8.传递函数矩阵的零极点 81极点和零点 SISO系统: KI(s+=1) G(s)= ∏(s+p) 以(+=1)=0的根-=作为G(s)的零点 ∏I(+p)=0的根-P作为G(s)的板点
8. 传递函数矩阵的零极点 8.1 极点和零点 SISO系统： ( ) 0 ( ) . ( ) 0 ( ) ; ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 的根 作为 的极点 以 的根 作为 的零点 s p p G s s z z G s s p K s z G s j n j j i m i i n j j m i i + = − + = − + + = = = = =
定义:零点——当输入u为有限值时,使输出ys为0的那 些s值。 极点——当输入u为有限值时,使输出y(s)为∞的 那些S值。 显然,零点是使G(s)的模为0的那些s值; 极点是使G(s)的模为∞的那些s值。 对MMO系统,则要复杂得多
定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那 些s值。 极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为的 那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为 的那些s值。 对MIMO系统，则要复杂得多
一. Rosen brock对零极点的定义 给定 G(s)xn, rank(s)=r≤min(q,p),其Smih- Mcmillan形为 E,S U(SG(sV(s)=MS 0 E S 0 定义:G(s)的极点为Ms)中v()=0的根,i=1,2r G(s)的零点为M(s)中E(s)=0的根,i=12,r
一. Rosenbrock对零极点的定义 给定 定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,…,r G(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,…,r G(s) q p ,rankG(s) = r min( q, p),其Smith− Mcmillan形为 = = 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s s s s U s G s V s M s r r ( ) 0 ( ) 0 = = s s i i
例如 G(S) (S+1)(S+2)2(S+2) (s+2)2 (s+2)2 Smith- Mcmillan形 (s+1)(s+2)2 (S+2) 所以,零点:S=0处有三个零点; 极点:s-1处有两个零点; 2处有三个极点
• 例如 所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个零点； s=-2处有三个极点。 + − + + = − + − + − + + + = ( 2) 0 0 ( 1) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s s s M s Smith Mcmillan s s s s s s s s s G s 形
其它对零极点的定义 1.不可简约矩阵分式描述G(s)=N()D(s)=A(s)B(s) G(s)的极点:detD(s)=0的根,或, detA(s)=0的根 G(s)的零点:使N(s)或B(s)降秩的s值。 该定义等价于 Rosenbrock定义 证:设G)的Smth- Mcmillan标准形为M(s),则 MS=U(SG(SV(S)=E(s(S) &(s (s) E (S q,(S)
二. 其它对零极点的定义 1. 不可简约矩阵分式描述 G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。 该定义等价于Rosenbrock定义。 证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 G s N s D s A s B s − − = = 1 1 1 1 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − = = = I s s s s M s U s G s V s E s s r r r
则 G(S=U(SMS(S=U(SE(SY (S)V(S) [-(s)E(S)V()H(s)=N(s)D(s) G(s)=N(s)D(s)为右不可简约MD 另一不可简约矩阵分式描述G(s)=N(s)D()中, N(S=N(SW(S)=U(SE(SW( D(s)=D0(s)(s)=(s)H(s)W(s) Frank(s)=rankE(s), det D(s)=cdet y,(s) 由 Rosenbrock定义, G()的零点=E(s)=0的根,=12…r 使E(S)降秩的s值 =使N(s)降秩的s值
则 使 降秩的 值 使 降秩的 值 的零点 的根 由 定义 故 另一不可简约矩阵分式描述 中 为右不可简约 N s s E s s G s s i r Rosenbrock rankN s rankE s D s c s D s D s W s V s s W s N s N s W s U s E s W s G s N s D s G s N s D s MFD U s E s V s s N s D s G s U s M s V s U s E s s V s i r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 1,2, , ( ) ( ),det ( ) det ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = − − − − − − − − − − −
而 G()的极点=9(s)=0的根,=1,2,…r dety(s)=0的根 detD(s)=0的根 对左不可简约MFD有同样的结论。 2.G(s)严格真时,对应的状态空间描述{ABC}能控,能观 则 G(s)的极点=de(s-4)=0根 -A B G(s)的零点=使 降秩的s值
而 对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观 则 的根 的根 的极点 的根 det ( ) 0 det ( ) 0 ( ) ( ) 0 , 1,2, = = = = = = = D s s G s s i r r i 的零点 使 降秩的 值 的极点 的根 s C sI A B G s G s sI A − − = = − = 0 ( ) ( ) det( ) 0
3.方便计算的定义 (1)G)的所有非零子式的最小公分母,就是G(s)的极点多项 式,记为p(s),p(s)=0的根,即为G(s)的极点 (2)当G(s)的r阶子式,以p(s)为共同分母时,其分子的首1最 大公因式,即为G(s)的零点多项式z(s),z(s)=0的根,即为 G(s)的零点 注:各阶子式必须化为不可简约形式。 例: 0 G(s) s+1 (S+1)(S+2) s-1s+2 s+2 rank(s)=2
3. 方便计算的定义 （1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项 式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。 （2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最 大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为 G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。 例： ( ) 2 2 1 2 1 1 1 ( 1)( 2) 1 0 1 1 ( ) = − + + − + + − + = rankG s s s s s s s s G s
(1)求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素 G(s)的二阶子式为 2 (s+1)s+2)(s+1)(s+2)2(s+1)s+2) 可见其各阶子式的最小公分母为(s+(s+2)2(s-1) 所以p(s)=(s+1)(s+2)2(s-1) G(s)的极点为-1,-2,2, (2)求零点 上边的2阶子式以p(s)为分母,则有 (S+2)(s-1) 2(S+2)(S-1) (s+1)s+2)(s-1)(s+1)s+2)(s-1)(s+1)s+2)(s-1)
（1）求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素 G(s)的二阶子式为 （2）求零点 上边的2阶子式以p(s)为分母，则有 ( ) 1, 2, 2,1 , ( ) ( 1)( 2) ( 1) , ( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 2) 2 , ( 1)( 2) ( 1) , ( 1)( 2) 1 2 2 2 − − − = + + − + + − + + + + − − + + 的极点为 所以 可见 其各阶子式的最小公分母为 G s p s s s s s s s s s s s s s s ( 1)( 2) ( 1) 2( 2)( 1) , ( 1)( 2) ( 1) ( 1) , ( 1)( 2) ( 1) ( 2)( 1) 2 2 2 2 + + − + − + + − − − + + − + − s s s s s s s s s s s s s s
分母的首1最大公因式为(s-1),故z(s)=S1,G(s)的零点为-1。 几点讨论: (1)传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时, 可以不形成对消。例 s+2 G(S s+3 s+2 (2)由定义3可知,传递函数矩阵G(s)的极点,必是它的某 元素的极点;反之,G()的某个元素的极点,也是G(s)的极 点。“一致性
分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。 几点讨论： （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例 （2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一 元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极 点。“一致性” + + + = 2 1 0 0 3 2 ( ) s s s G s