《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 即站点通数值相蒂，满足洛尔定理的条件，故应存在5后爱，传得/⑤=0，甲cm5=0 例2.设函数fx)=(x-1Xx-2x-3x-4),不用计算f"(x),指出导函数方程f(x)=0有几 个实根，各属于什么区间？ 解：x)=(x-1x-2(x-3x-4)是四次多项式，故是∫(x)=0一元三次方程，最多有三个 实根。由f(x)在闭区间几，2]上连续，在开区间1,2)上可导，端点函数值相等f)=f2)=0, 由洛尔定理，存在气∈L,2),使得f(5)=0,即5是导函数方程∫(x)=0的一个实根：同理 可知，方程还有两个根52，三分别属于区间(23)及(3,4)。 例3.证明，方程x3-3x+1=0在区间(0，l)内有唯一的实根。 证：①存在性：设(x)=x3-3x+1,则fx)在闭区间0，上连续，且f0)=1,f@)=-1, 端点函数值异号，根据闭区间上连续函数的性质，存在5∈(0，)，使得f(G)=0。表明方程 f(x)=0在(0,1)内有根5： ②唯一性（反证法）假设方程x)=0在(0,1)内至少有两个实根5,5，即f5)=0,f5,)=0, 不妨设点<点，则fx)=x3-3x+1,在闭区间[原，5]c0,1上连续，在开区间（⑤，5）c(0,1)内 可导，端点函数值相等作)=八5)=0，根据洛尔定理，应存在5∈（作，5，）c(0,1,使得 f(5)=0。 但使得f(x)=3x2-3=0的点只有两个：x=1,均不在区间(0,1)内。此矛盾表明，假设 不成立，从而唯一性得证。 例4.若函数fx)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x)=fx)=f(x),其中a<x<x<x<b, 证明至少存在一点5∈(a,b),使得f"(5)=0。 证：fx)在闭区间[x,x]、压，x]上连续，在开区间(x,x)、(x,x)内可导，且端点函数值 相等f)=fx)=f()由洛尔定理，5∈(：，x),5∈(x,x),使得(5)=0且 f(5)=0,其中a<<5<b: 函数f()在闭区间[听，5]上连续，在开区间（⑤，5）内可导，且端点函数值相等： f(5)=f'(5)=0,再由洛尔定理，5e(5,5)c(a,b),使得()=0。 注：有人作出了如下的证明：由条件，fx)在闭区间[x,x]上连续，在开区间(：，x)内可导， 且端点函数值相等fc)=f(x),根据洛尔定理，5e(:,x)c(a,),使得'()=0， 则有"(5)=0。是否正确？？ 第2页一共32页 泰衣安