《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 第三章中值定理与导数的应用 §1、中值定理 一、洛尔定理(Rolle) 定理1、设函数x)满足： (1)闭区间[a,b上连续： (2)开区间(a,b)内可导 (3)端点函数值相等f(a)=fb): 则存在5e(a,b),使得∫'5)=0。 证：f(x)在闭区间[a,b]上连续，设f(x)在闭区间[a,b小上的最大值、最小值分别为M、m。 ①如果M=m,则fx)在闭区间[a,b上恒为常数，即fc)=c,从而f(x)=0,x∈(a,b): ②如果M≠m,则必有M>m,又国为f(a)=f(b),故M、m中至少又一个在开区间(a,b)内 取得。不纺设fx)在开区间(a,b)内取得最大值M,即存在E∈(a,b),使得f(E)=M。以 下证明5即为所求，即必有f()=0。由定义 传)=@=4 x-5 x-5 由于-如0，则出0，及西曲款限的保寺位安理 @4s0 -06)s0,f)20. 已知()存在，应有f()=f()=f'),即"()=0。 注：①olIe定理的几何意义：在满足条件时，曲线y=f(x)上的点(5，f(5)处一定有水平切 线，即斜率k=f()=0 ②Rolle定理的条件是充分的而不是必要的： ③oIIe定理研究的是导函数方程f'(x)=0的根的存在性问题。 1整对于)h血洛尔定理在区哈爱上的三璃性。 :)=smx在区间后爱上连续，在（后爱内可学，且/e)=o, f爱=In sin=-h2 “6 f)=hs血=-h2 6 第1页一共32页 泰永安