省领精品课程—材料力学 第十章应力状态 §10.1应力状态的概念 在S2-4里，我们研究了轴向拉（压）杆斜截面上的应力，并且看到了，横截面上、45 斜藏面上以及其他斜截面上的应力一般都是不同的。在5-6里也作过类似的分析。通过柏件 内某 一点可以作不同的截面，通过一点的所有截面上在该点处的应力情况称为一点处的应力 状态。 像§2-4那样研究任意斜截面上的应力是一个特殊情况，因为轴向拉（压）向趣比较简 单。在一般情况下，为了研究怕件内某点处的应力状态，可以围绕该点截取一小块材料，如 图10-1所示。在S5-6中研究圆杆扭转时斜截面上的应力就是这祥作的。这一小块材料就代 表上点，又称为单元体。由于单元体的边长为无穷小量，故可以认为它的各个表面上的应力 是均匀的，且认为单元体任一对平行面上的应力是相等的。若图101中单元体的三对表面 上的应力已知，则其任一斜截面上的应力就可以通过截面法求得，从而也就完全确定了该点 处的应力状态。 图10-1 在一般情况下，在单元体的三对表面上以及任一斜面上，既有正应力，又有剪应力。若 某个截面（包括表面）上的剪应力为零，则该截面称为主平面。主平面上的正应力称为主应 力。可以证明，通过构件内任一点一定存在三个互相垂直的主平面，相应的三个主应力分别 用T、T、2和T表示，且按代数值的大小排列其顺序，即T,≥T,≥T。 点个的应力状态可根据该点处的三个主应力来分类：只有一个主应力不等于零的应力 状态称为单向应力状态。例如轴向拉（拉）杆内任一点的应力状态是单向应力状态.（图92》 有两个主应力不等零的应力状态称为二向应力状态或平面应力状态。例如薄壁圆筒容器表面 上的任一点（图93）的应力状态是平面应力状态。三个主应力都不等于零的应力状态称为 三向应力状态。例如钢轨的头部与车轮接触点处的应力状态就属于三向应力状态（图94）。 单向应力状态又称为简单应力状态， 二向和三向应力状态又统称为复杂应力状态。 图9-2 200 This document is generated by trial version of PrintFlash(www.printflash.com)
省级精品课程 一材料力学 (4 图94 例10-1分析图9-3所示圆柱形薄壁容器表面上D,点的应力状态。 解：在第二章练习题2-33里己经求出容器横截面和纵截面上的正应力分别是 即(217)和(218)式。若在容器表面上取一点D,的上下一对表面上有T,左右一对表 面上有T。D2的前面是容器外表面，应力为零。又由于D,三对表面上剪应力为零，故该 三对（个）表面都是主平面，相应的正应力为主应力。按代数值的大小排列，D:的三个主 应力是 41 ，00 D2为平面应力状态。有时侯为了简化，只画出单元体的平面图，见图9-3。 201 This document is generated by trial version of PrintFlash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 §10.2平面应力状态分析一一解析法 一、任意斜截面上的应力 图9-5(a 所示为 面应力状态下单元体的最一般情况，与纸面平行的表面上剪应力和 正应力都为零，其余两对表面上既有正应力也有剪应力，图9一5(6)为该单元体的平面 图。 我们现在研究的问题是：已知单元体表面上的应力o,C。·,C,求垂直于纸面的任意 斜裁面（图中有阴线的面）上的应力。，和C。 有关正负号规定如下 (c) 图9-5 正应力·以拉应力为正，压应力为负： 剪应力π以其矢量有绕单元体内任一点作顺时针转动趋势为正，反之为负： 用α表示任意斜截面的位置，从x轴逆时针转到斜截面的外法线n时，a为正，反之为 负 根据以上规定，图95中，为负，其余应力及a角均为正 现在用藏面法求上述任一斜截面上的应力。设想用该斜被面将单元体切开，见图9一5 (b).取出截面的一边（棱柱体形状）作为研究对象，是图9一5(c)或()。一般地说， 斜截面上将有正应力也有剪应力，设为。：和t。,并假定都是正的。 利用棱柱体的平衡条件即可求得。，、t与已知应力·xT,、·yT,的关系。计算棱 柱体各表面上的力。设斜面的面积为dAcos a和HAsina,是图9一5(d)。将各个面上 的应力乘以各自所在面的面积，得到棱柱体各个表面上的力，若分别求出棱柱斜面、垂直面 水平面上的合力，则可知，枝柱体受平面汇交力系而平衡。取斜面的法线n和切线t作为量 考轴，写出平衡方程 202 This document is generated by trial version of Print2Fash(www.printflash.com)
