省领精品课程—材料力学 第九章弯曲变形 §9.1基本概念 工程中的某些梁，即使有足够的强度，若变形过大，也会影响正常的工作。例如，桥梁 的变形过大，机车通过时将会引起很大的振动：楼板梁的变形过大，会使下面的灰层开裂、 脱落。因此，对梁的变形有时需要予以限制，使它不超过容许值，这就是所谓刚度计算。 与上面的情况相反，有时候还要利用梁的变形。例如，车辆上的叠板弹簧，就是利用它 的较大变形而起到缓冲减振作用的。 此外，弯曲变形的计算，还可应用于求解超静定结构、振动计算等问题。 在计算弯曲变形之前，先说明如何表示弯曲变形。这里，我们仍只研究平面弯曲时梁的 变形。梁弯曲后的轴线称为挠曲线，它是一条光滑连续的平面曲线。图91所示为悬臂梁 变形前的轴线AB是一条直线，AB1就是变形后的挠曲线。为了描写挠曲线，应建立 一个坐标系。通常取梁变形前的轴线为x轴，与它垂直且在挠曲线所在平面内的轴为y轴， 则梁的挠曲线可用函数y=x) (a) 来表示，并称为挠由线方程 图9-1 梁在变形时，轴线上的点将产生线位移。由于工程中梁的变形一般很小，挠曲线为一平 坦的曲线，因而上述线位移沿变形前轴线方向的分量远小于其垂直方向的分量，可以忽略 计。也就是说，可以认为梁轴线上的点的线位移垂直于梁变形前的轴线，这个线位移称为该 点的挠度。例如图9-1中，变形前轴线上的C点在变形后移到C1点，线位移C就是C点 的挠度，线段CC1与AB垂直。在坐标系y中，线段cG,也就是坐标c,轴线上任意点x 的挠度完全可以用函数(a)来表示。因此，挠曲线方程也就是挠度方程。 由平面假定知，梁的横截面在变形后仍为平面，它绕中性轴转动，且垂直于变形后的轴 线即挠曲线。也就是，梁在变形时，除了横截面形心有线位移外，横截面还有角位移，这个 角位移称为横截面的转角。例如图91中，日c就是C截面的转角。由图91还可以看到， 任意截面x的转角等于挠曲线在同一x处切线的倾角，而此倾角的正切有以下关系： 因为挠曲线为一平坦曲线，值很小，故有 g0≈0 于是横截面的转角为日=少 6 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 (b)式表示了横藏面位置x与该搬面转角9之关系，称为转角方程。 在图91的坐标系中，挠度y以向下为正，向上为负：转角9以顺时针转向为正，逆时 针转向为负。 挠度和转角这两种位移都能反映染的弯曲变形的大小，是描写弯曲变形的两种量 §9-2挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近以微分方程 在平面弯时，其轴线由直线变为平面曲线，其曲。与梁的抗弯刚度及弯矩 M的关系已在上一章中求得，即(8-1)式： (a) 该式是在纯弯曲情况下得到的.在横力弯曲情况下，梁的剪力会使梁产生附加的弯曲变 形。但工程中的梁，其跨度通常远大于截面的高度，根据较精确的分析，这时候由剪力产生 的附加弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。因此，仍可将()式应用于横力弯曲，但此 时弯矩M和曲率半径p都是x的函数，即 b 由微分学知，平面曲线任一点的曲率为 而+e 由于能线起平理的主统贵元本干，于是(@大分母中的安项可以修去，将简化 后的(e)式代入b)式，得到士=M (9-1)） El. (91)式就是梁的挠曲线的近似微分方程式。这里称为近似，是因为在计算中略去了剪力 对变形的影响，并在（©）式中略去了使}项 在(91)式中，Ez总是正的， 安和M消正负之介，在所采用的坐标系中，y的 正方向向下，x的正方向向右，这时正的y”如图9-2(a)所示，负的y”如图9-2(b)所 示。而弯矩的正负是由变形来规定的，即图92(a)的弯曲变形对应若负的M,图92(b) 的弯曲变形对应着正的M。总之， 由图92看到，根据M的符号规则及所采用坐标系的情 况下，M与的符号相反，这里(91)式中应选负号，即 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 (9-2) (B) 图9-2 二、用积分法求梁的位移 对挠曲线近似微分方程(9-2)进行积分，积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程， 这个方法称为积分法。 对等截面梁来说，为常量，为简单起见，将(92)式写成 a杂- 积分一次得转角方程 日来a0=-小Mos+C (9-3) 再积分一次得挠度方程 EI.y=-I[M(x)dkh+Cx+D (9-4 式中的积分常数C和D可由梁的己知位移条件来确定，这种己知条件称为梁的边界条 件。 