第三章线性系统的能控性和能观测性
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1能控性和能观测性的定义 能控性 考虑线性时变系统的状态方程 2:x〓A(t)x+B(t,tJ 状态点的能控性 对to,xX0, 存在t1>to和容许控制u(t),t属于[tt], 使系统状态从Ⅺ→Ⅺ(t)=0 称此Ⅺ在to时刻能控。 系统的能控性 状态空间中的所有Ⅺ,在to时刻都能控,则称系统在t时刻完全 能控
3.1 能控性和能观测性的定义 • 能控性 – 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。 – 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控
系统不完全能控:存在一个或一些非零状态在to时刻不能控,则称系统在 to时刻不完全能控 能观测性 ∑;元-A()x平B()a,∈j y-c()x+D()mx(6);:的…(3.2) x(-(t,10)x+」(,r)B(r)a(x)d (33 y()一c()0(,16)x+c()|.(t,r)B(r)()dr+D()a()(34) y()△y()-c():φ(r)B(r)a(r)dr+D()m(T y()〓c(t)0(,t)x (35) 能观测性研究Ⅺ是否可由输出和输出完全确定的问题
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在 t0时刻不完全能控。 • 能观测性 能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题
Σ:〓)x,xt)x,和∈J mcG) 定叉1对于(3.6)的线性时变系统习如莱对取物始时刻E的一个非零初始 状态x,存在一个有限时刻∈J,n>和,使对所有∈[,h]有y()-0,则称此 x在时刻b是不能观测的。 定义2对于(36)的线性时变系统Σ,如果状态空间中的所有非零状态都不是时 刻a∈J的不能观测状态,则称系统∑在时刻t是完全能观测的。 定义3对于(36)的线性时变系统∑,取定初婚时刻∈了,如果状态空间中存在 个或一些非零状态在时刻b是不能观测的则称系绕在时刻t是不完全能观测的
3.2线性连续时间系统的能控性判据 ·1线性定常系统的能控性判据 〓Ax+最y3(0)-xyr≥0 (37 结论1格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3)为完全能控的充分必要条件是,存 在时刻>0,使如下定义的格拉姆(Gxay:F3 W[0,4]4|c:“BBrc (38 为非奇异。 证充分性:已知W[0,z]非奇异欲证系绕为完全能控。 采用构造性方法来证明。已知W非奇异,故W4存在,由此对任一非零初始状态 x可构造控制a()为: u()=-Be"W#0,k0,[0,4 小:(3,9) 而x()作用下系统状态x(t)在h时刻的结果为:
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
x(x)=自4x0+12c求)一Ba()dr e-ABBe-4dtW=[0,t, c14xzWE0,HW41E和,”买、圈 YxpG. ge 310 这表明,对任一x≠0,存在有限时刻h>0和控制()使状态由x转移到h1时刻 x(4)=0.于是,按定义可知系统为完全能控。充分性得证 必要性:已知系统为完全能控欲证W0,n非奇鼎。:,嘛 采用反证法反设为奇异也即设衣在非罨耐∈使成立 9一0 (311) 由此,进而有 0君W,]如BB2-4d [BTc-Ao]LB2 -o d ll dt 其中为范数故其必为正值。这样欲上式成立,应当有 Bre-4-03W∈[0yl 13)
另一方面因系统为完全能控所以对此非零又应成立 0-x(n)一c角+{c4h“Ba(t)d (314) 从而,由此又可导出 蜀m-[e4B()d .(3.1 ‖xo2=对知 u(eAro dr(x)Bre线n (316) 再利用(313)则由(316)可得到 ‖xl2〓0即动=0 (317 这表明,刘≠0的假设是和已知系统完全能控相矛盾。因此反设不成立,即W[6,h] 为非奇异。必要性得证。至此,证明完成
结论2[秩判据]线性定常系统(3)为完全能挫的充分必要条件是 rnk[B!"ABi!!B一n (318) 其中,n为矩阵A的维数,Q△[BiAB…+B1称为系统的能控性判别阵。 证充分性:已知rankΩn,欲证系统为完全能控。 采用反证法。反设系统为不完全能控则据*拉姆矩阵判据知,如下的格拉姆矩阵 W[0,] bbTe4d'dt. Vh>>0 (319 为奇异,而这又意味着存在某个非零n维常向量a使成立 0一aw[0,]a eeBBTe-4fads 0 [arc-“B][ae4B] 320 显然,由此可以导出 B=0,v∈[0,n1] (321) 现将上式求导直至(n-1)次再在所得结果中令=0,那么又可得到 B〓0,qAB=0,a42B=0 AnIB-0 (322) 进而,表上式为 [B!AB!B|…!ABl·aQ=0 (323) 由于a≠0,所以上式意味着9为行线性相关,也即有 rank o<n但这显然和已知 rank g一n相矛盾。所以,反设不成立,系绕为完全態控。充分性得证
必要性:已知系绕完全能控欲证rank她!小,E 采用反证法。反设ank≤,这前味善Q,为行线性相,因此必存在一个非零n 维常向量使成立|n}-}: aQ→aIB}AB}∴A-B]=0 (3.24) 考虑到问题的一般性,由上式成立又可导出 HB=0,i=0,1 (325) 再据凯莱哈密顿定理知,A",A+…均可表为l,A,·小的线性组合,由此 可将上式进一步写成为 aB-,i-01,3y… 326 从而,可得到对任意4>:有 土 B0,va∈[0,h],让-0,1,2÷ (327) 或 1 B B,V∈[0,h] 328) 利用(328),即有 o=ar/dia-arWto,m,Ja (329) 表明格拉姆矩阵W[0,n]为奇异即系统为不完全能控。这是和已知条件相矛盾的,所 以反设不能成立。于是,有rank9·m,必要性得证。至此,证明完成
结论3[PBH秩判据]线性定常系统(37)为完全能控的充分必要条件是,对矩阵 A的所有特征值λi:1,2xn),均成立 k [ii I-d, B] (330 或等价地表为 rank[-A,B一nV∈的 (331) 也即(1-A)和B是左互质的。 证必要性:系统完全能控欲证(330)成立。 采用反证法。反设对某个1;有rank[λ1-A,B]<n,则意味着[x2l-A,B] 为行线性相关。,由此,必存在一个非零常向量a,使成立 a[aiI-A, Bl=0 (332) 考虑到问题的一般性,由上式可导出 a2A=λar,aB=0 (333) 利用(333),进而有 0, a4B m2; aB=0 AnB a0 (334) 于是,进一步得到 [B!AB}…}Ⅺ-B]-aQ-0 (335) 但已知≠Q,所以上式成立必有、 ank. @,<n 336)