第3期 刘祥东等：含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 ·401· 统中的经济变量不会出现持续性的周期振荡，而是 u3-3um2+A2-A2+Bu+D=-e [cos(r）· 经历短暂的波动之后回归至均衡.本节将讨论当参 (C2-C2+Eu+F)+sin(r）(E+2Cm）], 数r=0时系统(2)均衡点的稳定性.记1(Y,Z, 3u2m-r3+2Auw+Bu=-e-rcos(r）(E+2Cw）- R')/aY=Iy,al(Y,Z'R')/aR =Ig,al(Y,Z', sin (vT)(Cu2-Cv+Eu+F)] R')/az=Iz,aL(Y,R")/ar=Ly,aL (Y,R')/ (5) aR=Lg,as(Y R")/aY=Sy,as(Y",R")/aR= 根据Beretta和Kuang可的结论，当特征根的实 Sg:本文沿用文献16]中的一般性假设，1，>0，IR< 部穿越零点时，系统的稳定性发生改变因此，考虑 0,Ly>0,LR<0,Sy>0,SR<0.令y(t)=Y(t)-Y, 临界情况，当系统(2)特征根入的实部u=0时，由 r=R(t)-R,z(t)=Z(t)-Z,线性化系统(2) (5)式可得 可得 [Av2-D=(F-Cv2)cos (vT)+Eusin (vT), ry0）=a【u,-S,)y(0+(g-Sx)r)+l2zo)], (6) -Bv=Evcos (vr)-(F-Cv2)sin (vr). r(t)=By()+Lr()], 将(6)式两边同时平方并相加，可得临界点的特征 z(t）=Iw(t)+lRr(t)+12z(t-r）-d(t) 方程为 (3) 6+G+H2+M=0. (7) 进而可以求出系统(3)特征方程为 其中G=A2-2B-C2,H=B2-2AD+2CF-E2, 3+A2+BA+D]+[CA2+E+F]eA M=D2-F2.令w=2,则方程(7)可以化为 P()+Q(A)e-r=0. (4) f(w):=w3+Gw2+Hw+M=0. (8) 其中， 令g=-G3,方程(8)根的判别式为△= A=d-BLg-a(Iy-Sy), f(g]2/4+(g]3/9,则当△<0时，方程(8)有 B=a(Iy-Sy)(BLg -d)-BdLg- 三个不同的实数根：当4>0时，方程(8)存在一个 aB (Ig -Sg)Ly -alzly, 实数根和两个共轭复数根；当△=0时，方程(8)有 C=-1,, 一个二重或三重根. D=aBd [Lg (Iy -Sy)-Ly (Ig -Sp)] 为了方便判断方程根的情况，首先给出以下假 aBIz LLgly -LyIg], 定条件 E=alz (Iy -Sy)+BlzLg, (H,)下列条件之一：(a)G≥0，M<0:(a2)H≤ F=aBIz [Ly (Ig Sg)-Lg (Iy-S)] 0,M<0;(a3)G<0,H>0,M<0,A>0;(a4)G<0, 因此，由Routh--Hurwitz准则可得到如下定理. H=0,M=0;(a5）H<0,M=0. 定理1当？=0时，系统(2)的特征方程为 (H)下列条件之一：(b)G<0,H>0,M>0, A3+(A-C)A2+(B+E)A+D+F=0. △<0：(b2)G<0,H>0,M=0,G>4H 若以下三条件成立：(H)A+C>0,(H2)D+F>0, (H6)G<0,H>0,M<0,4<0. (H3)(A+C)(B+E)-(D+F)>0;则均衡点E= (H,)下列条件之一：(c)G≥0，H≥0，M≥0： (Y,R,Z)局部渐近稳定 (c2)M>0,4>0. l.3Hopf分支分析 根据笛卡尔准则的思想，结合以上假定条件可 分支是经济系统由稳定过渡到不稳定的一个通 以得到如下引理. 道.