·402· 北京科技大学学报 第36卷 sin ((AE-Be-F)+(BF-DE) vif(@) c2m+(E2-2Fc)2+F2 a+6k=1,2,,6. cos ()=(E-Ac)+(cD+AF-BE)-DF 由引理2知，f八(w)在w1o3w4和w6的邻域内 c2+(E2-2Fc)2+F2 单调递增，在w2和o5的邻域内单调递减，而f(w) 西 在递增点处的值大于零，在递减处的值小于零.因 l4-E+（4E-Be-PD正+(BF-DE)u 此，式(10)中的不等式成立. c2+(E2-2Fc)+F2 结合引理1以及引理2，根据Ruan和Wei图的 1=E-A+(cD+AF-BE)-DF 结论可以得到如下定理. c2t+(E2-2Fc)+F2 定理3T,的定义见引理2. k=1,2,…,6, (i)若(H)~(H)成立，则当T∈[0，T1.o) 则可以得到如下引理： 时，特征方程(7)的根的实部为负；当T=T1时，特 引理2（i)若(H)成立，则存在正数序列 征方程(6)有一对纯虚根±，其余的根的实部为 {T}二使得T1.0<T,1<T12<…<T1<…,且当 负：当r>T1.。时，特征方程(7)至少有一个实部为正 r=T1,时，方程(7)有一对纯虚根±i: 的根. （i)若(H)成立，则存在正数序列{T}使 （iⅱ)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，则存在 得Tk0<T1<Tk,2<…<T<,且当T=T时，方 正整数m满足T30<T2,0<T3.1<T2.1<…<T3m-2< 程(7)有两对相对应的纯虚根±w4,k=2,3: T2,m-2<T3.m-1<T3,m<T2,m-1,使得系统(2)存在m (i)若(H6)成立，则存在正数序列{x}”使 个由稳定到不稳定的切换.当T∈（T2,T3+1） 得Tk,0<T,1<T4,2<…<T<,且当T=T时，方 (r2,-1=0,j=-1,0,…,m-1)时，特征方程(7)的 程(7)有三对相对应的纯虚根±i4,k=4,5,6. 根实部为负：当T=T2或T=T3(=0,1,2,…)时， 这里T（k=1,2,…,6:j=0,1,2,…）的定义 特征方程(7)有两对纯虚根±2和±iw3,其余根的 如下： 实部为负：当x∈(r3T2》(=-1,0,,m-1) 74,=acos44+2m, l1.k>0; 或T>T.m时，特征方程(7)至少有一个实部为正 (9) :2T arccos l2.+2jT,l.<0. 的根； 定理2若入()=u(x)+iw(r)为方程(7)的 ()若(H)、(H2)和(H3)不成立而(H)成 根，满足u(T）=0且(r)=(k=1,2,…,6; 立，则存在正整数m满足T2.0<T20<T2.1<T3.1<…< j=1,2,…）,则 T2m-1<T3,m-1<T3m<T2,m,使得系统(2)存在m个 u（T1)>0,u'(r2）<0,u(T3）>0,u(T4）>0, 由不稳定到稳定的切换.当T∈（T3T2+1）（T,-1= u(T5）<0,u(r6）>0,j=0,1,2,….(10) 0j=-1,0,…,m-2)或r>T3.m-1时，特征方程（7) 证明由于u(T)=0,对方程组(6)关于T求 至少有一个实部为正的根；当T=T2或x=T3G= 0,1,2,…）时，特征方程(7)有两对纯虚根±i2和 导，并令T=T(k=1,2,…,6;j=1,2,…）,可得如 ±i,其余根的实部为负；当T∈（T2T)G=-1, 下等式 0,…,m-1)时，特征方程(7)的根实部为负. [a:du/dr +b:dv/dr =c, (11) (iV)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，由于 -b du/dr a dv/dr c2. f(w)在wa和o6的邻域内单调递增，在w5的邻域 其中 内单调递减，从而随着T的增大，特征根在w4和w6 a1 =-3v+B+E-Tkj (F-Cup ]cos (vLT.)+ 处从左至右穿越虚轴，在ω5处从右至左穿越虚轴. (2CE-T,EuE)sin(Tk）, 因此，系统(2)至少存在一个稳定性切换 b1 =-2Avk (Evk -2CvL)cos (vKTk.j)+ 定理4T的定义见引理2. E-T,(F-C]sin(ur）, (i)若(H,)~(H)成立，则当T∈0，T1.o) c1=Ue（F-C)sin(T）-Evgcos(vrk）, 时，均衡点局部渐近稳定；当T>T1.o时，均衡点不稳 c2 Evisin (vT.)