7.传递函数矩阵的矩阵分式描述 基本概念 G(s)axp N(SounD( P×p A(SoxaB(s) MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数 若N(s)D(s)为G()的一个右MFD,即G(s)=N(s)D(s) 则N(S)W(s)[D(s)W(s)也是G(s一个右MFD 因此,一个已知的G(s),其MFD表达不唯一,其次数 也不唯 在G(s)的所有MFD中,次数最小的MFD称为最小阶 MFD,它也不唯
7. 传递函数矩阵的矩阵分式描述 一. 基本概念 • MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数。 • 因此，一个已知的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数 也不唯一。 • 在G(s)的所有MFD中，次数最小的MFD称为最小阶 MFD，它也不唯一。 q q q p q p q p p p A s B s G s N s D s − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) . ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), 1 1 1 N s W s D s W s G s MFD N s D s G s MFD G s N s D s 则 也是 的一个右 若 为 的一个右 即 − − − =
在G(s)=N(s)D(s)中,若N(s),D(s)是右互质的,则它 是最小阶的反之亦成立 若N(s)D(s)非互质消去最大公因子,可得最小阶MFD 对N(s),DS)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵, 其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次 G(s)=N(s)(s)D(s)(s)(U(s)单模)也是最小阶 的故最小阶MFD也不唯一,但次数不变 对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣要 着重研究 只有正则的G(S)是物理可实现的因而着重研究正则有 理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述 对非正则的情形,即 G(s)=N(s)D(s)并正则,类似于SSO,总有 G(S=N(SD(S)=R(SD(S)+Q(s) 格正则 多项式矩阵
在 中,若N(s),D(s)是右互质的,则它 是最小阶的.反之亦成立. 若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶MFD. • 对N(s),D(s)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵, 其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次. 也是最小阶 的,故最小阶MFD也不唯一,但次数不变. 对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣.要 着重研究. 只有正则的G(s)是物理可实现的,因而着重研究正则有 理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述. 对非正则的情形,即 ( ) ( ) ( ) 1 G s N s D s − = ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ( ) ) G s = N s U s D s U s −1 U s 单模 严格正则 多项式矩阵 非正则 类似于 总有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 1 1 G s N s D s R s D s Q s G s N s D s SISO = = + = − − −
二不可简约矩阵分式描述 G(s)的右互质和左互质MFD统称为G(s)的不可简约MFD 1.性质 (1)不可简约MFD不唯一。所有左(或右)不可简约MFD 之间通过单模矩阵联系。在这个意义上,亦称其为广 义唯一的。 即 设G(s)=N(s)D1()=N2(s)D2(s)不可简约 则D(S)=D2(s)U(s) N1(S)=N2(S)U/(S) U(s)为单模矩阵
二.不可简约矩阵分式描述 G(s)的右互质和左互质MFD,统称为G(s)的不可简约MFD. 1. 性质 (1)不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD 之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广 义唯一的。 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 为单模矩阵 则 设 不可简约 即 U s N s N s U s D s D s U s G s N s D s N s D s = = = = − −
证明 N1(s)D1()=N2(S)D2(s) N1(S)=N2(S)D2(s)D(s) 设D2(s)D()=U(s只要证U(s)为单模矩阵 甲证U(s),U(s)都是多项式矩阵 已知N2(S,D2(s)右互质,由贝佐特等式判据,有 X(s)D2(s)+Y(s)N2(s)= 将D2(s)=D()(s),N2(s)=N1(sU-()代入 [X(s)D(s)+Y(s)N(s)(s)=1 U(s)=X(s)D()+Y(s)N(s)是多项式矩阵 同理由N(s),D(S)右互质可得U(s)为多项式矩阵 故U/(s)是单模矩阵
( ) . , ( ), ( ) , ( ) . ( ) ( ) . ~ ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )] ( ) ~ ( ) ( ) ~ [ ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ), ( ) , , ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 故 是单模矩阵 同理 由 右互质 可得 为多项式矩阵 是多项式矩阵 将 代入 已知 右互质 由贝佐特等式判据 有 即证 都是多项式矩阵 设 只要证 为单模矩阵 证明 U s N s D s U s U s X s D s Y s N s X s D s Y s N s U s I D s D s U s N s N s U s X s D s Y s N s I N s D s U s U s D s D s U s U s N s N s D s D s N s D s N s D s − − − − − − − − − = + + = = = + = = = =
