高等学校教材：《弹塑性力学》书籍PDF电子版 Theory of Elasticity and Plasticity（共二十一章，编著：薛守义）.pdf_大学文库

前言本书系统地阐述了弹塑性力学的基本概念、理论和方法，充分考虑到结构的严谨性和清晰性，并尽可能反映弹塑性力学的最新进展。在内容编排上，遵循难点分散的原则，每一部分也尽可能由浅入深、循序渐进。此外，特别强调基本理论及其前提假设，并以简明的思路引导读者掌握力学问题的实质，以免迷失在琐碎的计算当中。弹塑性力学作为许多工科专业硕士研究生的学位课程，既要突出学科的基本内容，保持学位课程的稳定性，使学生掌握完整的学科体系：又应具有足够的深度，使研究生学完课程之后能迅速接近学科前沿。在有限的篇幅内实现上述理想，要求我们叙述精练、内容精选。例如，板壳理论的成果非常丰富，本书只能介绍其中最基本的东西。在本书中，采用张量分析法标记物理量并讲述一般理论，以使书写简洁、推导清晰、物理意义明确，并提高学生阅读文献的能力。初次接触张量方法的读者开始可能会感到不习惯，然而通常会很快熟悉起来并充分体会到其优越性。为便于读者查阅，本书附录收入了张量分析以及其他必要的数学基础知识。本书首先是为结构工程、机械工程、岩土工程、道路与桥梁工程等工科专业的硕士研究生提供弹塑性力学教材，其次是为科技人员提供系统的理论参考。作为教材时，为便于教师根据课时多少对内容做出取舍，本书将内容分为基本部分和选学部分。其中基本部分具有基础性和系统性，通常是必修的：选学部分均加注“*”，略去它们不会影响教程的系统性。编写本书参考了大量图书资料，有些引用标明了出处，而在学科的核心内容上力图综合各家表述的长处，不便一一注明，只是在文献目录中列出了一些主要参考资料。笔者在此对所有被引用的作者表示衷心的感谢，并恳请读者提出批评指正。编者 2004年12月

前言本书系统地阐述了弹塑性力学的基本概念、理论和方法，充分考虑到结构的严谨性和清晰性，并尽可能反映弹塑性力学的最新进展。在内容编排上，遵循难点分散的原则，每一部分也尽可能由浅入深、循序渐进。此外，特别强调基本理论及其前提假设，并以简明的思路引导读者掌握力学问题的实质，以免迷失在琐碎的计算当中。弹塑性力学作为许多工科专业硕士研究生的学位课程，既要突出学科的基本内容，保持学位课程的稳定性，使学生掌握完整的学科体系；又应具有足够的深度，使研究生学完课程之后能迅速接近学科前沿。在有限的篇幅内实现上述理想，要求我们叙述精练、内容精选。例如，板壳理论的成果非常丰富，本书只能介绍其中最基本的东西。在本书中，采用张量分析法标记物理量并讲述一般理论，以使书写简洁、推导清晰、物理意义明确，并提高学生阅读文献的能力。初次接触张量方法的读者开始可能会感到不习惯，然而通常会很快熟悉起来并充分体会到其优越性。为便于读者查阅，本书附录收入了张量分析以及其他必要的数学基础知识。本书首先是为结构工程、机械工程、岩土工程、道路与桥梁工程等工科专业的硕士研究生提供弹塑性力学教材，其次是为科技人员提供系统的理论参考。作为教材时，为便于教师根据课时多少对内容做出取舍，本书将内容分为基本部分和选学部分。其中基本部分具有基础性和系统性，通常是必修的；选学部分均加注“”，略去它们不会影响教程的系统性。编写本书参考了大量图书资料，有些引用标明了出处，而在学科的核心内容上力图综合各家表述的长处，不便一一注明，只是在文献目录中列出了一些主要参考资料。笔者在此对所有被引用的作者表示衷心的感谢，并恳请读者提出批评指正。编者２００４年１２月