+v(F-Cv)cos (vLTk.). 定；当r=T1.o时，系统(2)在均衡点处产生Hopf 由方程组(11)可以解得 分支 d(2_a9,-b:g_2(3i+Gd+:+m= (iⅱ)若(H)、(H2)、(H)和(H)成立，则当 dr a+b a+b好 T∈{0}U(T2T3j+1）（T2,-1=0,j=-1,0,…,m-北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 sin ( vτ) = cv5 + ( AE － Bc － F) v 3 + ( BF － DE) v c 2 v 4 + ( E2 － 2Fc) v 2 + F2 ， cos ( vτ) = ( E － Ac) v 4 + ( cD + AF － BE) v 2 － DF c 2 v 4 + ( E2 － 2Fc) v 2 + F2 ． 令 l1，k = cv5 k + ( AE － Bc － F) v 3 k + ( BF － DE) vk c 2 v 4 k + ( E2 － 2Fc) v 2 k + F2 ， l2，k = ( E － Ac) v 4 k + ( cD + AF － BE) v 2 k － DF c 2 v 4 k + ( E2 － 2Fc) v 2 k + F2 ， k = 1，2，…，6， 则可以得到如下引理: 引理 2 ( ⅰ) 若( H4 ) 成立，则存在正数序列 { τ1，j } ∞ j = 0使得 τ1，0 ＜ τ1，1 ＜ τ1，2 ＜ … ＜ τ1，j ＜ …，且当 τ = τ1，j时，方程( 7) 有一对纯虚根 ± iv1 ; ( ⅱ) 若( H5 ) 成立，则存在正数序列{ τk，j } ∞ j = 0使 得 τk，0 ＜ τk，1 ＜ τk，2 ＜ … ＜ τk，j ＜ …，且当 τ = τk，j时，方 程( 7) 有两对相对应的纯虚根 ± ivk，k = 2，3; ( ⅲ) 若( H6 ) 成立，则存在正数序列{ τk，j } ∞ j = 0使 得 τk，0 ＜ τk，1 ＜ τk，2 ＜ … ＜ τk，j ＜ …，且当 τ = τk，j时，方 程( 7) 有三对相对应的纯虚根 ± ivk，k = 4，5，6． 这里 τk，j ( k = 1，2，…，6; j = 0，1，2，…) 的定义 如下: τk，j = 1 vi arccos l2，k + 2jπ， l1，k ＞ 0; 2π － arccos l2，k + 2jπ， l { 1，k ＜ 0． ( 9) 定理 2 若 λ( τ) = u( τ) + iv( τ) 为方程( 7) 的 根，满足 u( τk，j) = 0 且 v( τk，j) = vk ( k = 1，2，…，6; j = 1，2，…) ，则 u'( τ1，j ) ＞ 0，u'( τ2，j ) ＜ 0，u'( τ3，j ) ＞ 0，u'( τ4，j ) ＞ 0， u'( τ5，j ) ＜ 0，u'( τ6，j ) ＞ 0，j = 0，1，2，…． ( 10) 证明 由于 u( τk，j ) = 0，对方程组( 6) 关于 τ 求 导，并令 τ = τk，j ( k = 1，2，…，6; j = 1，2，…) ，可得如 下等式 a1 du /dτ + b1 dv /dτ = c1， － b1 du /dτ + a1 dv /dτ = c2 { ． ( 11) 其中 a1 = － 3v 2 k + B +［E － τk，j ( F － Cv2 k) ］cos ( vkτk，j ) + ( 2Cvk － τk，j Evk ) sin ( vkτk，j ) ， b1 = － 2Avk + ( Evk － 2Cvk ) cos ( vkτk，j ) + ［E － τk，j ( F － Cv2 k) ］sin ( vkτk，j ) ， c1 = vk ( F － Cv2 k ) sin ( vkτk，j ) － Ev2 k cos ( vkτk，j ) ， c2 = Ev2 k sin ( vkτk，j ) + vk ( F － Cv2 k ) cos ( vkτk，j ) ． 