省级精品课程——材料力学 第五章扭转 §5-1扭转的概念及外力分析 工程中许多构件的变形主要是扭转变形，或者包含有扭转变形。例如电动机的主轴， 钻杆等（图5-1）。将这些构件抽象为图52的模型，它们有如下共同特点：受大小相等、转 D 主轴 图5 向相反，其矢量与杆的轴线重合的一对力偶作用。其变形特点是，杆的任意两横截面将发生 绕轴线的转动，杆的这种变形就是扭转变形。 作用在图52受知杆上的从力T是一个抽象的模型，在不同的实际问颗中，可用不同 方法得到。例如对图5中的钻杆来说，T=。对于传动轴，往往只知道轴的转速和它所 传递的功率，这就需要将这些已知量换算为作用在轴上的外力偶矩T。设N代表功率，并 以千瓦(KW)为单位：n代表转速，单位是转/分(pm),由功率公式得 图5-2 00m/) 所以 T=9549N (Nm) (5-) 若功率N是以马力(PS)给出，因为1马力=0.7355千瓦，由此可换算得到 T=7024X (N.m) (5-2) This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 §5-2受扭杆的内力 计算内力的方法仍姚是越面法。下面用一个例子夹说明 例子5-1：试求图5-3(a)月 示机器传动轴的扭矩，并作扭矩图。已知轴的转速为N 960pm,主动轮A的功率N-27.5KW,从动轮B和C的功率分别为Ng=20KW和Ne 7.5KW. 解：(1)首先计算作用在轴上的外力，由(51)式得 T=9540275 960 =274Nm 7=954920 960=199Nm 7=954975 2成 60 75.0Nm 以传动轴为研究对象，见图53(b) (2)计算传动轴横藏面上的内力，用截面法， 在BA段内，求任意截面】上的内力。假想地在 (c) 1-1截面处将轴切开，取轴的左部分研究，抛弃轴 的右部分，它对左部分的作用以内力M,代替，见 图5-3(c).。由平衡条件ΣM(x)0得 小晚 4 Mu-T=+199 N.m (g6三0 现在看到了，对于受扭的杆，横截面上的内 力是一个矢量沿者杆轴线的力偶，称为扭矩，记 为M,不同的扭矩，产生的扭转变形的性质不同。 我们用扭转变形的性质来规定扭矩的正负号。 9 图53(d所示，取 一小段轴， 若轴上的纵向线 图53 变成右旋螺旋线，则该段轴的扭矩为正。正扭矩 的矢量方向与截面的外法线方向一致。反之，若一小段轴上的纵向线变成左旋蝶旋线，则该 段轴的扭矩为负。负扭矩的矢量方向与截面的外法线方向相反，见图53（©）. 现在同讨头再研究1-1截面的扭矩，M,=+199NM.这个正号有两方面意义：第 它是正的运算符号，说明1截面扭矩的实际转向与假定的转向一致，即1截面扭矩的实 际转向就是图53（©）所示。第二，这个扭矩具有正的性质符号，因为它使1-1截面附近的 轴产生如图5-3(d)那样的变形。 用截面法，同样可求得AC段上任意酸面2-2的扭矩M2=T。=十75.0Nm,M.2的正号 也有两方面意义：第一，它是正的运算符号，说明22截面实际扭矩的转向与假定方向一致， 即为图53(D的转向。第二，这个转向的扭矩具有负的性质符号，因为它产生如图53（®） 那样的变形。因此，最后应给出答 M2=-75.0Nm 回忆一下杆的轴向拉压问题的轴力符号，我们首讲过，若未知的内力在计算之前先假定 有正的性质符号，则可使性质符号与运算符号一致而简化计算。 (3)表示扭矩随截面位置而变化的规律，即画扭矩图。以截面位置x为横坐标，以截 面的扭矩M为纵坐标，画曲线如图5-3()所示. 矩图反映了整个轴的扭转变形规律：该轴不同段内变形的性质，变形的大小 This document is gencrated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程 材料力学 §5-3薄壁圆筒的扭转，剪应力互等定理，剪切虎克定律 薄壁圆筒的扭转是一个最简单的扭转问题。通过本节的学习将进一步了解扭转变形的 特点、剪应力、剪应变以及它们的关系 薄壁圆筒的扭苹 所谓薄壁圆筒，指的是壁厚6远小于其平均半径o的圆筒。