目录第１章弹塑性力学概论（１）……………………………………………………… １１基本概念（１）……………………………………………………………… １２基本假定（３）……………………………………………………………… １３研究方法（４）……………………………………………………………… １４学科简史（５）……………………………………………………………… １５内容安排（７）……………………………………………………………… 习题（８）……………………………………………………………………… 第２章应力理论（９）……………………………………………………………… ２１基本概念（９）……………………………………………………………… ２２平衡分析（１１）……………………………………………………………… ２３应力分析（１５）……………………………………………………………… 习题（２４）…………………………………………………………………… 第３章应变理论（２５）…………………………………………………………… ３１位移与应变（２５）…………………………………………………………… ３２应变分析（３１）……………………………………………………………… ３３应变率概念（３４）…………………………………………………………… 习题（３５）…………………………………………………………………… 第４章本构理论概述（３７）……………………………………………………… ４１本构研究思路（３７）………………………………………………………… ４２试验资料与简化模型（３９）………………………………………………… ４３弹塑性本构理论（４４）……………………………………………………… 习题（４６）…………………………………………………………………… 第５章弹性本构理论（４７）……………………………………………………… ５１弹性应变能（４７）…………………………………………………………… ５２各向异性弹性理论（４８）…………………………………………………… ５３各向同性弹性理论（５０）…………………………………………………… 习题（５５）…………………………………………………………………… 第６章弹性力学边值问题（５６）………………………………………………… ６１基本方程（５６）………………………………………………………………

６２解题方法（５８）……………………………………………………………… ６３基本原理（６２）……………………………………………………………… 习题（６５）…………………………………………………………………… 第７章平面问题直角坐标解法（６６）…………………………………………… ７１基本概念（６６）……………………………………………………………… ７２基本方程（６８）……………………………………………………………… ７３应力解法（７１）……………………………………………………………… ７４典型例解（７３）……………………………………………………………… 习题（７７）…………………………………………………………………… 第８章平面问题极坐标解法（８０）……………………………………………… ８１基本方程（８０）……………………………………………………………… ８２轴对称问题（８４）…………………………………………………………… ８３圆孔应力集中（８９）………………………………………………………… ８４楔形体和半无限体（９２）…………………………………………………… 习题（９５）…………………………………………………………………… 第９章平面问题复变函数解法 （９８）………………………………………… ９１平面问题的复格式（９８）…………………………………………………… ９２复势的确定性（１０５）……………………………………………………… ９３孔洞问题级数解法（１０８）………………………………………………… ９４孔洞问题保角变换解法（１１１）…………………………………………… 习题（１２０）…………………………………………………………………… 第１０章空间问题（１２１）………………………………………………………… １０１直角坐标方程（１２１）……………………………………………………… １０２柱坐标方程（１２４）………………………………………………………… １０３典型例解（１２８）…………………………………………………………… 习题（１３２）…………………………………………………………………… 第１１章柱体扭转（１３４）………………………………………………………… １１１基本方程（１３４）…………………………………………………………… １１２典型例解（１３９）…………………………………………………………… １１３薄膜比拟（１４３）…………………………………………………………… 习题（１４５）…………………………………………………………………… 第１２章薄板理论（１４６）………………………………………………………… １２１问题与假设（１４６）………………………………………………………… １２２直角坐标解答（１４７）……………………………………………………… １２３极坐标解答（１５７）………………………………………………………… ２弹塑性力学

习题（１６１）…………………………………………………………………… 第１３章薄壳理论 （１６３）……………………………………………………… １３１曲面理论简介（１６３）……………………………………………………… １３２一般理论（１６６）…………………………………………………………… １３３无矩理论（１７０）…………………………………………………………… １３４有矩理论（１７４）…………………………………………………………… 习题（１７８）…………………………………………………………………… 第１４章变分原理与变分法（１７９）……………………………………………… １４１等效积分形式（１７９）……………………………………………………… １４２势能变分原理（１８０）……………………………………………………… １４３位移变分法（１８６）………………………………………………………… １４４余能变分原理（１９１）……………………………………………………… 习题（１９２）…………………………………………………………………… 第１５章经典屈服理论（１９４）…………………………………………………… １５１屈服条件与屈服面（１９４）………………………………………………… １５２常用屈服准则（１９９）……………………………………………………… １５３硬化规律（２０５）…………………………………………………………… 习题（２０７）…………………………………………………………………… 第１６章经典塑性本构理论（２０８）……………………………………………… １６１加载准则（２０８）…………………………………………………………… １６２流动法则（２１０）…………………………………………………………… １６３增量理论（２１０）…………………………………………………………… １６４全量理论（２１４）…………………………………………………………… １６５增量理论的普遍形式（２１８）……………………………………………… 习题（２２１）…………………………………………………………………… 第１７章弹塑性分析与简单例解（２２２）………………………………………… １７１弹塑性力学边值问题（２２２）……………………………………………… １７２梁的弹塑性弯曲（２２５）…………………………………………………… １７３厚壁圆筒承受内压（２３１）………………………………………………… １７４柱体弹塑性扭转（２３３）…………………………………………………… 习题（２３７）…………………………………………………………………… 第１８章塑性极限分析严密解法（２３８）………………………………………… １８１基本方程（２３８）…………………………………………………………… １８２滑移线方程（２４１）………………………………………………………… １８３边界条件和简单滑移线场（２４８）………………………………………… 目录３