由方程组( 11) 可以解得 du( τk，j ) dτ = a1 c1 － b1 c2 a2 1 + b 2 1 = v 2 k ( 3v 4 k + Gv2 k + Hvk + M) a2 1 + b 2 1 = v 2 k f'( ωk ) a2 1 + b 2 1 ，k = 1，2，…，6． 由引理 2 知，f( ω) 在 ω1、ω3、ω4 和 ω6 的邻域内 单调递增，在 ω2 和 ω5 的邻域内单调递减，而 f'( ω) 在递增点处的值大于零，在递减处的值小于零． 因 此，式( 10) 中的不等式成立． 结合引理 1 以及引理 2，根据 Ｒuan 和 Wei［18］的 结论可以得到如下定理． 定理 3 τk，j的定义见引理 2． ( ⅰ) 若( H1 ) ～ ( H4 ) 成立，则当 τ∈［0，τ1，0 ) 时，特征方程( 7) 的根的实部为负; 当 τ = τ1，0时，特 征方程( 6) 有一对纯虚根 ± iv1，其余的根的实部为 负; 当 τ ＞ τ1，0时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正 的根． ( ⅱ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H5 ) 成立，则存在 正整数 m 满足 τ3，0 ＜ τ2，0 ＜ τ3，1 ＜ τ2，1 ＜ … ＜ τ3，m － 2 ＜ τ2，m － 2 ＜ τ3，m － 1 ＜ τ3，m ＜ τ2，m － 1，使得系统( 2) 存在 m 个由稳 定 到 不 稳 定 的 切 换． 当 τ ∈ ( τ2，j ，τ3，j + 1 ) ( τ2，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － 1) 时，特征方程( 7) 的 根实部为负; 当 τ = τ2，j或 τ = τ3，j ( j = 0，1，2，…) 时， 特征方程( 7) 有两对纯虚根 ± iv2 和 ± iv3，其余根的 实部为负; 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正 的根; ( ⅲ) 若( H1 ) 、( H2 ) 和( H3 ) 不成立而( H5 ) 成 立，则存在正整数 m 满足 τ2，0 ＜ τ2，0 ＜ τ2，1 ＜ τ3，1 ＜ … ＜ τ2，m － 1 ＜ τ3，m － 1 ＜ τ3，m ＜ τ2，m，使得系统( 2) 存在 m 个 由不稳定到稳定的切换． 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j + 1 ) ( τ3，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － 2) 或 τ ＞ τ3，m － 1时，特征方程( 7) 至少有一个实部为正的根; 当 τ = τ2，j或 τ = τ3，j ( j = 0，1，2，…) 时，特征方程( 7) 有两对纯虚根 ± iv2 和 ± iv3，其余根的实部为负; 当 τ∈( τ2，j ，τ3，j) ( j = － 1， 0，…，m － 1) 时，特征方程( 7) 的根实部为负． ( ⅳ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H6 ) 成立，由于 f( ω) 在 ω4 和 ω6 的邻域内单调递增，在 ω5 的邻域 内单调递减，从而随着 τ 的增大，特征根在 ω4 和 ω6 处从左至右穿越虚轴，在 ω5 处从右至左穿越虚轴． 因此，系统( 2) 至少存在一个稳定性切换． 定理 4 τk，j的定义见引理 2． ( ⅰ) 若( H1 ) ～ ( H4 ) 成立，则当 τ∈［0，τ1，0 ) 时，均衡点局部渐近稳定; 当 τ ＞ τ1，0时，均衡点不稳 定; 当 τ = τ1，0 时，系统( 2 ) 在均衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅱ) 若( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H5 ) 成立，则当 τ∈{ 0} ∪( τ2，j ，τ3，j + 1 ) ( τ2，－ 1 = 0，j = － 1，0，…，m － · 204 ·