省级精品课程—材料力学 第十三章能量法 §13.1基本概念 一、能量原理 在固体力学中，有许多与能量概念有关的定理、原理。例如，所谓功能原理就是其中的 一个。图13-l(a)所示的梁就是变形周体，在外力P的作用下，力的作用点沿力的作用线 方向产生位移△，于是外力P作了功。与此同时，桑由于变形而储存了变形能。若外力》 零开始缓慢平稳地增加到最终值，在变形过程中，动能及热能的变化可以略去不计，于是可 以认为，外力所做的功W全部转化为储存于变形周体内的变形能U,即 U-W (13-1) P IR ) (b) 图13-1 (13-1)式称为功能原理，它实际上是能量守恒与转换定律在变形固体中的一个具体应用。 理论力学中介绍的虚功原理也是一个例子。这里不打算重复虚功原理的内容，但为了后 面使用方便，必须强调一下虚功的概念在图13-(b)所示的梁上已有P力作用，若再作 用R力， 此时P力作用点沿P力方向产生了位移 2 因 力P在位移△：上也 了功。 在别的原因所产生的位移上微的功称为虚功，这里的位移当然是指力的作用点沿力的作用线 方向的位移.图13-1(b)中P力在△，上做的功就是虚功，而图13-1(a)中P力在△，做 的功是实功。 我们把与能量摄今有关的定理、原理续称为能量原理。因为功的表法式中总句含位移， 因此可以应用能量原理来计算变形固体的位移，这个方法称为能量法。实际上，能量法是计 算位移的普遍而又简便的方法。 二、基本变形时杆的弹性变形能 下面分别讨论杆在几种基本变形时的变形能。 1 轴向拉伸或压缩 在线弹性范用内，当拉力P从零开始逐渐增加到最终值时，杆的伸长△L与拉力P成线 性关系，见图 13-2(a)入、()。现在设想如同加砝码那样，拉力P是一点一点逐渐增加的 设在加载过程中拉力为P1,杆的伸长为△L,见图13-2(b)、(©).若拉力再增加P,则 伸长的增量为d(△L),此时己有的P1力在位移d(△)上所做的元功是 dw=Pd△L) 235 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程 一材料力学 ,+ L CL) 图13-2 这就是图13-2(c)中阴影部分的面积。把拉力P看作是一系列P1的积累，则拉力P所做 的总功W应为上述微面积之总和，而等于三角形OAB的面积： U=w-f广PdaL,-'兰uaL） EA(AL) 2L 注意到轴力N=P,故 (13-2) 2L 若轴力沿杆长为变量，可先计算长为止的微段杆的变形能 d-Ww达 2EA 做积分得整个杆的变形能 若N为常量，得 (13-3) 2.圆杆的扭转 在线弹性范围内，若扭转力偶矩从零开始逐新增加到最终值M,则扭转角0与M之 间也是线性关系，见图133(a)(b)。与拉伸变形相似的证明方法可得到，扭转力偶Mr 在位移P上所做的功等于M,一p图中三角形0OB的面积，又注意到圆杆任意截面上的扭矩 M,=M,故得圆杆扭转时的变形能 r器号 (13-4) 236 This document is gencrated by trial version of Print2Flash (www.printflash.com)
省级精品课程 一材料力学 (a) 图13-3 若扭矩沿杆的轴线为变量，则杆的变形能为 U=「Mx (13-5】 2G1. 3.纯弯曲及横力湾曲 图13-4(a)所示为长L的杆在弯曲力偶Me作用下产生纯弯曲变形， (a) (6) 图13-4 在线弹性范围内，当弯曲力偶从零开始逐渐增加到最终值Me时，e与杆两端截面的相对 转角成线性关系，如图13-4(b)所示。因此Me在位移上所做的功也可以用三角形 0的面积表示，法意到杆任一面矩，几何关系分子以及公式分 M,则 纯弯曲时杆的变形能 (13-6) 在横力弯曲情况下，梁横截面上的内力除弯矩外，通常还有剪力，且随截面位置而改变 这时应分别计算与弯曲变形和剪切变形对应的变形能。但对于细长染，剪切变形能比弯曲变 形能要小得多，可以略去不计，只需要考虑弯曲变形能。计算弯曲变形能时，考虑到弯矩是 变量，对任意微段梁应用(136)式，由积分求得长为L的全梁或一段梁的变形能 0=∫44 (13-7) 2EI, 237 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 综合以上讨论，在线弹性范围内，若外力由零开始逐渐增加到最终值，外力功等于力与 力作用点沿力方向位移的乘积的一半。根据功能原理，杆的变形能在数值上等于变形过程中 外力所做的功。因此可将变形能写成统一的形式 U-8-P5 (13-8) 这里P和6分别为广义力和广义位移。 三、组合变形时杆的弹性变形能 M(n K) 图13-5 设杆的某一微段同时存在弯曲、扭转和拉伸（压缩）变形，相应的内力弯矩M(x入、扭 矩M(x)和轴力N(x)如图135所示。