省领精品课程 一材料力学 odA-(o,dAcosa)cosa+(r,dAcosa)sina (a) -(a,disina)sina+(tdAsina)cosa=0 rdA-(o,dAcosa)sina-(,dAcosa)cosa +(o dAsina)cosa+(r,dAsina)sina=0 根据剪应力互等定理，.t,和x在数值上相等。由三角公式有cos2ā号(1+cos2a), m2a分(1-cos2a),2 in0sa=sin2a,代入以上两式，整理得 o。=7(o,+o,）+(cx-c,)cos2a-t,sin2a(10-l) t(-,)sin 2a+t,cos2a (10-2) 公式(10-1)和(10-2)表明，若已知单元体表面的应力，则任意斜截面上的应力0，和 t。可以求出：还可以看到，O。和t。是a的函数，即应力随截面位置而改变。 二、主应力和极值剪应力。 首先研究极值正应力。因为o,是α的函数，由数学分析，令 0,-0j水2ma)ecas2a)=0 (.-)sin 2a+t,cos2a=0 (e) 由此得到 tan 2d-, -2T (10-3) 因为tga=tg(180°+a),所以满足该式的a。值有两个：a和(a+90°).即极值正应力 1 有两个，它们所在的平面互相垂直。利用三角公式cos2ac +g2 。·cos2a。由(10-3)式求出cos2a。和sin2a,代入(10-1)式并注意到a=a。及a= a+90°，由此求得极值正应力的大小 (10-4) 再来求主应力。由定义，设α=Q。时代表主平面，则由(10-2)式有 ,)sin 2a,+r,cos2a=0 (d) 比较(c入（仙两式知，主平面也就是极值正应力所在的平面，因而主应力也就是极值正应 刀。 下面研究极值剪应力。由(102)式，令 203 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 ,)(2co 2a)+1,-2si2a) tan 2a =.- (10-5) 满足(10-5)式的a:值也有两个：a1和a+90°，对应于这两个极值位置，由(10-2)式求 得两个极值剪应力分别为 (10-6) 比较(10-4)和(106)式，得到极值剪应力和主应力的关系： (10-7) 比较(10-3)和(10-5)式，由于 tg20,tg20=-1 可知极作煎应力所在的平面与主平面的夹角为45” 极值蓟应力所在的平面上的正应力通常不为零，将a:和a+9心分别代入(10-1)式， 并用表示这个正应力，得 0,之(o+a分(0 d (10-8) 例10-2矩形截面简支梁如图(a)所示，试从D点处取出单元体。 204 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 解：由图(b)和（©），D点所在横藏面1-1的剪力和弯矩分别是 0=50KN Mj=25KNm 计算有关数据 010-10-273-1m S"=80×60×50×102=240x106m 故D点的正应力及剪应力 0,420x10x20x10 =14.7MPa拉应力) 27.3×10 0S50×103×240×106 1.b27.3×10°×80×10 =5.49Mpa(方向与Q:同) 围绕D点，用一对横截面、一对纵截面和一对与纸面平行的截面取出一小块材料，并标 出应力T和Cx,根据剪应力互等原理，标出Cy,这就是表示D点的单元体，见图()，图 (c)是单元体的乎面图。 例10-3计算例10-2中单元体的主应力、主平面和极值剪应力。 解：为方便，将前例所得的单元体重画在图(a)中。利用公式(10-3)和(104)求 得主平面位置以及主应力大 La) 例10-3图 -2-549)=0.747 14.7-0 所以a18.4°，108.4 47=+-549 102 =7.35±9.17 16.5 -182 MPa 利用公式(10-6)或(10-7)得极值剪应力大小 ts=士9.1Na 205 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 极值剪应力所在的平面与主平面成45°夹角。 然而，文个解答是不完盖的。怀要分折几个问题 首先，由公式(104)求得的只是纸面内的两个主应力。这个单元体的垂直于纸面的正 应力也是一个主应力，其值为零，一点共有三个主应力，且按代数值大小排列。故该单元体 的三个主应力是01=16.5MPa,00,0g-l.82MPa 其次，由公式(106)或(10-7)得到的极值剪应力只是垂直于纸面的平面上的极值剪 应力。一个单元体还有别的极值剪应力，我们将在§104中讨论。 