经济系统一旦出现分支，整体的稳定性将发生 引理1对于方程(8)，有如下结论： 突变，经济变量由稳健地运行转变为持续性的周期 （i)若(H,)成立，则方程(8)有唯一正实根 振荡.本节将讨论当参数r>0时系统(2)均衡点的 w1; 稳定性.利用投资时滞或资本存量的预测时间作为 (ⅱ)若(H)成立，则方程(8)有两个不同的正 分支参数，研究其对于系统稳定性的影响，以及由其 实根w2和w3（假设w2<w3）; 导致Hopf分支的条件. ()若(H。)成立，则方程(8)有三个不同的正 为此，首先需要探讨特征方程(4)根的分布情 实根w4w5和w6（假设w4<w5<w6）; 况.令方程(4)任意特征根为 (V)若(H,)成立，则方程(8)没有正实根. 入(r)=u(r)+iw(r)(i为虚数单位，i2=-1), 令4=√0，k=1,2,…,6,利用方程组(6)求 并将此特征根代入(4)，然后分离实部和虚部可得 sin(tr),cos(r)可得第 3 期 刘祥东等: 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 统中的经济变量不会出现持续性的周期振荡，而是 经历短暂的波动之后回归至均衡． 本节将讨论当参 数 τ = 0 时系统( 2) 均衡点的稳定性． 记I( Y* ，Z* ， Ｒ* ) / Y = IY，I( Y* ，Z* ，Ｒ* ) / Ｒ = IＲ，I( Y* ，Z* ， Ｒ* ) / Z = IZ，L( Y* ，Ｒ* ) / Y = LY，L( Y* ，Ｒ* ) / Ｒ = LＲ，S( Y* ，Ｒ* ) / Y = SY，S( Y* ，Ｒ* ) / Ｒ = SＲ ． 本文沿用文献［16］中的一般性假设，IY ＞ 0，IＲ ＜ 0，LY ＞ 0，LＲ ＜ 0，SY ＞ 0，SＲ ＜ 0． 令 y( t) = Y( t) － Y* ， r = Ｒ( t) － Ｒ* ，z( t) = Z( t) － Z* ，线性化系统( 2) 可得 y'( t) = α［( IY － SY) y( t) + ( IＲ － SＲ) r( t) + IZz( t) ］， r'( t) = β［LYy( t) + LＲr( t) ］， z'( t) = IYy( t) + IＲr( t) + IZz( t － τ) － dz( t) { ． ( 3) 进而可以求出系统( 3) 特征方程为 ［λ3 + Aλ2 + Bλ + D］+［Cλ2 + Eλ + F］e － λτ  P( λ) + Q( λ) e － λτ = 0． ( 4) 其中， A = d － βLＲ － α( IY － SY ) ， B = α( IY － SY ) ( βLＲ － d) － βdLＲ － αβ( IＲ － SＲ ) LY － αIZ IY， C = － IZ， D = αβd［LＲ ( IY － SY ) － LY ( IＲ － SＲ) ］+ αβIZ［LＲ IY － LY IＲ］， E = αIZ ( IY － SY ) + βIZ LＲ， F = αβIZ［LY ( IＲ － SＲ ) － LＲ ( IY － SY) ］． 因此，由 Ｒouth--Hurwitz 准则可得到如下定理． 定理 1 当 τ = 0 时，系统( 2) 的特征方程为 λ3 + ( A － C) λ2 + ( B + E) λ + D + F = 0． 若以下三条件成立: ( H1 ) A + C ＞ 0，( H2 ) D + F ＞ 0， ( H3 ) ( A + C) ( B + E) － ( D + F) ＞ 0; 则均衡点E* = ( Y* ，Ｒ* ，Z* ) 局部渐近稳定． 1. 3 Hopf 分支分析 分支是经济系统由稳定过渡到不稳定的一个通 道． 经济系统一旦出现分支，整体的稳定性将发生 突变，经济变量由稳健地运行转变为持续性的周期 振荡． 本节将讨论当参数 τ ＞ 0 时系统( 2) 均衡点的 稳定性． 