2)与1)采用同样的方法,并利用,≥-(n≥2) Inn n 3)因 6+51) (6+5i) 绝对收敛 4)因csin=chm,而lmcm≠0,故∑Sm发散 4.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点: (3)每一个在二连续的函数一定可以在二的邻域内展开成 Taylor级数 解(1)不对。如∑二在收敛圆<1内收敛,但在收敛圆周|=1上并不收敛: (2)不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数,不能有奇点 (3)不对。如f()=在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor级 数 5幂级数∑cn(2-2)能否在=0收敛而在z=3发散? 解不能。因如∑cn(-2)在:=0收敛,则由Abel定理其收敛半径 R≥0-2=2,而B-21=1<2即==3在其收敛圆|-2k2内,故级数∑cn(-2)在 =3收敛,矛盾。 6.求下列幂级数的收敛半径: (1)∑(p为正整数):(2)y(n)2 (3)∑(1+1)”=n n=I n (4) 1) 解(1)R=l/lim limOn=12）与 1）采用同样的方法，并利用 1 1 ( 2 ln n n n ≥ ≥ )； 3）因 (6+5i) 61 8 8 n n n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ，而 1 61 8 n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，故 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ 绝对收敛； 4）因cosin = chn ，而 ch lim 0 2n n n →∞ ≠ ，故 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 发散。 4．下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。 解（1）不对。如∑ 在收敛圆 ∞ n=0 n z z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； （2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点； (3)不对。如 f (z) = z 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 数。 5.幂级数 ( 能否在 收敛而在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − ) z = 0 z = 3发散？ 解 不能。因如 ( ) 在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 0 收敛，则 由 Abel 定理其收敛 半 径 R ≥ 0 − 2 = 2 ，而 3 − 2 = 1 < 2 即 z = 3 在其收敛圆| z − 2 |< 2 内，故级数 在 收敛，矛盾。 ( ) 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 3 6．求下列幂级数的收敛半径： （1） 1 ( ) n p n z p n ∞ = ∑ 为正整数 ； （2） 1 ! n n n n z n ∞ = ∑ （ ）2 ； （3） ； 0 1 )n n n i z ∞ = ∑（＋ （4） 1 i n n n e z ∞ π = ∑ ； （5） 1 i ch ( 1) n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ ； （6） 1 ln i n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 。 解 （1） 1/ lim lim 1 n p n n n n R a n →∞ →∞ = = = ； 2