Lagrange方程 一、基本形式的L方程 1.D'Alembert--Lagrenge?方程 体系由n个质点组成,每个质点有 m,=,+或者-m,++反=0 ∑(-m月成++R)=0
大学 物理 Lagrange 方程 一、基本形式的L方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 体系由n个质点组成,每个质点有 mi ri = Fi + Ri − mi ri + Fi + Ri = 0 或者 ( ) 0 1 − + + = = i n i i i i i i i m r r F r R r
Lagrange方程 对理想约束∑R·=0,则 2(-m成+成=0 称为D'Alembert-Lagrenge方程
大学 物理 Lagrange 方程 对理想约束 0,则 1 = = i n i i R r 称为D’Alembert-Lagrenge方程 ( 0 1 − + = = n i i i i i m r F r )
Lagrange方程 2.把D-L方程以广义坐标表示 先证明: d dt 0) 元 da aqa Or Oda Oqa 如
大学 物理 Lagrange 方程 2. 把D-L方程以广义坐标表示 先证明: = = q r q r q r q r dt d i i i i ( )
Lagrange方程 证:体系受k个几何约束s=3n-k个qa 万=(91,92,93…,9,) d成_元q++ 所=之 a dt aq t台 Oqa 8t 成 orSqa or Lade 正不是q的函数,· or Oqa Oqa
大学 物理 Lagrange 方程 证:体系受k个几何约束s=3n-k个qα = = = + = + + = = = s i i i s i i i i i i i s q q r r t r q q r t r q q r dt dr r r r q q q q t 1 1 1 1 1 2 3 ( , , , , ) 不是 的函数, q t r q r i s i = , 1 q r q ri i =
Lagrange方程 是q的函数 aqa d 证)=之8 )qB+da ) dt oqa台agg`dq 0gdn*ad or 89a 7304n a aqa
大学 物理 Lagrange 方程 是 的函数 q q ri q r t r q q r q t q r q q r q q r t q q r q q r dt d i s i i i i s i i s i = + = + = + = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1
Lagrange方程 宫房:成-名(心听+三恶可 一m 恶空 or&qa n 令Pa= a 2. 正 i=1 i-l 之m d 前 n P d or dt a成
大学 物理 Lagrange 方程 = = = = = = = + = − − + = − + s i n i i s i n i i i n i s i i i i n i i i i i q q r q F q r m r q q r m r F r m r F 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) q r dt d m r q r m r dt d P i n i i i i n i i i − = = = 1 1 q r Q F i n i i = = 1 q r P m r i n i i i = = 1 令 q r m r q r m r dt d i n i i i i n i i i − = = = 1 1
Lagrange方程 7 2 m 1 OT= a航 OT= a前 qa qa m。 .Pa d OT aT dt oqa qa dt oqa )+20.M。=0 a=1 d OT=Ca (C=1,2,3,4…S) dt oqa qa 基本形式的L方程
大学 物理 Lagrange 方程 q r m r q T q r m r q T T m r i n i i i i n i i i i n i i = = = = = = 1 1 2 1 , 2 1 q T q T dt d P − = ( ) 0 1 1 + = − − = = Q q q T q T dt d s s ——基本形式的L方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = −
Lagrange方程 d oT 0 =a (a=1,2,3,4…S) dt oda qa 各项的物理意义: 1°9a为广义速度 OT 1 2° 为广义动量,如T=三mx Oqa aT二m 2 3° 为广义力 aqd
大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = − 各项的物理意义: 1 q 为广义速度 mx x T T mx q T = = , 2 1 2 为广义动量,如 为广义力 q r Q F i n i i = = 1 3
Lagrange方程 d oT dt oda (a=1,2,3,4…S) qa 4° 仿照 oT dt aqa 。 a 称为Lagrange力 dt oqa 可见:L方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程 组,方程个数=自由度数,约束越多,自由度越少, 方程越少,只要写出T,Q,代入方程即可得到运 动方程. 适用条件:理想的完整体系
大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = − 可见:L方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程 组, 方程个数=自由度数,约束越多,自由度越少, 方程越少,只要写出T,Qα,代入方程即可得到运 动方程. 适用条件:理想的完整体系 4 仿照 , ( ) , 称为Lagrange力. q T Q q T q T dt d F R dt dP + = = +