例91求图示悬臂梁的最大挠度和最大转角，已知梁的抗弯刚度EL, 例91图 解：首先写弯矩方程 MGx)= (0≤x1) (a) 由此建立挠曲线微分方程 174 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 a罗 第二步，积分 a杂号c y-牙+G+D 第三步，确定积分常数。悬臂梁的边界条件是固定端截面的转角及截面形心的挠度都等 于零，对于该梁即有 x=1时.日=0 (e) 1时，0 将(c)代入(c以(d得 C=- D (f 第四步，写转角方程和挠度方程。将(D代入(c以(d式，得到 a来日p兴号 还可改写成 0品-D y2-4+ 第五步，求最大转角和最大挠度。有了转角方程(g)和挠度方程()，则可求得任意 截面处的转角和挠度，以及最大转角和挠度。由梁的M图可看到，整个梁的弯矩为负值而 没有正值，因而整个梁弯曲变形后为凸形。挠曲线的大致形状如图中虚线所示。当没有反弯 点时，悬臂梁的最大转角和最大挠度发生在自由端。在(g)和(h)式中，令x=0得 (1) 这里()式中的负号说明A截面为逆时针转动，G)式中的正号说明A点的线位移是 向下的 例9-2 简支梁受集中力P作用，试分析其弯曲变形。己知染的抗弯刚度E引为常数。 175 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 题9-2图 解：本例题与例9-1的区别是，本例题要分段写弯矩方程，因此要分段列挠曲线的近似 微分方程，分段积分。结果如下： AC段 CB段a≤x,s/ M-PCr.-a) (o) ) B=+-o p) c a=2C回 2 El= +Cx+D Ely:= 16 C+n 6 在计算CB段时，对含有(x,一a)的项积分时，就以(x,一a)为自变量，这样确定 积分常数的运算可以简化 积分常数有C1、D1、C2、D2四个，需要四个条件来确定，简支梁的边界条件有两个， 即较心A和B的挠度都等于零： x=0,y=0 x2=0,5=0 s 此外，因为挠曲线是一条光滑连续的曲线，不应有图9-3和b所表示的不连续和不光滑的 、 图9.3 情况。虽然的转角和挠度都分别用两个方程表示，但在AC和CB两段的交点C处，转角 和挠度有唯一确定的值。这个条件称为连续性条件。具体地可表示为： x=x2=a,片=2 (D = 将连续性条件()代入m、、(、)试，得到 C=C,D=D. (@) 耳运用边界条件(s),得到 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程—一材料力学 D.=D.=0.C=C:-(6F-(-a)-P(F-B) (w) 将(w)式代回到m小、(、(q、()四式，得到转角和挠度方程。 AC段，(0sx≤a) 以告0-6-3) (w) (x) CB段(asxs) a以0-8-3)+5-o ,告0-8-)片- 61 现在来分析所得到的解。 (1)关于最大转角。当没有异号的弯矩时，简支染的最大转角发生在支座处。在(w) 式中令=0，在式)冲令，=1，得到 Pb g=监6+2*五0-a*o 当a>b时，|日。最大，即离P力较近的支座截面的转角（指绝对）最大。 (2)关于最大挠度。由上面的计算可看到，日，和日。符合相反，因此跨中一定有一点 的日-0，它对应于y·至于这一点在哪一段梁上，还应求出日.再判断。(w)式中 =a,得0.欲-0 若ab,则日.为负，与Q:反号，这时0-0的截面必在AC段，即在大于2的那一段内。 令()式等于零，得发生最大挠度的截面位置： P-6 (a>b时) 代入(x)式得到最大挠度 -可ab Ph 17 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 特别地，当集中力P在跨中时，abV2由此得到 P x=3ym48l (3)关于最大挠度的近似值。当集中力P偏离跨中，最大挠度y与跨中的挠度相差 多少呢？在()式中，令书子得到 (a>b时) 比较y与跨中挠度，用相对误差表示，记 8=Yms-yihom 当b=2时，yx=y,6=0随者力P偏离跨中越多，6增大。考虑极端情况，当b→0 Pb产 11 时，63弘48 32 PbP ,gf16=257% 5E1 5 由此可见，在简支梁中，只要挠曲线上无拐点用跨中的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。 积分法是计算染的位移的基本方法，它可以给出任意截面的转角和挠度，但一般来说计 算比较冗长。 §9.3用叠加法求梁的转角和挠度 由于我们研究小变形，且梁的材料服从虎克定律（即工作在线弹性范围内），则梁的位 移与梁上的载荷成线性关系。在这个条件下，当梁上同时有几个载荷作用时，某一截面的转 角或挠度等于每一个载荷单独作用时引起的转角或挠度的代数和。