《高等数学》上册教案 第三章中值定理与导数的应用 二、拉格朗日中值定理(Lagrange) 定理2、设函数fx)满足： (1)在闭区间[4，b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导： 则存在5e(a,61,使得r代)=f6)-@ b-a 证：构造函数F)=)-⑥O,别F)在闭区间a,上连续，在开区间a,)内可 b-a 导，且 F(d)-f(a)+(b)-(a-b()-a(b)F()(b)+()-f(ab(-a(b b-a b-a b-a b-a 即端点函数值相等F(a)=Fb),F(x)在[a,b上满足洛尔定理的条件，故存在5∈(a,b),使得 FE)=0.又F)=f)-6@,即有 b-a /6)-bl-fa-0即f传)=bl-f@5ea,. b-a b-a 注：①通常称代传份)f6)回为拉格期日中值公式，也可以写作 b-a f(b)-f(a)=f'(Xb-a)f(a)-f(b)=f'(Xa-b) @四为a<5<b,0分名1，完0=香日则0<01，且5=a+心-0小比拉格期日 中值公式又可写作：f(b)-fa)=f"(a+b-ab-a,0<8<1: ③令a=,b=x,+△x,则拉格朗日中值公式还可写 f(x。+△r)-f(x)=f'(E△x, 或△y=f'(E)△x f(+Ax)-fx)=f"(+B△x)△r,，或△y=f'(x。+B△xAr 是函数增量△y的精确表达式，有较高的理论价值。在微分学中占有十分重要的理论地位， 因此也称拉格朗日中值定理为微分中值定理。 ④公式中的E或日一般只知其存在性。 推论、若f(x)=0,x∈I,则f)在I上恒等于常数。 证：a,beI,不妨设a<b,则fx)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，由拉 格朗日中值定理，存在5∈(a,b),使得fb)-fa)=f"(b-a),由于f"x)=0,则f"5)=0, 即fb)f(a)=0,或fb)=fa,由于a,beI的任意性，fx)在I上恒等于常数。 例5.证：明+cor=e( 第3页一共32页 泰衣安