１８４简单问题例解（２５０）……………………………………………………… 习题（２５４）…………………………………………………………………… 第１９章塑性极限分析近似解法（２５５）………………………………………… １９１基本概念（２５５）…………………………………………………………… １９２虚功率原理（２５６）………………………………………………………… １９３极限分析定理（２５９）……………………………………………………… １９４近似解法及例解（２６０）…………………………………………………… 习题（２６４）…………………………………………………………………… 第２０章塑性本构理论进阶 （２６５）…………………………………………… ２０１岩土类材料的变形特性（２６５）…………………………………………… ２０２应力空间中的塑性理论（２６８）…………………………………………… ２０３应变空间中的塑性理论（２７３）…………………………………………… ２０４含有内变量的塑性理论（２７５）…………………………………………… 习题（２７９）…………………………………………………………………… 第２１章大变形理论 （２８１）…………………………………………………… ２１１变形和位移（２８１）………………………………………………………… ２１２应变度量（２８７）…………………………………………………………… ２１３应力度量（２９３）…………………………………………………………… ２１４本构方程（２９６）…………………………………………………………… ２１５平衡方程（２９９）…………………………………………………………… ２１６虚功原理（３００）…………………………………………………………… 习题（３０２）…………………………………………………………………… 附录：数学基础（３０３）……………………………………………………………… Ａ１张量基础（３０３）…………………………………………………………… Ａ２场论基础（３０８）…………………………………………………………… Ａ３变分基础（３０９）…………………………………………………………… 参考文献（３１２）……………………………………………………………………… ４弹塑性力学

第1章弹塑性力学概论 1.1.2研究对象我们己经知道，材料力学基本上只研究杆件：结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆件系统：而弹塑性力学的研究对象则可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩，等等。弹塑性力学也研究梁的弯曲、柱的扭转等问题，然而采用的假设和研究方法与材料力学不尽相同，分析结果也就不同。例如，在材料力学中研究梁的弯曲时采用了平截面假设，得出的解答是近似的：而弹性力学则不必作这种假设，所得结果也比较精确，且可用来校核材料力学的近似解答。此外，弹塑性力学研究的非圆截面柱的扭转、孔洞附近的应力集中等问题，都不是材料力学和结构力学的简单方法所能解决的。当然，弹塑性理论是针对理想模型建立起来的，例如弹性理论就假定其对象为理想弹性体，弹性体就是实际物体的力学模型。事实上，对于任何复杂事物的分析，其出发点都将是对现实事物进行逼真而又可行的理想化，以建立理想模型。分析的可靠性和实用价值主要取决于在确立模型时对研究对象的认识，以及对客观存在的各种有关控制条件和参数的正确反映程度（文献43）。 1.1.3任务和目的弹塑性力学的基本任务在于，针对实际问题建构力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在荷载作用下产生的变形、应力分布及结构强度等。学科发展到现在，其理论体系基本上已经完善。对于一些较为简单的问题，获得了解析解答。由于计算技术的高度发展，目前即使那些非常复杂的弹塑性力学问题也可以方便地求得数值解了。不过，还有一项实质性的任务有待完善，即发展描述材料变形特性的本构理论，它包括材料的变形机理、本构方程（例如应力与应变之间的关系)及特性参数。本构理论是弹塑性力学分析的物理基础，其重要性显而易见。采用弹塑性力学进行结构分析，其目的在于为结构设计提供科学依据。在结构设计中，若将结构变形限制在弹性范围以内，则称为弹性设计。这种设计只以弹性力学分析结果为依据。在某些情况下，结构物按弹性设计并采用较大的安全系数以确保安全是必要的。然而，在实际工程中，弹性设计会遇到很多问题。如果规定结构必须在弹性状态下工作，则意味着只要结构中某“危险点”的应力达到弹性极限，结构就“破坏”或“失效”。这种设计在一定程度上将造成浪费。我们知道，结构内部的应力分布通常是很不均匀的，当“危险点”达到弹性极限时，结构的绝大部分却在过分安全的状态下工作，故材料未能充分发挥其潜在