设两端截面的相对转角为d0、相对扭角为d、相对 向位移为，△山.由于横藏面上内力只在相对应的位移上作功，在其他位移上不内 例如弯矩() 上作) 在扭角dp和 位科 作功，因此杆白 弯曲变形能、扭转变形能、拉（压）变形能可分别独立计算，并叠加作为组合变形时的变形 能： d=分N)d(△D+号n6d0+号L)dg N()d M()de M.()c 2EA 2EI, 2GIp 整个杆的变形能由积分得到 (13-9) 2EA 27 2G 四、变形能的性质 总结以上分析，弹性变形能有以下主要性质： 弹性变形能恒为正值，因为变形能总可表示为内力的平方或位移的平方，故恒 为正。 2 弹性变形能只与变形的初始状态和最终状态有关，而与变形的过程或加载的次 序无关。这个性质其实就是势能所具有的性质，弹性变形能也就是一种势能。还可以用反过 法来说明这个性质：假定弹性变形能与加载的次序有关，我们可以用一种次序加载，再卸载 (即用另一种次序加载)，于是会多出净功，这不符合能量守恒原理。因此，假定是不正确 的。 弹性变形能的计算通常不适用叠加原理。理由很简单，因为变形能是内力或位 移的二次式。例如，设图13-6(a)所示的躁在P作用下的变形能为 U=4w达 2 238 This document is gencrated by trial version of Print2Flash (www.print2flash.com)
省领精品课程一材料力学 *a ta) (b) ce) 图13-6 在P作用下的变形能（图13-6(b)为 w达 在P和P共同作用下的变形能为 ∫M达 rM)+M.止 2E 2E1 w+∫(M.包 EI. 可见，U≠+ 但是，若构件上有两种载荷，其中的任一种载荷在另一种载荷所产生的位移上不做功 则该两种载荷作用下的变形能等于它们分别作用下的变形能之和，即可实行叠加·上面所讲 的组合变形时的变形能计算就属于这个情况。 例13-1简支梁跨中受集中力P的作用，求跨中的挠度，设抗弯刚度E:已知 A B 一⅓ 例13-1图 解：首先，计算梁的变形能，梁AC段任一横截面的弯矩是 运用对称性得变形能 分 PP 96EI. 239 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 共次，计算外力功=一P听。 最后，应用功能原理，=界，即 品以 由此得到 f为正值，表示与P的方向相同。 由本例看到，应用功能原理能方使地求出位移。但是，直接应用功能原理计算位移也会 遇到麻烦，例如，若计算D点的挠度，该点处没有集中力，无法应用功能原理：又例如，若 将跨中的集中力P去掉，换成均布载荷下的简支梁，跨中的挠度也不能直接由功能原理 出：还有，若本例的简支梁上同时有两个或两个以上载荷，想用功能原理求跨中挠度也显得 无能为力了。为解决这类问题，应继续分析能量原理。 §13.2莫尔定理 R=1 (b) ce) 图13-7 设在载荷P、P、P、P…作用下，梁的弯矩是M(x),梁的变形能是 (a) 根据前一节的分析，直接应用功能原理还无法求出任意点C的挠度￡，为此必须另找出路 设在上述一组载荷作用之前，先在C点沿f方向作用一个单位力P1,如图13-7(b》所示 这时梁的弯矩记为M(x),梁的变形能是 (b) 在已经有了P后，再把原来的一组载荷P、P、P、…作用到梁上，见图13-7(c)。对于线 弹性结构，计算变形可应用叠加原理。于是，虽然先有P作用，载荷P、P、P…在它们各 自的位移上所做的功仍然等于变形能U,即()式。但是，由于P。1己在梁上，故它在位 移f上做功Pf=1·f。这样一来，按先作用P再作用P、P、P、…的次序加载，染的变形 能是 (e) 另一方面，在P和P、P、P、…的共同作用下，梁的弯矩为(x)+W(),梁的变形 This document is generated by trial version of Print2Flash (www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 能为 M(M d (d) 2EI. (c)、(d)两式应相等： stI·f可，G+aM国 (e) 展开(e)式右边，并利用(a)、(b)两式，得 1·MCM.达 (13-10) EI 这就是计算挠度的莫尔定理。又称为莫尔积分。利用莫尔定理计算位移时，必须在指定点及 指定方向上假想地加一个单位力，所以这个方法又称为单位力（载荷）法。公式(13-10) 的实质是功，而且是假想的单位力在真实的位移上所做的虚功。由此看来，我们利用虚功解 决了直接利用功能原理不便计算位移的困难。 