根据这个原理求转角或挠 度的方法称为叠加法。 显然，应用叠加法有个前提条件：即单个载荷作用下梁的位移是已知的，只有这祥，才 显示出叠加法的优越性。表91列出了几种简单载荷作用下染的转角和挠度，以便于应用， 吾加法常用干计算指定截面的转角和挠度 下面举例说明叠加法的原理及其应用技巧 例9-3计算图示荷支梁的转角0，和挠度y。,设抗弯刚度E为已知的常数 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省领精品课程一材料力学 解：利用表-1的第6项，在D处的P力作用下，日，P0-四21-a) 6EI1 在F处的P力作用下，O,Pa0-A+a 6El1 于是在D、F两处的P力共同作用下 在F处的P力作用下，设-a>0即2a,这个条件满足，故 戈台- 于是在D、F两处的P力共同作用下，由对称性得 =2品-品e-4的 例94计算图示悬梁自由端的挠度y,己知E为常数 题94图 解：利用表91第2项。将分布载荷看作是一系列微小集中力之和。在微小集中力作用下， dvs-ET 31-x)acs 放在分布载荷作用下 为品r-盼 例95求图(a)所示简支梁跨中的挠度y。已知E团为常数. 解：图(a)中的y.可看作图(b)中的y和图(c)中的y2的代数和 5g' 已知38瓦。由对称性，当AC段有我背q与B段有问样载荷▣时跨中的挠度是相 179 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程一材料力学 同的，故图（®）的跨中挠度a=-火·于是。=h+:一384可少 5aP 所以y.=768EL: 例9-6求外伸梁外伸端点D的挠度yD,已知梁的EI为常数。 例9-6图 解：设想将B截面固定，见图(b),则悬臂梁BD自由端的挠度就是y,记yo,它实际 上是仅考虑了BD段的变形而引起的位移。然而实际上AB段也要变形，B截面要转动，见 图()，由此引起D点位移，记yo2,于是yn=yo1+yo: 自装第1现a合曲读装第8现.|合a=8如哥于是 §9.4刚度条件·提高梁的刚度的措施 一、刚度条件 前面已指出，为了保证梁能正常工作，有时还要对它的变形予以限制，即要求染的最大 挠度或最大转角或某一指定酸面的挠度或转角不超过容许值，这就是刚度条件。 工程中常以表示挠度的容许值，这时俐度条件为 mss[/]9-5) 有时候以挠度的容许值与跨度之比口作为标准，这时刚度条件就变成 一H 9-6) 对于转角，刚度条件为 0msg9-7刀 0 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 各类工程问题中，对旧和[]都有具体规定，例如铁路钢桥=女一女，普通机床主 轴，月-★点=0.005-0.001ad. 例9-7吊车大桑由45a工字钢制成，已知梁的容许挠度日=女，材料的弹性模量 +细 E=200GPa,试校核吊车梁的刚度。 例9-7图 解：当吊重在跨中时，跨中的挠度最大。若考虑梁的自重，则 p 5g' yos=48E1.384El. 103 50x105x788x10 200×10°×32240×1048 384 =15.5×10(1042+1026) =17.7×103m=17.7mm 177 10 二品 故刚度条件满足。 二、提高染的刚度的措施 公式(8-1)或者表91的最后一列可看到，梁的变形或位移与弯矩M(包括载荷 跨度等 以及抗弯刚度E有关。因此，为了减少梁的变形，就应在这两个方面采取措枪 1.减小弯矩的绝对值。如改变支座位置，尽可能使集中力靠近支座，分散集中力，缩 小跨度，改变结构形式等提高梁的强度的措施在这里原则上也都适用。 2.增大抗弯刚度。这主婴靠采用合理截面形状，增大截面的惯性矩z来实现。以钢为 例，各种钢材的弹性模量E值比较接近，因此靠增大E来增大抗弯刚度Ez的办法意义不 大多数情况下，提高梁的强度的措施与提高梁的刚度的措施原则上是一致的。然而两老 又有区别。首先，染的较大正应力只决定于该截面的较大弯矩，因此仅将局部截面增大，即 采用变截面梁，即可提高梁的强度。但梁某一指定藏面的位移却与整个梁的变形有关，因此 为了减小位移，提高梁的刚度，必须使整个梁的变形减小。图94(a)为一悬臂梁，固定端 截面的弯矩MA=P!最大，最大正应力也在该截面上，它其有局部性。自由端截面的弯矩 MB=O,但该截面的挠度B为最大， 是B截面 局部变形的表 是整个梁变 形的表现。其次，由于上面的原因，当采取某个措施时，强度提高的程度与刚度提高的程度 差别很大。比较图94(a)和(b),若将悬臂梁的跨度减少一半，其余情况不变，则最大正 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)