１１２研究对象我们已经知道，材料力学基本上只研究杆件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆件系统；而弹塑性力学的研究对象则可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩，等等。弹塑性力学也研究梁的弯曲、柱的扭转等问题，然而采用的假设和研究方法与材料力学不尽相同，分析结果也就不同。例如，在材料力学中研究梁的弯曲时采用了平截面假设，得出的解答是近似的；而弹性力学则不必作这种假设，所得结果也比较精确，且可用来校核材料力学的近似解答。此外，弹塑性力学研究的非圆截面柱的扭转、孔洞附近的应力集中等问题，都不是材料力学和结构力学的简单方法所能解决的。当然，弹塑性理论是针对理想模型建立起来的，例如弹性理论就假定其对象为理想弹性体，弹性体就是实际物体的力学模型。事实上，对于任何复杂事物的分析，其出发点都将是对现实事物进行逼真而又可行的理想化，以建立理想模型。分析的可靠性和实用价值主要取决于在确立模型时对研究对象的认识，以及对客观存在的各种有关控制条件和参数的正确反映程度（文献４３）。１１３任务和目的弹塑性力学的基本任务在于，针对实际问题建构力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在荷载作用下产生的变形、应力分布及结构强度等。学科发展到现在，其理论体系基本上已经完善。对于一些较为简单的问题，获得了解析解答。由于计算技术的高度发展，目前即使那些非常复杂的弹塑性力学问题也可以方便地求得数值解了。不过，还有一项实质性的任务有待完善，即发展描述材料变形特性的本构理论，它包括材料的变形机理、本构方程（例如应力与应变之间的关系）及特性参数。本构理论是弹塑性力学分析的物理基础，其重要性显而易见。采用弹塑性力学进行结构分析，其目的在于为结构设计提供科学依据。在结构设计中，若将结构变形限制在弹性范围以内，则称为弹性设计。这种设计只以弹性力学分析结果为依据。在某些情况下，结构物按弹性设计并采用较大的安全系数以确保安全是必要的。然而，在实际工程中，弹性设计会遇到很多问题。如果规定结构必须在弹性状态下工作，则意味着只要结构中某“危险点”的应力达到弹性极限，结构就“破坏”或“失效”。这种设计在一定程度上将造成浪费。我们知道，结构内部的应力分布通常是很不均匀的，当“危险点”达到弹性极限时，结构的绝大部分却在过分安全的状态下工作，故材料未能充分发挥其潜在２第１章弹塑性力学概论

1.2基本假定的性能。此外，有些情况下结构内的局部塑性变形是不可避免的，例如存在奇异性应力集中的结构。遇到这些问题，经验丰富的设计师可以对弹性计算结果加以修正，或选取适当的安全系数。但是，这种方法己经超出了弹性分析的范围，不再具有严密的理论根据了（文献39）。结构物内局部高应力区进入塑性状态并不可怕。事实上，对于大多数材料而言，超过弹性极限后还能继续承担应力，只是应变要大些且产生部分不可恢复的塑性变形。如果允许出现局部塑性变形，其他材料单元将承受更大的应力，从而提高整个结构的承载能力。实践表明，在保证一定安全度的情况下，进行弹塑性设计或塑性设计（即考虑塑性变形的影响）可带来显著的经济效益。此时，需要研究的问题有：在一定的荷载作用下将产生多大的塑性变形及塑性区？这种塑性变形和塑性区对结构功能的正常发挥具有怎样的影响？解决这些问题需要弹塑性力学方面的知识。 1.2基本假定弹塑性力学研究宏观物体的力学行为，故以牛顿Newton)力学作为理论基础。此外，通常还要引进一些假设以使问题变得可以分析和求解。有些假设是必需的（例如连续性假设）：而辅助性假设（例如均匀性假设）则是为简化问题的处理而引入的，它们并不对弹塑性理论的基本架构产生实质性的影响。需要指出的是，我们必须仔细研究各种假设的物理意义及其对解答的影响，从而明确假设的作用以及基于假设的理论之适用条件。 1.2.1连续性假设连续性假设有两层含义：(1)物质点无空隙地分布于物体所占据的整个空间：②)物体在变形过程中仍保持连续性，不出现开裂或重叠现象。显然，在连续性假定下，表征物体变形和内力的量就可以表示为坐标的连续函数。这样，我们在进行弹塑性力学分析时，就可以应用数学分析这个强有力的工具。连续性假设显然与介质由不连续的粒子所组成这一事实相矛盾。但是，采用连续性假设不仅是为了避免数学上的困难，更重要的是根据它所做出的力学分析，被广泛的实践证明是正确的。事实上，从统计学的观点来看，只要物体的尺寸足够大，与晶体材料的晶粒或混合材料的颗粒相比数量级悬殊，就可以当作连续介质来处理。 1.2.2辅助性假设为了解析求解，通常需要引入辅助性假设。其中均匀性假设认为，物体内各

