第二章系统模型和定量分析 概述状态空间法中第1、2章内容, 兼复习本科阶段该部分内容
第二章 系统模型和定量分析 概述状态空间法中第1、2章内容， 兼复习本科阶段该部分内容
总的框架 ·模型 分析 综合(即设计) 模型部分 不同表达领域模型间的转换 如何由物理系统得到状态空间表达 ·由输入/输出描述得到状态空间表达(S|SO) 一能控规范形描述 能观测规范形描述 对角形(单极点) 由状态空间描述得到ⅣO描述 理论计算公式G(s)=C(S-A)B+D
一、总的框架 • 模型 分析 综合（即设计） 1. 模型部分 – 不同表达领域模型间的转换 • 如何由物理系统得到状态空间表达 • 由输入/输出描述得到状态空间表达（SISO） – 能控规范形描述 – 能观测规范形描述 – 对角形（单极点） • 由状态空间描述得到I/O描述 – 理论计算公式 G s = C sI − A B + D −1 ( ) ( )
实用计算公式 -AERO det(5I一A (5) a() LR-p1+Rn-x32+:+Rs+R](.95) 两边右乘a(s)(SA (5)I=[Rn15+R,x2+…+R1s+R](sI一A (1.96) ∮十αnl-+∴十a1ls+cl Rn-1”+(Rn2-Rn-1A)-1+……+(R。-R1A)-RA(1.97) 比较s同次幂的系数,得 R 1c! R A+a_,l RaRA+anI R A十an-1 A+an_2l R i- rA+al R1和2士an-1如+∴十a2I RR1A平a永 R聊如+aa-1-2+…十a GO-C(sF =4)B+D CRn_1B-1+CRnB52十“干CR1B 十CRB]+D
– 实用计算公式 两边右乘α(s)(sI-A) 比较s同次幂的系数，得
状态空间表达之间的变换(坐标变换) 使系统的性质更加明显 ·几个性质 化为能控、能观标准形(S丨SO已学过) 化为约当标准形(对角形已学过) 组合系统 化为约当规范形*
– 状态空间表达之间的变换（坐标变换） • 使系统的性质更加明显 • 几个性质 • 化为能控、能观标准形（SISO已学过） • 化为约当标准形（对角形已学过） • 组合系统 – 化为约当规范形*
2.系统分析 定量分析:即第2章的内容,给定初始状态和输入激励,求输出: 叭(;,x,a)c“-x+c“)Bu(z)dr,t≥h (253) 关键是状态转移矩阵的计算,本科已学过几种计算方法,如直接用定义计算 拉氏变换法、利用凯菜-哈密尔顿定理、 sylvester展开、利用对角形等。 为了向时变线性系统推广,定义了一般形式的状态转移矩阵,见P50。要仔细看。 ·定性分析:分析系统的能控性和能观测性(第3章)、稳定性(第4章);
2. 系统分析 • 定量分析：即第2章的内容，给定初始状态和输入激励，求输出； – 关键是状态转移矩阵的计算，本科已学过几种计算方法，如直接用定义计算、 拉氏变换法、利用凯莱-哈密尔顿定理、sylvester展开、利用对角形等。 – 为了向时变线性系统推广，定义了一般形式的状态转移矩阵，见P50。要仔细看。 • 定性分析：分析系统的能控性和能观测性（第3章）、稳定性（第4章）；
3.系统综合 ·各种综合方法,第5章重点讲述的内容
3. 系统综合 • 各种综合方法，第5章重点讲述的内容
二、关于化一般状态空间表达为约当规范形 给定系统{A,B,C,D},当A的特征值两 两相异时,利用特征向量组成变换矩阵, 可化为对角形; 当A的特征值不是两两相异时,有时可以化 为对角形,有时不能化成对角形,只能化 为约当形
二、关于化一般状态空间表达为约当规范形 • 给定系统{A，B，C，D}，当A的特征值两 两相异时，利用特征向量组成变换矩阵， 可化为对角形； • 当A的特征值不是两两相异时，有时可以化 为对角形，有时不能化成对角形，只能化 为约当形
例1 0 00-1 A=01 (A-1y=000= 00 L0f021 由于mmk{A-l}=1,故可以找到两个线性无关的相应于A1的列向量 [100],[o10],相应于特征值2的特征向量为-101],故变换矩阵为 O=010 变换后的矩阵为
例1 由于 rank{A−1 I}=1 ,故可以找到两个线性无关的相应于λ1的列向量 [1 0 0]‘，[0 1 0]’，相应于特征值2的特征向量为[-1 0 1]‘，故变换矩阵为 − = 0 0 1 0 1 0 1 0 1 Q 变换后的矩阵为
例2:如果A具有4重特征值λ1和1重特征值λ2 可能的约当形为 λ1;0000 A11:000 「A11:000 000 0::000 00; 0.0λ0 000 00 0:11:0 000 000:1:0 00:0A1:0 000 000·:λ 0000:A λ110:00 0 0 人1 :00 011 00 0 00-00 12-00 0-0 0 00λ11:0 001;0 0 00.00 对角上的分块矩阵称为约当块。一个多重特征值对应几个约当块,各约当块 重数是多少,依赖于A的特性,要做深入研究才能确定
例2：如果A具有4重特征值λ1和1重特征值λ2 可能的约当形为 对角上的分块矩阵称为约当块。一个多重特征值对应几个约当块，各约当块 重数是多少，依赖于A的特性，要做深入研究才能确定
1、约当形的一般形式 (1)约当规范形给定系统的状态方程(153)设其特征值为λ1(1重)2(a2重) …,λ1(1重),(i1+∝2+∴+a)一m,则存在可逆变换阵Q,通过引入变换 Qx,可使状态方程(153)化为如下的约当规范形: 允QAQ北+Q"Bu .|十Ba (1.61) 其中B一Q1B,J为o;×o;阵且具有形式 i〓1,2 (162) J称为相应于特征值λ;的约当小块且具有形式 1b-rtxr阵饣-1,2,…,a (1.63)
1、约当形的一般形式