刚体的平动 与定轴转动
刚体的平动 与定轴转动
刚体的平动与定轴转动 一、平动: 1运动学特征: 刚体上各点的速度,加速度均相同, 通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。 2.运动为微分方程 1)自由刚体:取质心为代表(力系向质心简化) 由三个独立变数可以描述 mie=∑Fn xc=xc(t) m成=∑E→{m成e=∑Fn 己知E,可以解出yc=yc(t) nme=∑Fe 2c=2c(t) j'=0, W=M'不需用可见自由刚体的平动和质心运动无区的
大学 物理刚体的平动与定轴转动 一、平动: 1.运动学特征: 刚体上各点的速度,加速度均相同, 通常以质心的运动来代表刚体的整体运动。 2.运动为微分方程 1)自由刚体:取质心为代表(力系向质心简化) = = = = = = = ( ) ( ) ( ) , z z t y y t x x t F mz F my F mx F mr F C C C C C C i C i z C i y C i x C i 已知 可以解出 由三个独立变数可以描述 M 不需用.可见自由刚体的平动和质心运动无区别。 dt dJ J = = 0
刚体的平动与定轴转动 2)实际刚体作平动都受约束 则有刚体运动微分方程: mi=∑ =0=0r=0 其次还需要考虑约束方程,才能解出约束反力及 运动规律
大学 物理刚体的平动与定轴转动 2)实际刚体作平动都受约束 则有刚体运动微分方程: 其次还需要考虑约束方程,才能解出约束反力及 运动规律 C 0, 0, 0 = = = = mr F i dJ J M dt
刚体的平动与定轴转动 二、定轴转动 1.运动学特征: 1)刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 平行于Z轴的直线上的各点的运动情况 相同,故可用垂直于轴的任一截 面代表刚体,仅有一变量0. 2) 可=o×店,y=r0sin0,=R,ω ai=v=Ro=Ra R
大学 物理刚体的平动与定轴转动 二、定轴转动 1. 运动学特征: 1)刚体上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 平行于 轴的直线上的各点的运动情况 相同,故可用垂直于轴的任一截 面代表刚体,仅有一变量 . Z vi =ri ,vi = ri sin i = Ri 2 2 i i i i n i i i i R R v a a v R R = = = = = 2)
刚体的平动与定轴转动 2.定轴转动微分方程0=ok 1 -Ix 或J=-Ixoi-I-j+I=ok =M对固定点O的动量定理 取Z分量 dt dW-M: dt I:0=M: 或I0=M 若已知M.,I,可解得0=0t) 注:对固定点o的j,在静坐标系中投影,I,I均变化
大学 物理刚体的平动与定轴转动 2. 定轴转动微分方程 k = − − − = − − − − − − = z z yz xz z x yz z z yx yy yz xx xy xz z y x I I I I I I I I I I I I J J J 0 0 J I i I j I k xz yz zz 或 = − − + M dt dJ 由 = z z M dt dJ 对固定点 O 的动量定理 取Z分量: = (1) zz z zz z I M I M = = 或 M ,I (t) 若已知 z zz ,可解得 = 注:对固定点 的 ,在静坐标系中投影, , 均变化. yz zx o J I I
刚体的平动与定轴转动 3.转动动能 T=20.d+1,0+1d-21u,0-21.00.-21,@,) 2 若外力是保守力F=-7V,则 (2) 方程(2)可代替方程(1)
大学 物理刚体的平动与定轴转动 3. 转动动能 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 2 2 2 ) 2 1 z z z z z xx x yy y z z z yz y z z x z x xy x y I I T I I I I I I = = = + + − − − 方程(2)可代替方程(1)。 (2) 2 1 , 2 若外力是保守力 F = −V 则 I z z +V = E
刚体的平动与定轴转动 下面简化该公式,设A-xy,z为静系,由欧拉公式,得: c=可xe e=而×元+0×元=而×心+0×(0×c) (3) 可=可× 立,=而×元+而x(面×) 其中而=ok,F=xi+y,j+zk,元=xi+ycj+2ck
大学 物理刚体的平动与定轴转动 下面简化该公式,设A-xy,z为静系,由欧拉公式,得: k r x i y j z k r x i y j z k v r r v r v r r r r v r i i i i C C C C i i i i i C C C C C = = + + = + + = + = = + = + = , , (3) ( ) ( ) C C 其中
刚体的平动与定轴转动 (3)代入(1),(2)投影得: -mx o2-my=Nis+Nas+Fis myo+mx=Nay+Nay+Foy 0=N+∑F I@2-I.@=-AB.Ngy+Mx (4) -I@2-I@=AB.NBs+My I.0=M. 如
大学 物理刚体的平动与定轴转动 (3)代入(1),(2)投影得: = − − = + − = − + = + − + = + + − − = + + z z z z x yz B x y yz z x B y x A z i z c c A y B y i y c c A x B x i x I M I I AB N M I I AB N M N F m y m x N N F m x m y N N F 2 2 2 2 (4) 0
刚体的平动与定轴转动 4.讨论: 1)(4)中最后一式可解得运动规律,其余五式 可解得N4,N,N4E,NBx,NBx 2) .o=o=0化为通常的平衡方程;求得的约束 反力为静力反力
大学 物理刚体的平动与定轴转动 4. 讨论: 1) (4)中最后一式可解得运动规律,其余五式 可解得 2) 化为通常的平衡方程;求得的约束 反力为静力反力, , , , , ; NAx NAy NA z NBx NBx = = 0 •
刚体的平动与定轴转动 4.讨论: 3) 0≠0,0≠0时,求得的4,Ng 为动力反力 ,与静力反力相差很大,即出现附加压力,起因与 刚体转动时产生的惯性力; 4) 0≠0,0≠0不产生附加压力的充要条件 此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足: Nx+NBx+∑Fx=0,N+Nn+∑F,=0 -AB.Nay +Mx =0,AB.N as+My=0
大学 物理刚体的平动与定轴转动 4. 讨论: 4) 不产生附加压力的充要条件 此时动力反力与静力反力相等。静力反力满足 : NA NB 0 , 0, • 3) 时,求得的 为动力反力 ,与静力反力相差很大,即出现附加压力,起因与 刚体转动时产生的惯性力; 0, 0 • 0, 0 0, 0 − + = + = + + = + + = B y x B x y A x B x i x A y i y i y AB N M AB N M N N F N N F