利用投资时滞或资本存量的预测时间作为 分支参数，研究其对于系统稳定性的影响，以及由其 导致 Hopf 分支的条件． 为此，首先需要探讨特征方程( 4) 根的分布情 况． 令方程( 4) 任意特征根为 λ( τ) = u( τ) + iv( τ) ( i 为虚数单位，i 2 = － 1) ， 并将此特征根代入( 4) ，然后分离实部和虚部可得 u3 － 3uv2 + Au2 － Av2 + Bu +D = － e － uτ ［cos ( vτ)· ( Cu2 － Cv2 + Eu + F) + sin ( vτ) ( Ev + 2Cuv) ］， 3u2 v － v 3 + 2Auv + Bv = － e － uτ ［cos ( vτ) ( Ev + 2Cuv) － sin ( vτ) ( Cu2 － Cv2 + Eu + F) ］      ． ( 5) 根据 Beretta 和 Kuang［17］的结论，当特征根的实 部穿越零点时，系统的稳定性发生改变． 因此，考虑 临界情况，当系统( 2) 特征根 λ 的实部 u = 0 时，由 ( 5) 式可得 Av2 － D = ( F － Cv2 ) cos ( vτ) + Evsin ( vτ) ， v 3 － Bv = Evcos ( vτ) － ( F － Cv2 { ) sin ( vτ) ． ( 6) 将( 6) 式两边同时平方并相加，可得临界点的特征 方程为 v 6 + Gv4 + Hv2 + M = 0． ( 7) 其中 G = A2 － 2B － C2 ，H = B2 － 2AD + 2CF － E2 ， M = D2 － F2 ． 令 ω = v 2 ，则方程( 7) 可以化为 f( ω) : = ω3 + Gω2 + Hω + M = 0． ( 8) 令 g = － G /3，方程 ( 8 ) 根 的 判 别 式 为 Δ = ［f( g) ］2 /4 +［f'( g) ］3 /9，则当 Δ ＜ 0 时，方程( 8) 有 三个不同的实数根; 当 Δ ＞ 0 时，方程( 8) 存在一个 实数根和两个共轭复数根; 当 Δ = 0 时，方程( 8) 有 一个二重或三重根． 为了方便判断方程根的情况，首先给出以下假 定条件． ( H4 ) 下列条件之一: ( a1 ) G≥0，M ＜ 0; ( a2 ) H≤ 0，M ＜ 0; ( a3 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＜ 0，Δ ＞ 0; ( a4 ) G ＜ 0， H = 0，M = 0; ( a5 ) H ＜ 0，M = 0． ( H5 ) 下列条件之一: ( b1 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＞ 0， Δ ＜ 0; ( b2 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M = 0，G2 ＞ 4H． ( H6 ) G ＜ 0，H ＞ 0，M ＜ 0，Δ ＜ 0． ( H7 ) 下列条件之一: ( c1 ) G≥0，H≥0，M≥0; ( c2 ) M ＞ 0，Δ ＞ 0． 根据笛卡尔准则的思想，结合以上假定条件可 以得到如下引理． 引理 1 对于方程( 8) ，有如下结论: ( ⅰ) 若( H4 ) 成立，则方程( 8) 有唯一正实根 ω1 ; ( ⅱ) 若( H5 ) 成立，则方程( 8) 有两个不同的正 实根 ω2 和 ω3 ( 假设 ω2 ＜ ω3 ) ; ( ⅲ) 若( H6 ) 成立，则方程( 8) 有三个不同的正 实根 ω4、ω5 和 ω6 ( 假设 ω4 ＜ ω5 ＜ ω6 ) ; ( ⅳ) 若( H7 ) 成立，则方程( 8) 没有正实根． 令 vk = 槡ωk，k = 1，2，…，6，利用方程组( 6) 求 sin ( vτ) ，cos ( vτ) 可得 · 104 ·