习题四解答 1.下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1)a 2)an=1+ 3)an=(-1)+-,;4)an=eml2 解1)o1+m_1-n2,2n i,又lim 1+n2 =0,故a,收敛 lim a=-1 2)an=1+ 2 又lm √5 0,故an收敛, lim a=0 3)由于an的实部{-1}发散,故an发散 4)由于α=e-m/2=cos"z- isin-,其实部、虚部数列均发散,故α发散 5)a.=-e =-cos--1—Sin n,知lim-cOs m-sin- 故a收敛,li 2.证明 lake lim a"= a= 不存在,|a|=1,a≠1 3.判断下列级数的绝对收敛性与收敛性: LIL ( 2) 3)S6+5):4)S cos In In/ p cOS op sIn cos -+Isin-, ∑—2与∑—2-为收敛的交错项实级数 所以∑收敛,但凹=1,故∑ 发散,原级数条件收敛习题四解答 1．下列数列{ } αn 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1） 1 i 1 i n n n α + = − ；2） i 1 ; 2 n αn − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3） i ( 1) ; 1 n n n α = − + + 4） ；5） n i / 2 n e π α − = 1 n i / 2 n e n π α − = 解 1） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1 n n n n n n n α + − = = + − + + ，又 2 2 1 2 lim 1,lim 0 n n 1 1 n n →∞ n n →∞ − 2 = − = + + ，故αn 收敛， lim 1 n n α →∞ = − 2） i 2 1 2 5 n n i n e θ α − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2 lim 0 5 n i n e− θ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故αn 收敛，lim 0 n n α →∞ = 3）由于αn 的实部{( 1) } n − 发散，故αn 发散 4）由于 i / 2 cos isin 2 2 n n n n e π π π α − = = − ，其实部、虚部数列均发散，故αn 发散 5） 1 1 i / 2 1 cos i sin 2 2 n n n n e n n n π π π α − = = − ，知 1 1 lim cos 0,lim sin 0 n n 2 2 n n n n π π →∞ →∞ = = ， 故αn 收敛， lim 0 n n α →∞ = 2．证明： 0, | |<1, , | |>1, lim 1, 1, | |=1, 1. n n α α α α α α →∞ ⎧ ⎪ ⎪∞ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩不存在， ≠ 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 i n n n ∞ = ∑ ； 2） 2 i ln n n n ∞ = ∑ ； 3） 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ ； 4） 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 。 解 1）由i cos isin 2 2 n n n π π = + ， 1 cos 2 n n n π ∞ = ∑ 与 1 sin 2 n n n π ∞ = ∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 i n n n ∞ = ∑ 收敛，但 i 1 n n n = ，故 1 i n n n ∞ = ∑ 发散，原级数条件收敛； 1