第六章数学基础:多项式矩阵理论 些基本概念(6,1,6,2,6.3,64,6.5,6.6) 多项式 d(s)=dm,s"+dms"+.+d, s+do d∈R,s∈C(变量) degd(s)=m1分dn≠0 dn=1首1多项式 多项式矩阵:元为多项式的矩阵 注1:多项式的集合不构成域,是环;因其对乘逆运算不 封闭; 注2:扩展成包括所有有理分式,则构成有理分工域, 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和 有理分式矩阵
第六章 数学基础：多项式矩阵理论 § 一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6) • 多项式： • 多项式矩阵： 元为多项式的矩阵 注1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不 封闭； 注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分工域， 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和 有理分式矩阵。 首 多项式 变量 1 1 deg ( ) 0 , ( ) ( ) 1 0 1 1 = = = + + + + − − m m i m m m m d d s m d d R s C d s d s d s d s d
奇异和非奇异:对方多项式而言,Q( det(s)=0分Q(s)奇异; det(s)≠0分Q(s)非奇异; 此处0为有理分式域上的零元 det(s)是s的多项式对某此s可能为零 线性相关和线性无关: 对象是有理分式域中的一组多项式向量 当且仅当存在a(s)≠0使[()q2(3)…q(S)(s)=0成立 则称q1(S),q2(s)…,q2(s)线性相关 否则称其为线性无关(即等式仅对a()≡0成立)
• 奇异和非奇异：对方多项式而言，Q(s) • 线性相关和线性无关： 对象是有理分式域中的一组多项式向量 det ( ) , . 0 ; det ( ) 0 ( ) ; det ( ) 0 ( ) ; 是 的多项式 对某此 可能为零 此处 为有理分式域上的零元 非奇异 奇异 Q s s s Q s Q s Q s Q s = , ( ( ) 0 ). ( ), ( ), , ( ) . ( ) 0, [ ( ), ( ), , ( )] ( ) 0 , 1 2 1 2 否则 称其为线性无关 即等式仅对 成立 则称 线性相关 当且仅当存在 使 成立 = s q s q s q s s q s q s q s s p p
注意: a(s)的值域 讨论q(s)q2(S)…,qn(S)线性相关或无关时a(s)取为多项式 在[R(s),R(s)上线性相关,不一定在[R"(s),R止上线性相关 例 q()=+2s-1]2(s)=2+3s+22-1 取a(s)=S+,a2(s) 则a(s)q1(s)+a2(s)q2(s)=0 按定义,q(s),q2(s)线性相关 若a1(s)a2(s)限定为实数,则仅当a(s)=a2(s)=0时, aq(s)+a2q2(s)=0,按定义,线性无关 故,讨论线性相关和无关时,必须指明a的值域
注意： , , . ( ) ( ) 0, , . ( ), ( ) , ( ) ( ) 0 , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1, ( ) 1, ( ) 2 1 , ( ) 3 2 1, : [ ( ), ( )] , [ ( ), ] . ( ), ( ), , ( ) ( ) . ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 故 讨论线性相关和无关时 必须指明 的值域 按定义 线性无关 若 限定为实数 则仅当 时 按定义 线性相关 则 取 例 在 上线性相关 不一定在 上线性相关 讨论 线性相关或无关时 取为多项式 的值域 + = = = + = = + = − = + − = + + − q s q s s s s s q s q s s q s s q s s s s q s s s q s s s s R s R s R s R q s q s q s s s p p p
秩:与通常矩阵秩的定义相同 (1)Q(s)非零,1≤rmkQ(s)≤mn(q,p); (2)rmkQ(s)=r台Q(s)有且仅有r个列行线性无关 (3)Q(s满秩分→rmkQ(s)=mi(q,p) (4)Q(s),Q(s)非奇异分 ranko(s)=p;Q(s)奇异台 ranko(s)<p; (5)Q(s)前乘或后乘非奇异多项式矩阵,其秩不变,即 rank(s)=rankpaxo (s)o(s=ranksrox(s) (6rankosr(s)smin ranke(s), rank(s)
• 秩：与通常矩阵秩的定义相同 (6) ( ) ( ) min[ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) ( ) , , (4) ( ), ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; (3) ( ) ( ) min( , ); (2) ( ) ( ) ( ) ; (1) ( ) ,1 ( ) min( , ); rankQ s R s rankQ s rankR s rankQ s rankP s Q s rankQ s R s Q s Q s Q s rankQ s p Q s rankQ s p Q s rankQ s q p rankQ s r Q s r Q s rankQ s q p q q p p q p p p = = = = = 前乘或后乘非奇异多项式矩阵 其秩不变 即 非奇异 奇异 满秩 有且仅有 个列 行 线性无关 非零
单模矩阵:一类特殊的多项式矩阵 方阵,非奇异 方多项式矩阵Q(s),若detQ(s)是独立于s的一个非零常 数,则称其为单模矩阵。 性质 (1)Q(s)为单模阵◇→Q(s)的逆也是多项式矩阵; (2)Q(s)为单模阵→Qs)非奇异; (3)单模矩阵的逆阵也是单模矩阵; (4)单模矩阵的乘积也是单模矩阵, 初等变换 (1)行(列)交换; (2)用一非零实或复数乘以某行或列; (3)用某行(列)乘以一个多项式加到另一行(列)上
• 单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵 方阵，非奇异 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常 数，则称其为单模矩阵。 性质： （1）Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵； （2） Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； （3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； （4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 • 初等变换： （1）行（列）交换； （2）用一非零实或复数乘以某行或列； （3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上