的性能。此外，有些情况下结构内的局部塑性变形是不可避免的，例如存在奇异性应力集中的结构。遇到这些问题，经验丰富的设计师可以对弹性计算结果加以修正，或选取适当的安全系数。但是，这种方法已经超出了弹性分析的范围，不再具有严密的理论根据了（文献３９）。结构物内局部高应力区进入塑性状态并不可怕。事实上，对于大多数材料而言，超过弹性极限后还能继续承担应力，只是应变要大些且产生部分不可恢复的塑性变形。如果允许出现局部塑性变形，其他材料单元将承受更大的应力，从而提高整个结构的承载能力。实践表明，在保证一定安全度的情况下，进行弹塑性设计或塑性设计（即考虑塑性变形的影响）可带来显著的经济效益。此时，需要研究的问题有：在一定的荷载作用下将产生多大的塑性变形及塑性区？这种塑性变形和塑性区对结构功能的正常发挥具有怎样的影响？解决这些问题需要弹塑性力学方面的知识。１２基本假定弹塑性力学研究宏观物体的力学行为，故以牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）力学作为理论基础。此外，通常还要引进一些假设以使问题变得可以分析和求解。有些假设是必需的（例如连续性假设）；而辅助性假设（例如均匀性假设）则是为简化问题的处理而引入的，它们并不对弹塑性理论的基本架构产生实质性的影响。需要指出的是，我们必须仔细研究各种假设的物理意义及其对解答的影响，从而明确假设的作用以及基于假设的理论之适用条件。１２１连续性假设连续性假设有两层含义：（１）物质点无空隙地分布于物体所占据的整个空间；（２）物体在变形过程中仍保持连续性，不出现开裂或重叠现象。显然，在连续性假定下，表征物体变形和内力的量就可以表示为坐标的连续函数。这样，我们在进行弹塑性力学分析时，就可以应用数学分析这个强有力的工具。连续性假设显然与介质由不连续的粒子所组成这一事实相矛盾。但是，采用连续性假设不仅是为了避免数学上的困难，更重要的是根据它所做出的力学分析，被广泛的实践证明是正确的。事实上，从统计学的观点来看，只要物体的尺寸足够大，与晶体材料的晶粒或混合材料的颗粒相比数量级悬殊，就可以当作连续介质来处理。１２２辅助性假设为了解析求解，通常需要引入辅助性假设。其中均匀性假设认为，物体内各１２基本假定３

