控}◇adj(s-Ab和Δ(s)无零极对消现象 系统完全能观}<cadj(s-A和Δ(s)无零极对消现象
3. 对{A,B,C,E(p)}, {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。 4. SISO系统{A，b，c}， 则 {系统完全能控且能观} g(s)无零极点相消 {系统完全能控} adj(sI-A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象 ( ) ( ) ( ) 1 G s = C sI − A B + E s − ( ) ( ) det( ) ( ) ( ) ( ) 1 s N s sI A c adj sI A b g s c sI A b = − − = − = −