图54(a)就是一个长为1 的薄壁圆筒的扭转问题，由截面法知，该圆简任一横截面的扭矩M均等于T。 同轴向拉压杆的研究类似，我们从分析变形若手来研究薄壁圆筒的扭转，因为变形规 律是可以和察到的。作一个空验，在 圆筒表面上面 系列纵向线（母线 和横向线（圆周线），使圆筒产生拉 转变形，见图5-4(b),可观察到如 6 下现象 各横向线的形状、大小以及它 们之间的距离都没有改变，但绕圆筒 的轴线相对旋转了不同的角度： 各纵向线之间的距离也没有改 (b) 变，但都倾斜了同一个微小角度Y: 由横向线和纵向线画出的微小 矩形变成了倾角Y相同的平形四边 形。也就是该矩形块发生 了剪切 形，其剪应变就是Y,并称为纯剪切 图5-4(c)就是微小矩形变形前后的 C d 放大图。 设圆篇两端截面的相对转角为 中，则由图54(b)的几何关系有 py≈。心1，或者 图5-4 y=Z (5-3) 根据变形规律可推测应力分布规律：横截面上无正应力·：只有剪应力τ，且沿圆周 上 点的 都相同 由于壁很薄，故又可认为沿壁厚6剪应力亦无变化.图5-4() 为横截面剪应力分布图。 由平衡条件M(x)=0得到 2m6m。=M 所以 M,M 【208246 (5-4) 式中A=2为壁厚的中线所围成的面积。(5-3)和(54)式就是薄壁圆简扭转时的 变形公式和应力公式 二、剪应力互等定理 61 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 为讨论方便，现在将图54（©）的微小矩形块放大，并加注微小尺寸8，和8，安置坐 标系，见图55。前面已分析时，在兼壁圆简的横战面上有前应力，也就是在微小矩形块 左右两个侧面上有剪应力 。它将组成力偶知 (166)61使矩形块有转动的趋势。由于 圆筒处于平衡状态，故矩形块也应平衡，为此，只有可能在矩形块的上下侧面上存在力并组 成力偶使矩形块平衡。设上下侧面上有剪应力t',则由ΣM(z)=0得 (r66)5.-(r66,)8=0 由此得：t=t 5-5 由此看到，作用在受力构件内一点处两个相互垂 平面上的剪应力的数值相等，其方向同时指向或背离两 垂直平面的交线。这个规律称为剪应力互等定理或双生 定理。 我们利用纯煎切杖个殊间题得到前应力石等完 理，其实，当正应力存在时该定理亦成立， 因而是 -个 普遍规律。 三、剪切虎克定律 剪切虎克定律是一个实验结论，它描述了剪应力T 和道应变y之间的关系。涌常可利用薄壁圆简的邦书头 验来获得这个关系。对于像低碳钢这样具有比例阶段的 材料制成的薄壁圆筒，试验表明，当剪应力不超过材料 图5-5 的剪切比例极限rn时，扭角中与扭矩T(或Mr)成正比，见图5-6(a).由(5-3)和(5-4 看到，Y与中只差一个比例常数，t和M也只差一个比例常数，所以这个试验表明，当剪 应力不超过材料的比例极限τ。时，剪应变Y和剪应力τ成正比（图5-6(b): (5-6) 这个关系称为剪切虎克定律：其中比例常数G称为材料的剪切弹性模量，其值由试验决定 其单位与应力相同.钢的G值约为80GPa, (M)T 图5-6 62 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 §5-4圆杆扭转时的应力和变形 可以利用薄壁圆筒的应力和变形公式的分析方法来分析圆杆的扭转问题。但对于实心 圆截面杆，剪应力沿截面半径如何分布，事先并不知道。因此确定实心圆截面杆横截面剪应 力是一个超静定问题 当从变形几何、物理、平衡等三个方面来研究 应力和变形的公式 b】 (e) 1、变形的几何关系 用图54(b)研究薄壁圆筒的类似方法，由实验观察圆杆表面的变形规 根据表面的变形规律 由表及里推测杆的内部变形规律 作如下假定： 圆杆的横截面 在扭转变形后仍为平面，并像刚性圆盘一样绕杆的轴线旋转，这就是所谓平面假定。根据斗 面假定，在圆杆表面（即半径为r的圆柱面）所观察到的现象可推广到圆杆内部（即半径为 P的圆柱面)。我们取出dk一小段圆杆来表示上述变形规律，见图5-7。