第1章弹塑性力学概论点处物理力学性质相同，即特性参数不随位置坐标而变化。各向同性假设认为，材料的性质与方向无关，即特性参数不随方向而变化。例如，在做某种金属拉伸试验时，不管试件从铸锭的哪个方向切出，都不影响结果：与拉力垂直的各个方向都有相同收缩。实际上，金属材料由微小晶体组成，晶体本身是各向异性的。但是，由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为金属材料是各向同性的。然而，有些材料则必须考虑各向异性，例如复合材料、木材等小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形以前的几何尺寸来建立各种方程。此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性化。然而，对于大变形问题，必须考虑几何关系中的高阶非线性项，平衡方程也该在变形后的物体上列出。无初应力假设认为物体在外力作用以前，其内部各点应力均为零。分析计算是从这种状态出发的，求得的应力仅仅是由于荷载变化产生的。若物体中有初应力存在，则弹塑性理论求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 1.2.3附加的假设连续性假设和辅助性假设可称为基本假设，基于基本假设进行的分析通常称为数学弹塑性力学。如果在此基本假设的基础上还引入其他附加假设以进步简化问题，则属于应用弹塑性力学的范畴。例如，在柱体扭转问题中，引进了附加的变形假设：在板壳力学分析中引入了变形和应力分布方面的假设。 1.3研究方法 1.3.1微元分析在弹塑性力学问题中，为了根据已知量求出未知量，必须建立它们之间的关系，即确立基本方程。在材料力学中，求物体中的内力常采用截面法，即假想将物体剖开，取截面一边的部分物体作为脱离体，利用平衡条件以求得截面上的内力。截面法也是弹塑性力学方法中的一部分，但是更为基本的方法是微元分析法，即假想物体由无数个微分六面体（在内部）和无数个微分四面体（在边界处）所组成，取微元体进行分析以建立基本方程。例如，考虑微元体的平衡，可写出一组平衡微分方程和应力边界条件。在弹塑性力学中，应力数总是超出平衡方程数，因此问题是超静定的，必须考虑变形条件。一般地说，求解弹塑性力学问题须综合考虑平衡微分方程、几何

点处物理力学性质相同，即特性参数不随位置坐标而变化。各向同性假设认为，材料的性质与方向无关，即特性参数不随方向而变化。例如，在做某种金属拉伸试验时，不管试件从铸锭的哪个方向切出，都不影响结果；与拉力垂直的各个方向都有相同收缩。实际上，金属材料由微小晶体组成，晶体本身是各向异性的。但是，由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为金属材料是各向同性的。然而，有些材料则必须考虑各向异性，例如复合材料、木材等。小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小，可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形以前的几何尺寸来建立各种方程。此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性化。然而，对于大变形问题，必须考虑几何关系中的高阶非线性项，平衡方程也该在变形后的物体上列出。无初应力假设认为物体在外力作用以前，其内部各点应力均为零。分析计算是从这种状态出发的，求得的应力仅仅是由于荷载变化产生的。若物体中有初应力存在，则弹塑性理论求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。１２３附加的假设连续性假设和辅助性假设可称为基本假设，基于基本假设进行的分析通常称为数学弹塑性力学。如果在此基本假设的基础上还引入其他附加假设以进一步简化问题，则属于应用弹塑性力学的范畴。例如，在柱体扭转问题中，引进了附加的变形假设；在板壳力学分析中引入了变形和应力分布方面的假设。１３研究方法１３１微元分析在弹塑性力学问题中，为了根据已知量求出未知量，必须建立它们之间的关系，即确立基本方程。在材料力学中，求物体中的内力常采用截面法，即假想将物体剖开，取截面一边的部分物体作为脱离体，利用平衡条件以求得截面上的内力。截面法也是弹塑性力学方法中的一部分，但是更为基本的方法是微元分析法，即假想物体由无数个微分六面体（在内部）和无数个微分四面体（在边界处）所组成，取微元体进行分析以建立基本方程。例如，考虑微元体的平衡，可写出一组平衡微分方程和应力边界条件。在弹塑性力学中，应力数总是超出平衡方程数，因此问题是超静定的，必须考虑变形条件。一般地说，求解弹塑性力学问题须综合考虑平衡微分方程、几何４第１章弹塑性力学概论

