(2)R=1/lim =Im lim -n=0 (3)R=1/lim vla I =liml/|1+i|=1/ (4)R=l/lim va, =l R=1/lim 1/lim alch 1/ lima/cos-=l (6)R=1/lim vla, =lim(In inI=co 7.如果∑cn”的收敛半径为R,证明级数∑(Recn)=”的收敛半径≥R 证明对于圆|=kR内的任意一点z,由已知∑-”绝对收敛即∑cn收敛,又 因Re|sn},从而 Recm=slc,‖=P,故由正项级数的比较判别法∑Recn也 收敛即∑(Rec2)”在=kR内绝对收敛,于是其收敛半径≥R 8.证明:如果lm存在(≠∞),下列三个幂级数有相同的收敛半径 ∑c2":∑ 证明设lim==P,则幂级数∑C2"的收敛半径为/l 幂级数∑=1的收敛半径为R=lm/an1cnn+1)=1/1 n+1 cn/(n+2) 幂级数∑mc;的收敛半径为R=/imn=lmn=1pl n-y an+o(n+1)c 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9.设级数∑cn收敛,而∑|c1发散,证明∑cn="的收敛半径为1（2） 1 1 1 (1 ) 1/ lim lim lim 0 1 n n n n n n n n a a n R a a n + →∞ →∞ →∞ + + = = = + = ; （3） 1/ lim n lim1/ |1 i | 1/ 2 n n n R a →∞ →∞ = = + = ； （4） 1/ lim n 1 n n R a →∞ = = ； （5） 1 1/ lim n 1/ lim n ch 1/ lim n cos 1 n n n n i R a →∞ →∞ n n →∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ； （6） 1/ lim lim | ln i | n n n n R a n →∞ →∞ = = = ∞ ; 7．如果 的收敛半径为 R，证明级数 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ ( ) 0 Re n n n c z ∞ = ∑ ≥ R 。 证明 对于圆| z |< R 内的任意一点 z，由已知 绝对收敛即 0 n n n c z ∞ = ∑ 0 n n n c z ∞ = ∑ 收敛，又 因 Re n c ≤ cn ，从而 Re | || | n n n n c z ≤ c z ，故由正项级数的比较判别法 0 Re n n n c z ∞ = ∑ 也 收敛即 ( ) 在 0 Re n n n c z ∞ = ∑ | z |< R 内绝对收敛，于是其收敛半径≥ R 。 8．证明：如果 1 lim n n n c c + →∞ 存在（ ≠ ∞ ），下列三个幂级数有相同的收敛半径 n n ∑c z ； 1 1 cn n z n + + ∑ ； n 1 n nc z − ∑ 。 证明 设 1 lim n n n c c ρ + →∞ = ，则幂级数 的收敛半径为1/ n n ∑c z | ρ | ； 幂级数 1 1 cn n z n + + ∑ 的收敛半径为 1 1 /( 1) 1/ lim lim 1/ | | /( 2) n n n n n n a c n R a c n ρ + →∞ →∞ + + = = = + ； 幂级数 的收敛半径为 n 1 n nc z − ∑ 1 1 1/ lim lim 1/ | | ( 1) n n n n n n a nc R a n c ρ + →∞ →∞ + = = = + ； 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9．设级数 收敛，而 0 n n c ∞ = ∑ 0 n n c ∞ = ∑ 发散，证明 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径为 1。 3