于是在式(5-3) 中，用dk代1，用d代，用P代r(或r),则得到 %=架 (a) 这就是离圆心为p处的剪应变，该式亦可直接由图5-7(c)得出。 我在由虎克定律确完横截面的剪应力分布规律。将(a)式代入(56)式，得 To=Gpdo (b) 这就是横截面上高圆心为ρ处的剪应力 3、平衡条件 横截面上剪应力合成的结果就是该截面上的扭矩M,故有 M,=prA=G关p 今 Ip=「pdA (5-7) 并称为截面的极惯性矩，则有 63 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 尝品 6-8) 由(b)式又有 (5-9) (5-8)就是变形（转角）公式，(5-9)就是应力公式。 二、公式的讨论 1、极惯性矩Ip Ir是一个仅与圆截尺寸有关的几何量，设圆的直径为D,利用图5-8，作积分(5-7)得 到 I,=f pida=p.2xpdp 所以 ,受 (5-10) 2、剪应力分布 对于一个指定的横截面来说，(59)式中的Mr和都是常量，因而t,与成正比， 即沿着横截面的半径，剪应力按线性分布。又由于剪应变是在垂直干半径的平面内发生的， 故剪应力的方向也垂直于半径，见图5-9。 图5) 图58 图10 最大剪应力发生在横截面的周边上，即发生在=D/2处。由(5-9)式得 令 ”上兴 (5-11) 称为截面的抗扭模量，则 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 一材料力学 (6-12) 3、空心圆截面村 对于空心圆截面杆，其变形和应力公式的推导过程与实心圆截面杆完全相同，故实心杆 的变形和应力公式(5-8)、(5-9)、(5-12)等同样可应用于空心杆。唯一不同的是上述公式 中的几何量，见图5-10，p的范围，因而剪应力分布的范围从d2到D/2:空心截面的极惯 性矩 I=S pidd=p2d 所以 ,--分】 (5-13) 空心截面的抗扭模量 (5-14) 4、薄壁圆筒 作为空心圆截面杆的特殊情况，利用公式(5-9)，计算图54(a)薄壁圆筒的剪应力 令p可，并注意到6<<ro,有 式中1，受D-2+6-(2-子r64+2知，6 或者直接由定义得到 1,=pdh=2.=心西=6-2m 这正是(5-4)式. 比较实心圆截面杆和空心圆截面杆的剪应力分布知，对于实心杆，当p很小时剪应力很 小，该处材料强度没有得到充分利用：而空心杆特别是薄壁筒能充分发挥材料的作用，因而 是合理的截面 5、相对扭转角与单位长的扭转角 由于圆杆在扭转时，其横截面都绕杆轴转动，因此我们计算出的扭转角中是杆的一个 截面相对于另一个藏面的扭转角。按(5-8)式所得到的是单位长度杆的（相对）扭转角。 长度为1杆的两端被面的相对扭转角是： -o-0 (5-15) 65 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 特别地，当M是常量时 (6-16) G1. 式(5-8)入、(5-15)和(5-16)中，G称为杆的抗扭刚度，它反映了杆抵抗扭转变形 的能力。 三、圆截面杆与非圆截面杆的纯扭转 所谓纯扭转，又称为自由扭转，是指杆在扭转时端部的变形没 有被约束的情况，圆截面杆和非圆截面杆纯扭转时的根本区别在于 非圆截面杆在纯扭转时横截面将发生翘曲，图5-1就是矩形截面 扭转时的翘曲情况，而圆截面杆在纯扭转时横截面将保持为平面， 即平面假定仅适用于圆截面杆的扭转。因而，确切地说，材料力学 的平面假定的方法只能研究圆截面杆的扭转问题，这就是本章54 图5-1 及其以后的研究内容，由此得到的结论只适用于圆截面杆而不适用 于非圆截面杆。非圆截面杆的扭转问题可通过弹性力学的分析或实 珍研究来解决。 例5-2、图5-12(a)所示为一外径D=100 mm,内径d=80mm的空心圆轴与一直 径为d=80mm的实心圆轴在C截面处用 健联结，已知外力偶矩T,=3510Nm, T-7020Nm,Tc-3510Nm,轴材料的剪 切弹性模量G=80GPa,不计健槽的影响 计算轴的最大剪应力tms 、每单位杆长度 扭转角的最大值0mx以及A、D两端截面 ⑧ 的相对扭转角中如 (bo 解：画轴的知矩图.