若需要计算某一截面的转角，则在需要计算转角的截面及转动方向上假想地加一个单位 力偶矩，用与上面类似的方法，得到计算转角的莫尔积分 0=MM达 E (13-11) 式中M(x)是给定载荷作用下的弯矩，”(x)是单位力偶矩作用下的弯矩。 对于组合变形杆，莫尔积分可表示为 5=NN但+4M.但+jM.(eM田h (13-12) EI. 式中8为广义位移（线位移或角位移），N(x)、M(x)、M(x)为给定载荷作用下的轴力、弯 矩、扭矩，(x)、(x)、M。(x)为广义单位力（力或力偶矩）作用下的内力。对于圆截面 杆，式中I为极惯性矩，对于非圆成面杆，应将I换成相当的几何量。 桁架的每根杆均为轴向拉伸或压缩杆，且为二力杆（每杆中轴力为常数），设有根杆 则架的莫尔定理可写成 5->NN EA (13-11) 将莫尔定理推广到小曲率曲杆，则对应于(1312)式中的x应改为现长S。例如，若仅 考虑弯曲变形能，则 &=Ms包 (13-14) E7, 例13-2简支梁跨中受集中力P作用（图a),求B支座截面的转角8，设E1:已知. 241 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 A TB A 一X () (b) 例13-2图 解：本例中，位移9：不是发生在P力作用点处。在B截面沿0：的转动方向施加单位力 偶矩皿=1，见图(b)。分别计算染在给定载荷P和假想单位力偶矩m。的作用下的弯矩 M(x)=巳x (0≤x≤号) M(x)号xpx 是(x)于 (0≤x≤I) 代入(13-11)式 0(7+经-p27 -p/2p/2 D/ 48EL,24EL,-16E, 式中负号表示。与m的转向相反 例13-3图(a)所示为悬臂梁受均布载荷q作用，求自由端A的挠度f,设EI:已知。 8 9 人， ca) 例13-3图 解：在自由端A沿挠度方向施加单位力P。=1图(b),分别计算q和P,作用下梁的弯矩 (0≤x≤1) (x)=一X (0≤x≤) 代入(13-10)式. 立f罗w品 例13-4计算图()所示析架节点k的竖直位移和水平位移，设各杆的A相同。 242 This document is gencrated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程一材料力学 I6) 例13-4图 解：计算P力作用下桁架各杆的轴力。为计算K点的竖直位移，在K点沿竖直方向施加单 位力P=1,见图(b),并计算单位力作用下桁架各杆的轴力。为计算K点的水平位移，在 K点沿水平方向施加单位力P。=1,见图()，并计算单位力作用下桁架各杆轴力。各杆轴力 及有关数据见下表。 由区古单位力 杆号 长度 由P产生的 由水平单位力 产生的轴力 NiNaLa 严生的轴力 轴力N: N.NaL Nat Not 1 E 2 +2EPo 0 0 2 +卫 +P% +1 +Pa 30 -1 +Pa -1 +Pa 4 + r2 +22Po +E +22Pa -P -1 +Pa 0 0 (3+4pa) e+Era) 将表中数据代入(13-13)式得K点的竖直位移 e8F侣： 及水平位移 -2+2E兴 例13-5图()为活塞环的示意图。试计算在P力作用下切口的张开量。 ca) Ce) t55 12-5 解：计算切口的张开量，也就是计算切口两边的相对位移。为此，应在切口的两边沿张 开的方向施加一对单位力（图b). 分别计算在P力和单位力作用下活塞环横截面上的内力。由图(c)可看到，活塞环横 24g3 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 被面上的内力一般有轴力、剪力和弯矩，因此活塞环产生组合变形。略去剪切变形，仅考虑 弯曲和拉压变形，相应的内力是 (p)=-PR(I-cosp) (p)=-Pcosp M (p)=-R(1-cosp) N。(p)=-cosp 这里，规定使曲杆的曲率增加时弯矩取正号，反之为负。利用公式(13-14)并注意组合变 形，以及活塞环的对称性，得 624sY.@2NoN@k EA 子IMoM,(oup子IoN,oRe 置-plo+设osa 为比较上式中的两项，暂且按直径为d的圆截面，且=5d估计，由此得到 6=(2400+20)a 可见，第二项可略去不计，切口的张开量主要由弯曲变形而引起 §13.3图乘法 在对染和刚架应用莫尔定理时，要计算积分 [MMs达 El. 对于等直杆，EI为常数，故上面积分变为 [M(x)M,(x)dx 在单位力或单位力偶矩的作用下，直杆的贴(x)图必定是直线或折线，这个特点使我 们可以利用弯矩图较方便地完成积分(a)。 244 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)