第3期 刘祥东等：含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 ·403· 2)时，均衡点局部渐近稳定；当T∈(T3'T2,）(= 换，在均衡点处产生Hopf分支现象；当分支参数x∈ -1,0,…,m-1)或r>T3m时，均衡点不稳定；当 (6.6589,12.2402)U（23.9387,34.6872)U r∈T2UT3UT3m-1(=-1,0,…,m-2)时，系统 (41.2879,57.1342)U(58.6371,+∞)时，经济系 (2)在均衡点处产生Hopf分支. 统不稳定，经济变量产生周期性振荡，呈现出明显的 (i)若(H)、(H2)和(H)不成立而(H)成 经济周期特征 立，则当T∈(T2T3)（=-1,0,,m-1)时，均 为了进一步展示分支参数τ对于经济系统稳定 衡点局部渐近稳定；当T∈{0}U(T3T2+1)(= 性的影响，固定以上参数值，选取不同？值进行对 -1,0,…,m-1)或T>T3.m时，均衡点不稳定；当 比.下文数值模拟中，选取的系统初始值为(Y(O), T∈T2UT3(=-1,0,…,m-1)时，系统(2)在均 R(0),K(0+))=(1,0.02,3).首先分别选取分 衡点处产生Hopf分支. 支参数T=5和T=14,根据前文的理论分析可知， (iv)假定(H)、(H2)、(H)和(H)成立，若 此时经济系统稳定，能够达到一般均衡状态。由系 x是一个稳定性切换，其中T满足ω(r)∈{w, 统(2)的时间图（图1和图2）可见，随时间t的增 5w6},则当T=T时，系统（2)在均衡点处产生 大，生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度逐渐 Hopf分支. 变小，在经历一段时间的经济运行之后，最终趋向于 经济均衡状态，经济运行平稳.这表明在较短的投 2数值模拟 资时滞和合理的资本存量预期下，投资活动与整体 本部分将用Matlab软件执行一些数值模拟以 经济状况搭配基本合理，没有出现投资不足或过度 验证本文所得结论，同时展示参数r(投资时滞或资 投资问题，总产出、利率和资本存量运行平稳、最终 本存量的预测时间)对于经济周期产生的重要意 趋向一般均衡状态 义.在数值模拟中，根据文献4]，选取如下Kaldor 然后再分别选取分支参数T=6.59和T=24, 型投资函数 由前文的理论分析可知，此时经济系统不稳定，将发 I(Y(t),K(t),R(t))=I(Y(t),R(t))-ck(t)= 生周期性波动.系统(2)的时间图（图3和图4）显 exp (Y(t))/1+exp(Y())]-R(t)-cK(t), 示，随时间t的变化，生产总值、利率和预期资本存 其中刀为大于0的常数.储蓄函数为线性的，即 量产生周期性振荡，经济变量呈现显著的周期特性 S(Y(t),R(t))=aY(t)+bR(t), 造成这一现象的原因在于，在较长的投资时滞和资 其中和为大于0的常数.根据文献9]，选取流动 本存量预期下制定投资决策，现阶段出现投资不足 性偏好函数为 现象，投资活动与整体经济运行错位，导致经济出现 L(Y(t),R(t))=L,(Y(t))+L2(R(t)= 周期性的波动.本文的数值模拟还发现，随着？值 8Y(t)+[B/(R(t)-]. 的不断增大，经济系统(2)在经历多个稳定性切换 其中8>0,0>0，且R>0是一个非常小的确定利 后，最终变得不稳定.限于篇幅，不再展示后续的数 率，当利率R()下降到R时，产生流动性陷阱，即 值模拟.需要说明的是，过长的投资时滞或预测时 L2(R(t))→+o,R(t)→R 间与现实情况不符，这里仅是出于全面的理论分析 除r以外的参数取值如下：a=2,B=1.2,6= 考虑 0.04,7=0.1,0=0.0005,a=0.2,b=0.1,c= 3.0 +T) 0.2,d=0.1,M=0.05.根据这些参数值，容易得 出系统的均衡点E=（1.1685,0.1544,2.4915). 2.0 进一步计算可得，当T=0时，特征方程为入3+ 1.5 0 0.36372+0.1116入+0.005977=0，易知(H,）、 (H,)和(H)成立，从而系统均衡点局部渐近稳定. 05 由于G=-0.2110,H=0.01060,M=-1.2508× 0 50100150200250300 10-5,△=-3.1086×10-，利用引理(1)中的判别 方法可知，特征方程有三个不同的正实根.根据定 图1当？=5时系统(2)局部渐近稳定 理3、定理4和式(9)，经过计算可得：当分支参数r Fig.1 Locally asymptotically stability of System (2)at T=5 分别为6.6589、12.2402、23.9387、41.2879、57.1342 图1~图4所展示的经济系统稳定性的转变表 和58.6371时，系统(2)相应地发生七次稳定性切 明，分支参数T能够对宏观经济的稳定运行起决定第 3 期 刘祥东等: 含有预期和时滞的经济周期模型稳定性分析 2) 时，均衡点局部渐近稳定; 当 τ∈( τ3，j ，τ2，j) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，均衡点不稳定; 当 τ∈τ2，j∪τ3，j∪τ3，m － 1 ( j = － 1，0，…，m － 2) 时，系统 ( 2) 在均衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅲ) 若( H1 ) 、( H2 ) 和( H3 ) 不成立而( H5 ) 成 立，则当 τ∈( τ2，j ，τ3，j ) ( j = － 1，0，…，m － 1) 时，均 衡点局部渐近稳定; 当 τ∈{ 0} ∪( τ3，j ，τ2，j + 1 ) ( j = － 1，0，…，m － 1) 或 τ ＞ τ3，m 时，均衡点不稳定; 当 τ∈τ2，j∪τ3，j( j = － 1，0，…，m － 1) 时，系统( 2) 在均 衡点处产生 Hopf 分支． ( ⅳ) 假定( H1 ) 、( H2 ) 、( H3 ) 和( H6 ) 成立，若 τ* 是一个稳定性切换，其中 τ* 满足 ω( τ* ) ∈{ ω4， ω5，ω6 } ，则当 τ = τ* 时，系统( 2) 在均衡点处产生 Hopf 分支． 