见图5-12(b). 3510Nm 计算几何量 空心轴： 图52 =5.796x10°mm 斯g1-0]-0159x10wm 所，=&80=0.1005x10m 因为轴的各截面的扭矩绝对值都相等，故W,最小也就是实心轴的表面有最大剪应力 66 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程—材料力学 M. 3510 ts-70105×10 =34.9MPa 1,最小，即实心轴上出现每单位杆长扭转角的最大值 3510 D3010x40210=109x10'ad/m=06251m 计算相对扭转角ΦD时，应按三段来考虑，即AB、BC和CD段。取相对扭转角的符号与 扭矩的符号相同，计算各段相对扭转角并求其代数和，得 3510×2 3510×1 3510×1 =80x10x5796x10 +80×10×5.796x1080×10×4.021x10 =(-1.514+0.757+1.0910×102 =+0.334×102rad =+0.1910 §5.5圆杆扭转时的强度和刚度计算 一、强府计算 受扭圆秆的强度条件是：由公式(5-12)求出的最大剪应力（工作应力）不得超过 材料的剪切容许应力[],即 (5-17) 式中[τ]由材料在扭转时的力学性能来确定」】 与轴向拉压杆的强度计算类似，应用圆杆扭转时的强度条件(5-17)式也可解决三类问 超： 1、强度校核 计算最大剪应力T与容许剪切应力[τ]比较，验算(517)式是否满足。 2、截面洗择 此时应将(5-17)式写成 尚 3、确定容许扭矩 此时应将( -17)式写成 M,≤W] 在应用(5-17)式时要注意，当Mr为变化时应采用Mm 二、刚度计算 受扭圆杆的刚度条件的通常表示方法是：由公式(5-8)求出的每单位杆长扭转角，用 /m表示，记为0，不得超过容许的单位杆长扭转角[0：即 67 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程一材料力学 (5-18) 应用刚度条件(5-18)，也可解决三类问，刚度校核，截面选择，确定容许扭矩。 为了保证杆在扭转时能正常工作，应当既满足强度条件，又要满足刚度条件。但对一个 具体的杆，常常是一个方面是主要的。 例5-3、图5-13所示汽车传动轴AB,由45号钢的无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚 t=2.3mm,最大工作扭矩Mr=15KNm,材料的容许剪应力[t]=60MPa。试校核AB 轴的强度 图5-13 解：轴的内径d-D-21-90-2×2.5-85mm 抗数面酸量形，-分]名01-受]2925x10m AB轴所有截面的扭矩相同，因而所有截面的最外圆周点都是危险点 M 1.5×103 W2.925x10×10F =51.3MPa 因为tms<[t],所以AB轴满足强度要求， 讨论：在强度相同的条件下，若将AB轴改为同样材料的实心轴，设直径为山则由 =-15x10 =51,3MP 得d-53.0×10-53.0mm 空心轴与实心轴所用材料之比即为两轴截面积之比 ÷gon 53 可见空心轴比实心轴节省了约2/3的材料 例5-4某组合机床主轴箱内第4轴的示意图见图5-14(a).轴上有Ⅱ、Ⅲ、V齿轮，动 力由5轴径齿轮输送到4轴，再由齿轮Ⅱ和Ⅳ带动1、2、3轴。1、2轴同时钻孔，共消耗 功率0.756KW:3轴扩孔，消耗功率298KW,若4轴转速为183.5转/分，材料为45钢， G=80GPa.取「x1=40MPa.I01=15am。试设计轴的直径 解：先计算经过齿轮作用于4轴上的外力，由公式(5-1)得 68 This document is generated by trial version of PrintFlash(www.print2flash.com)