1.4学科简史方程、本构方程以及边界条件，它们统称为微分方程。这样，微元分析使问题归结为求解微分方程。 1.3.2求解方法弹塑性力学微分方程的求解方法可分为解析方法、近似方法和试验方法。解析方法就是直接求解微分方程组的某种综合形式。对于大多数实际问题，由于结构材料的非线性、几何形状不规则、边界条件复杂等原因，要得到解析解通常是困难的，甚至是不可能的。为了克服解析法的困难，提出了多种近似方法，例如变分法、有限差分法、有限单元法等。它们都属于数值方法，其基本思路是将问题离散化，使无限自由度问题变成有限自由度问题，从而得出近似解答。例如，有限差分法是将微分方程离散为差分方程，得到问题求解的代数方程组：有限单元法则是把结构离散化，最后也归结为求解代数方程组。无论何种离散化方法，都包含着这样一种近似：当离散变量的数目逐渐增加时，离散系统如所期望的那样逼近于真实解。结构试验（包括结构模型试验和实际结构试验）不同于材料试验，它是直接求解弹塑性力学问题的试验方法。这种试验对于无法求得解析解的复杂结构具有重要意义，而且试验结果还可以作为检验数值结果可靠性的依据。 1.4学科简史 1.4.1弹性理论胡克R.Hooke,1635一1703)最先注意到材料的弹性，并于1678年提出变形与外力成正比的著名定律。这是变形研究的开端，而此前人们所关注的是强度与破坏问题，例如伽利略(Galileo)通过实验研究过构件的强度。不过，Hooke 定律的原始形式并不是应力和应变之间的关系，那时应力和应变的概念还未提出。1687年牛顿(Newton)《自然哲学的数学原理》的出版标志着经典力学的建立。但是，Newton三定律并不是变形体力学，而且至关重要的应力和应变概念也还没有提出。弹性力学的早期理论由3个人所架设，即柯西A.Cauchy,1789一1857)、纳维(C.L.Navier,1785-1836)及圣维南(A.J.C.Saint Venant,1797-1886)。 1826年Navier提出假定：梁的横截面在弯曲时仍保持为平面。Cauchy于1828 年引进了应力和应变的概念，并推导出平衡微分方程和几何方程。因此，人们常常以此为弹性力学的真正开端。St.Venant则提出了求解弹性力学问题的半逆解法，给出了大量经典弹性力学问题的解答，并建立了著名的St.Venant原理

方程、本构方程以及边界条件，它们统称为微分方程。这样，微元分析使问题归结为求解微分方程。１３２求解方法弹塑性力学微分方程的求解方法可分为解析方法、近似方法和试验方法。解析方法就是直接求解微分方程组的某种综合形式。对于大多数实际问题，由于结构材料的非线性、几何形状不规则、边界条件复杂等原因，要得到解析解通常是困难的，甚至是不可能的。为了克服解析法的困难，提出了多种近似方法，例如变分法、有限差分法、有限单元法等。它们都属于数值方法，其基本思路是将问题离散化，使无限自由度问题变成有限自由度问题，从而得出近似解答。例如，有限差分法是将微分方程离散为差分方程，得到问题求解的代数方程组；有限单元法则是把结构离散化，最后也归结为求解代数方程组。无论何种离散化方法，都包含着这样一种近似：当离散变量的数目逐渐增加时，离散系统如所期望的那样逼近于真实解。结构试验（包括结构模型试验和实际结构试验）不同于材料试验，它是直接求解弹塑性力学问题的试验方法。这种试验对于无法求得解析解的复杂结构具有重要意义，而且试验结果还可以作为检验数值结果可靠性的依据。１４学科简史１４１弹性理论胡克（ＲＨｏｏｋｅ，１６３５—１７０３）最先注意到材料的弹性，并于１６７８年提出变形与外力成正比的著名定律。这是变形研究的开端，而此前人们所关注的是强度与破坏问题，例如伽利略（Ｇａｌｉｌｅｏ）通过实验研究过构件的强度。不过，Ｈｏｏｋｅ定律的原始形式并不是应力和应变之间的关系，那时应力和应变的概念还未提出。１６８７年牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）《自然哲学的数学原理》的出版标志着经典力学的建立。但是，Ｎｅｗｔｏｎ三定律并不是变形体力学，而且至关重要的应力和应变概念也还没有提出。弹性力学的早期理论由３个人所架设，即柯西（ＡＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）、纳维（ＣＬＮａｖｉｅｒ，１７８５—１８３６）及圣维南（ＡＪＣＳａｉｎｔＶｅｎａｎｔ，１７９７—１８８６）。１８２６年Ｎａｖｉｅｒ提出假定：梁的横截面在弯曲时仍保持为平面。Ｃａｕｃｈｙ于１８２８年引进了应力和应变的概念，并推导出平衡微分方程和几何方程。因此，人们常常以此为弹性力学的真正开端。ＳｔＶｅｎａｎｔ则提出了求解弹性力学问题的半逆解法，给出了大量经典弹性力学问题的解答，并建立了著名的ＳｔＶｅｎａｎｔ原理。１４学科简史５