汪: (1)初等行(列)变换台>初变换的矩阵Q(s左乘(右乘) 初等矩阵; (2)初等矩阵都是单模矩阵; (3)对Qs进行一系列初等变换,相当于Q(s左乘和 (或)右乘单模矩阵; (4)单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积,反之, 初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵
注： （1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘） 初等矩阵； （2）初等矩阵都是单模矩阵； （3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和 （或）右乘单模矩阵； （4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之， 初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵
6.7埃尔米特形 多项式矩阵的规范形之 Hermite形的特征,见书; 化为 Hermite的算法: 只通过一系列的行初等运算即可化为行 Hermite形,即 QH(s)=v(so(s) (s)为单模矩阵 性质 对多项式矩阵做行(列)初等运算,不改变其 Hermite形 若D(s)=D(s)U(s),则D(s)和Ds)的列 Termite形相同; 若A(s)=U(s)A(s),则A(s)和4(s)的行 Hermite形相同
6.7埃尔米特形 多项式矩阵的规范形之一。 • Hermite形的特征，见书； • 化为Hermite的算法： 只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即 • 性质： 对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形 ( )为单模矩阵 ( ) ( ) ( ) V s Q s V s Q s H = ( ) ( ), ( ) ( ) . ~ ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ; 若 则 和 的行 形相同 若 则 和 的列 形相同 A s U s A s A s A s Hermite D s D s U s D s D s Hermite = =
6.8公因子和最大公因子 公因子的定义 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多 项式矩阵).假定N(s)和DS列数相同,若 N(S=N(SR(S) D(S=D(SR(S) 则R(S)称为N(s)和D(s)的右公因子 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多 项式矩阵).假定B(S和A(s)行数相同若 B(s=O(sB(S) A(S)=O(S)A(S) 则Q(s)称为B(S)和A(s)的左公因子
6.8公因子和最大公因子 一. 公因子的定义 • 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多 项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子. • 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多 项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D s D s R s N s N s R s = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A s Q s A s B s Q s B s = =
二,gcd(最大公因子)的定义 gcr I)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (2)R(s)是N(s)和Ds)的任一个其它右公因子Rl(s)的左倍 式,即R(s)=W(s)Rl(s) 则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd iced (1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子; (2)Q(s)是B(S和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍 式,即Q)=Q1(s)V(s) 则称Qs)是B(S)和A(s)的gcld
二. gcd(最大公因子)的定义 • gcrd: (1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (2)R (s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍 式,即R(s)=W(s)R1(s) 则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd. • gcld: (1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子; (2)Q (s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍 式,即Q(s)=Q1(s)V(s) 则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld
如何求gcd 以gcrd为例 若D(s)和N(S)列数相同则可以定义右公因子 求法 D(S R(S)p∞p (p+q)x(p+q) N(s) 单模矩阵 D(S) 即对6进行一系列行初等变换变成形如 R(S) P×P N(S) 0 则R(s)即为D(s)和N(s)的一个gcrd
三.如何求gcd 以gcrd为例. ( ) ( ) ( ) . , 0 ( ) , ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) , . ( ) ( ) R s D s N s gcrd R s N s D s R s N s D s U s D s N s p p p p p q p q p p q p 则 即为 和 的一个 即对 进行一系列行初等变换 变成形如 求法 若 和 列数相同 则可以定义右公因子 单模矩阵 = + +