2 数值模拟 本部分将用 Matlab 软件执行一些数值模拟以 验证本文所得结论，同时展示参数 τ( 投资时滞或资 本存量的预测时间) 对于经济周期产生的重要意 义． 在数值模拟中，根据文献［14］，选取如下 Kaldor 型投资函数 I( Y( t) ，K( t) ，Ｒ( t) ) = I1 ( Y( t) ，Ｒ( t) ) － cK( t) = exp ( Y( t) ) /［1 + exp( Y( t) ) ］－ ηＲ( t) － cK( t) ， 其中 η 为大于 0 的常数． 储蓄函数为线性的，即 S( Y( t) ，Ｒ( t) ) = aY( t) + bＲ( t) ， 其中和为大于 0 的常数． 根据文献［19］，选取流动 性偏好函数为 L( Y( t) ，Ｒ( t) ) = L1 ( Y( t) ) + L2 ( Ｒ( t) ) = δY( t) +［θ /( Ｒ( t) － ^ Ｒ) ］． 其中 δ ＞ 0，θ ＞ 0，且 ^ Ｒ ＞ 0 是一个非常小的确定利 率，当利率 Ｒ( t) 下降到 ^ Ｒ 时，产生流动性陷阱，即 L2 ( Ｒ( t) ) → + ∞ ， Ｒ( t) → ^ Ｒ． 除 τ 以外的参数取值如下: α = 2，β = 1. 2，δ = 0. 04，η = 0. 1，θ = 0. 0005，a = 0. 2，b = 0. 1，c = 0. 2，d = 0. 1，M = 0. 05． 根据这些参数值，容易得 出系统的均衡点 E* = ( 1. 1685，0. 1544，2. 4915) ． 进一步 计 算 可 得，当 τ = 0 时，特 征 方 程 为 λ3 + 0. 3637λ2 + 0. 1116λ + 0. 005977 = 0，易 知 ( H1 ) 、 ( H2 ) 和( H3 ) 成立，从而系统均衡点局部渐近稳定． 由于 G = － 0. 2110，H = 0. 01060，M = － 1. 2508 × 10 － 5，Δ = － 3. 1086 × 10 － 7，利用引理( 1) 中的判别 方法可知，特征方程有三个不同的正实根． 根据定 理 3、定理 4 和式( 9) ，经过计算可得: 当分支参数 τ 分别为 6. 6589、12. 2402、23. 9387、41. 2879、57. 1342 和 58. 6371 时，系统( 2) 相应地发生七次稳定性切 换，在均衡点处产生 Hopf 分支现象; 当分支参数τ∈ ( 6. 6589， 12. 2402 ) ∪ ( 23. 9387， 34. 6872 ) ∪ ( 41. 2879，57. 1342) ∪( 58. 6371，+ ∞ ) 时，经济系 统不稳定，经济变量产生周期性振荡，呈现出明显的 经济周期特征． 为了进一步展示分支参数 τ 对于经济系统稳定 性的影响，固定以上参数值，选取不同 τ 值进行对 比． 下文数值模拟中，选取的系统初始值为( Y( 0) ， Ｒ( 0) ，K( 0 + τ) ) = ( 1，0. 02，3) ． 首先分别选取分 支参数 τ = 5 和 τ = 14，根据前文的理论分析可知， 此时经济系统稳定，能够达到一般均衡状态． 由系 统( 2) 的时间图( 图 1 和图 2) 可见，随时间 t 的增 大，生产总值、利率和预期资本存量的波动幅度逐渐 变小，在经历一段时间的经济运行之后，最终趋向于 经济均衡状态，经济运行平稳． 这表明在较短的投 资时滞和合理的资本存量预期下，投资活动与整体 经济状况搭配基本合理，没有出现投资不足或过度 投资问题，总产出、利率和资本存量运行平稳、最终 趋向一般均衡状态． 然后再分别选取分支参数 τ = 6. 59 和 τ = 24， 由前文的理论分析可知，此时经济系统不稳定，将发 生周期性波动． 系统( 2) 的时间图( 图 3 和图 4) 显 示，随时间 t 的变化，生产总值、利率和预期资本存 量产生周期性振荡，经济变量呈现显著的周期特性． 造成这一现象的原因在于，在较长的投资时滞和资 本存量预期下制定投资决策，现阶段出现投资不足 现象，投资活动与整体经济运行错位，导致经济出现 周期性的波动． 本文的数值模拟还发现，随着 τ 值 的不断增大，经济系统( 2) 在经历多个稳定性切换 后，最终变得不稳定． 限于篇幅，不再展示后续的数 值模拟． 需要说明的是，过长的投资时滞或预测时 间与现实情况不符，这里仅是出于全面的理论分析 考虑． 图 1 当 τ = 5 时系统( 2) 局部渐近稳定 Fig． 1 Locally asymptotically stability of System ( 2) at τ = 5 图 1 ～ 图 4 所展示的经济系统稳定性的转变表 明，分支参数 τ 能够对宏观经济的稳定运行起决定 · 304 ·