省级精品课程—材料力学 综合以上讨论，在线弹性范围内，若外力由零开始逐渐增加到最终值，外力功等于力与 力作用点沿力方向位移的乘积的一半。根据功能原理，杆的变形能在数值上等于变形过程中 外力所做的功。因此可将变形能写成统一的形式 U-8-P5 (13-8) 这里P和6分别为广义力和广义位移。 三、组合变形时杆的弹性变形能 M(n K) 图13-5 设杆的某一微段同时存在弯曲、扭转和拉伸（压缩）变形，相应的内力弯矩M(x入、扭 矩M(x)和轴力N(x)如图135所示。设两端截面的相对转角为d0、相对扭角为d、相对 向位移为，△山.由于横藏面上内力只在相对应的位移上作功，在其他位移上不内 例如弯矩() 上作) 在扭角dp和 位科 作功，因此杆白 弯曲变形能、扭转变形能、拉（压）变形能可分别独立计算，并叠加作为组合变形时的变形 能： d=分N)d(△D+号n6d0+号L)dg N()d M()de M.()c 2EA 2EI, 2GIp 整个杆的变形能由积分得到 (13-9) 2EA 27 2G 四、变形能的性质 总结以上分析，弹性变形能有以下主要性质： 弹性变形能恒为正值，因为变形能总可表示为内力的平方或位移的平方，故恒 为正。 2 弹性变形能只与变形的初始状态和最终状态有关，而与变形的过程或加载的次 序无关。这个性质其实就是势能所具有的性质，弹性变形能也就是一种势能。还可以用反过 法来说明这个性质：假定弹性变形能与加载的次序有关，我们可以用一种次序加载，再卸载 (即用另一种次序加载)，于是会多出净功，这不符合能量守恒原理。因此，假定是不正确 的。 弹性变形能的计算通常不适用叠加原理。理由很简单，因为变形能是内力或位 移的二次式。例如，设图13-6(a)所示的躁在P作用下的变形能为 U=4w达 2 238 This document is gencrated by trial version of Print2Flash (www.print2flash.com)