(2)所有的可简约MFD,如N(s)D(s)都可通过不可简约 的MFD如N(s)D(s)得到。即总有多项式矩阵T(s) (不是单模矩阵),使 N(S)=N(ST(S) D(S)=D(ST(S) 说明:N(s)D()可简约,其最大公因子R(s)不 是单模矩阵,但非奇。提出并约去R(S),可得一互质的 即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可 能不同于给定的N(s)D(s),但其只差一个单模矩阵 U(s),由此单模矩阵和R(s)即可构造出TS)=U(s)R(s) (3)所有的不可简约MFD, G(s)=N(s)D1(s),i=1,2 分子N(s),i=1,2,…具有相同的Smi形(不变多项式相同) 分母D(si=1,2,…具有相同的不变多项式
(2)所有的可简约MFD,如 都可通过不可简约 的MFD如 得到。即总有多项式矩阵T(s) （不是单模矩阵）,使 说明： 可简约，其最大公因子R(s)不 是单模矩阵，但非奇。提出并约去R(s)，可得一互质的， 即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可 能不同于给定的 ，但其只差一个单模矩阵 U(s)，由此单模矩阵和R(s)即可构造出T(s)=U(s)R(s). (3)所有的不可简约MFD， ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D s D s T s N s N s T s = = ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) 1 N s D s − 分母 具有相同的不变多项式 分子 具有相同的 形 不变多项式相同 ( ), 1,2, ( ), 1,2, ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2, 1 = = = = − D s i N s i Smith G s N s D s i i i i i
说明: N S)=N(SU (S) A(S=U(SN(SV(s) =U(s)[N,(s/J(s)7(s) U(SN, (SV(S) 所以 smith形相同 对D,(s)可按相同的方法证也可照书 前面讨论的是右MFD,对左MFD有相似的结论,形式上 对偶
说明： 前面讨论的是右MFD，对左MFD有相似的结论，形式上 对偶。 对 可按相同的方法证也可照书 所以 形相同 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 D s smith U s N s V s U s N s U s V s s U s N s V s N s N s U s j j j j j j = = = = −
2.求不可简约矩阵分式描述 算法1:由一个可简约的MFD求不可简约的MFD 设G(s)=N(s)D(s)为任一可简约的MFD, N(s),D(s)非右互质,可用构造定理求出其gcrd N(SR(S) U(S R(s)非单模,但非奇异 D(s) 0 由gcrd的定义,有N(s)=N(s)R(s),D(s)=D(s)R(s) #N(s)=N(sR-() D(s)=D(SR(s) N(s),D(s)定是右互质的 由此G(s)=N(s)D(s)就是一个不可简约MFD
2. 求不可简约矩阵分式描述 算法1：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD , ( ) ( ) ( ) . ( ), ( ) . ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ) , 1 1 1 1 G s N s D s MFD N s D s N s N s R s D s D s R s gcrd N s N s R s D s D s R s R s R s D s N s U s N s D s gcrd G s N s D s MFD 由此 就是一个不可简约 一定是右互质的 故 由 的定义 有 非单模 但非奇异 非右互质 可用构造定理求出其 设 为任一可简约的 − − − − = = = = = = =
算法2:由一个可简约的MFD求不可简约的MFD 设G(s)=N()D(s,N(s),D(s)非右互质, D(s)L「Rs) U( R(s)非单模,但非奇异 D(s) N(S/ R(S) R(S =V(S 0 (S)V2(S)R(S)V(S)R(S) 21(s)V2(s)0」[V2(s)R(s) AD(S)=V(SR(S) N(S)=VI(SR(S) 故G(s)=V2(s)V1(s是一个不可简约的右MFD
算法2：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) , 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 G s V s V s MFD D s V s R s N s V s R s V s R s R s V s R s V s V s V s V s R s V s R s U s N s D s R s R s N s D s U s G s N s D s N s D s 故 是一个不可简约的右 有 非单模 但非奇异 设 非右互质 − − − = = = = = = = = =
算法3:由一个可简约的右MFDN(s)D(s)求不可简 约的左MFD sgpl:由矩阵方程B(s)A(/2) 0 求出多项项矩阵解{A(s),B(s)} G(S=A(SB(S) step2:由A-(s)B(s)再求左互质A(s)B(S)得 G(s)=A(s)B(s),即左不可简约MFD
算法3：由一个可简约的右MFD 求不可简 约的左MFD ( ) ( ) 1 N s D s − ( ) ( ) ( ), . 2 : ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) { ( ), ( )} 0 ( ) ( ) 1: ( ) ( ) 1 1 1 1 G s A s B s MFD step A s B s A s B s G s A s B s A s B s N s D s step B s A s 即左不可简约 由 再求左互质 得 求出多项项矩阵解 由矩阵方程 − − − − = = = −
3.规范形MFD 史密斯-麦克米伦标准形 形态特征:将多项式矩阵的 smith形推广应用到有理分式矩阵G(s) 得到Smh- McMillan形 v1(s) U(SG(SV(s)=M(S E(s
3. 规范形MFD 史密斯--麦克米伦标准形 形态特征：将多项式矩阵的smith形推广应用到有理分式矩阵G(s) 得到Smith-McMillan形 = = 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 s s s s U s G s V s M s r r