第三，如何判断·mx或所在的平面呢？这里介绍一种判断方法。取一个正方形的 单元体（平面图），分别考虑正应力·x、·,和剪应力x,、不，作用下的伸长方向，然后叠加 这两个伸长方向45°夹角里的某个方向就是0方向，如图9-6所示。根据这个方法，本题 a。=18”为0m方向，见图(b)。在·x=·,的特殊情况下，·m的方向可直接由剪应 力作用下的伸长方向来决定。 AG, 伸长方向 设0>0， 6方向在45°夹角线内 图9-6 第四，由同样的分析知最大剪应力箭头交会的单元体对角线方向就是。的方向。由 此可在图(c)上标出tn和tn方向。 §10.3平面应力状态分析一一图解法 一、应力图 由(10-1)和(10-2)后到，两方程中具有相同的参变量2a。若从中消去2ā，则可 以建立0，和x,的直接联系。为此，将(101)式改写为 a(oo,=子（ro,cos2a-tsin2a 科利用(10-2》式，计算(0.C,十C)+t,得到 2 (0.0,+g4Ca)4 (10-9 2 2 206 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程 一材料力学 对于所研究的单元体，假定a0,和tx为已知量，0，和t,为末知量，则(10-9)代表 坐标系0一：中的圆的方程，该圆的心坐标为巴，0，半径为，@+ 2 2 该圆称为应力圆或莫尔圆。 根据上述原理，只要由已知量·、a,Tx和T,找出圆心坐标和圆的半径，则可以画 出应力圆，下面介绍具体作图方法，设图10-7()的单元体已给定， 第一步，选平面直角坐标每0一t 第二步，按选定的比例尺量取，=0，⑦=T (b) 图10-7 在a一T坐标系中定出D点：再量取OK=o,KD=下，从而定出D点。要注意ty与 Tx的符号是相反的 第三步，联接D和D两点。线段DD与a轴相交于C点.以C为圆心，以CD或D 为半径作圆，见图107(b)。 下面来证明这个圆就是满足方程(109)的应力圆。由图10-7(b),圆心C在横坐标 上，且T(。+。),即圆心C的坐标是(+,0.该圆的半径 2 +。故按以上方法作出的圆就是我们所要求的应力 2 二、应用 利用应力圆求任意斜截面上的应力。 设要确定图10-7(a)所示单元体ū面上的应力。为此，在图10-7(b)所示的应力圆 上，从D点起，按a角的同样转向，沿圆周转动2a圆心角，得E点。E点的横坐标和纵坐 标就是a面上的应力c,和C, 现在来证 这个结论。设，则E点的横坐标 OF=OC+OF 207 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 (n)Eeos(2em2a) 之(a+o)*+Zcos2a。eo2a-Tsi配singa ((Deos2a co2CDsin2a)sin2a ()Rcos2a-RDsin2a E点的纵坐标 zr=C元sin2at2a】 -CEsin2 a cos2a+C cos2 a sin2a =(C⑦sin2acos2a+(C元cos2a)sin2a cos2a+(o)sin2a 这正是(10-1)和(10-2)式的表示的，和, 由以上分析还看到，在应用应力圆时一个关键问题是要掌握应力圆上的点与单元体上斜 面的对应关系。 利用应力圆求主平面和主应力， 由图10-7知，应力圆上横坐标轴有两个交点A和A。此两点的纵坐标均为零，即对应 的斜截面上剪应力为零，放A和A对应着单元体的主平面。从K到A为顺时针转动，放 2t. 1824-CR G.-0, 这正是(10-3)式。A和A:的横坐标分别为应力圆圆周上各点横坐标中的最大和最小值，它 就是两个主应力 沉丽o±2+ 2 这正是(10-4)式。因此，只要在应力圆上按比例尺量取和就得到两个主应力的大小，量取 就得到主应力方向2a 应力圆上的最高点B和最低点B的纵坐标分别为最大和最小，因此量取CB得tm,量 取CB得T,即 CB 在应力圆上∠BCA=90”，放在单元体上，T所在的平面与主平面成45°夹角。 208 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程 一材料力学 例10-4求图a所示悬臂梁m截面上A、B、C、D、E五点处的主应力和主平面位置， 解：首先分别围绕A、B、C、D、E五点用相邻的一对横截面、一对水平的纵截面 一对与纸面平行的纵截面取出五个单元体。图()表示了这五个单元体放大后的平面图。 计算单元体表面上的应力，由 Ih 例10-4图 209 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)