省级精品课程—材料力学 第七章弯曲内力 §7.1工程中的弯曲问题 工程中弯曲变形的杆是很多的，例如房屋建筑中的楼板染（图7），起重吊车的钢梁（图 7-2),火车的车轴（图73），以及承受风力的烟筒等都是弯曲变形的实例。工程中常把以弯 曲变形为主要变形的杆称作染。 楼板 计屋 钢梁 楼板梁 图7 图7- 图73 工程中常用梁的横截面多具有对称形状，如矩形、工字形、T形及圆形等。我们把横截 面的对称轴与梁的轴线所构成的平面称为纵向对称面，如图7-5()所示。 P. 一横截而 p纵向对称面 对称轴 曲变形后的轴线 曲变形 的横酸 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com) 104
省级精品课程—材料力学 若梁上的外力（载荷和支座反力）为作用在纵向对称面内的平面力系，梁弯曲后的轴线 将是纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲叫做平面弯曲，如图75所示。平面弯曲是弯曲变 形中最简单和最基本的情况。这一章以及随后的两章主要研究梁的平面弯曲间题。 作用于梁上的载荷常见的有以下几种： (1)集中力即作用在梁的微小长度上的力，可看作是作用在梁轴线上某一点的力， 如图7-6中的力P。又称集中载荷。 (2)分饰力即沿梁的长度连续分佈的力，又称分饰载荷。分佈载荷可分为均饰载荷 (图 7-7a)和非均布载荷（图7-）。分布载荷的大小是用载荷集度来度量，并记为q。如图7-7 (b)所示，在x处的分饰载荷集度 q0)= △D 当q(x)为常量时代表均饰载荷，而对于非均佈载荷q(x)是x函数。q(x)的单位为 Nhm或KN/m 不论是集中力还是分力，我们只研究其垂直于梁轴线的分量，并称为梁的横向力。而 沿看梁轴线的分力只产生轴向拉（压）变形，这是以前研究过的问题。 (3)集中力偶在纵向对称面内作用于梁轴线上某一点的力偶，如图76中的力偶m. 图7-0 9(x (ap (b) 图7-7 梁的支座有三种典型的形式： )活动较支座这种支座的构造构造及计算简图见图7-8a,b.它只限制桑在处沿支 承方向（图7-8中的垂直方向）的位移，但不阻止垂直于支承方向的位移和绕铰心的转动， This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com) 105
省级精品课程 材料力学 故支座反力只有一个：沿支承方向的反力YA(图7-8©)， 6)计算图 A Y )构造图 ⊙)支座反力 图7-8 (2)固定较支座这种支座的构造及计算简图见图7-9，b。它限制梁在支座处沿任何 方向的位移，但不阻止绕铰心的转动，故支座反力为通过铰心的力，其大小和方向均未知， 即有两个未知量（平面铰），通常用两个分力来表示支座反力：X和Y(图7-9)， g b)计算图 X A Y 构提区 ()支座反力 图7.9 (3)固定端支座这种支座的构造图和计算简图见图7-10a,b。它既限制梁端在任何 方向的线位移，也限制其角位移。其支座反力用三个分量表示：X、Ya和M(图7-10c A 77 A 8- (a)构造图 b)计算简图 (©)支座反力 图7-10 工程实际问题里，很多梁的支座没有上述的典型形式，只能针对具体问题进行分析，抽 象为某个典型的支座 根据支座形式和位置的不同，常见的简单的形定梁有以下三类： (1)简支梁（图7-11a:(2)外伸梁（图7-11b或c:(3)悬臂梁（图7-11d) b (a) (b) (© 图7-11 (d) This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com) 106
省级精品课程—材料力学 最后再回顾一下弯曲变形的特点。为简单，以平面弯曲为例，杆的受力特点：受大小相 禁、转向相反，位千纵向对称面内的力偶作用。品然这种力偶的矢量与杆的轴线垂直，如图 -11所示 大多数梁承受横向力作用，但其效果相当于在任一微段梁上受一对力偶作用。杆 的变形特点是：杆的轴线由直线变为曲线，任意两横酸发生相对转动，见图7-5b。 §7.2剪力和弯矩 一、用截面法求内力 现以图7-12为例讨论梁的内力及其计算方法。图7-12a所示为简支梁受集中为P作用， 求1横截面的内力 b 1-c 图7-12 在计算内力之前，先应已知梁上的外力，包括支座反力。由整个梁的平衡条件得X0, ya=二p,Y。=二p,方向如图示。 应用截面法，按照切、取、代、平衡等步骤，取1-1截面左边的梁为分离体，见图7-12b。 考虑分离体的平衡。对于平面力系，有三个平衡方程，但在这里平衡方程∑X=0自动满 足。由平衡方程∑Y=0得 y,-0=00=y,-9 对藏面1-1的形心0取矩，即由∑M。=0得 M-Yc=0.M =Yc=bCp 由此例可看到，在横向力作用下，梁横截面上的内力一般有两个：切于截面的内力Q, 称为剪力：力偶矩M,称为弯矩。 如果取1-1截面右边的染为分离体，如图7-12c所示，则得到 This document is generated by trial version of PrinFlash(www.printflash.com) 107
省级精品课程——材料力学 g=P-y。=P-2P=2P Mr=rU-0-P0-e)午P Q'、M'分别和Q、M在数值上相等，但方向（转向）相反，因为它们遵循作用与反作用 关系。用截面法求梁的内力，可取截面左边梁为分离体，也可取右边，以计算方便为宜。 、根据变形规定内力的符 同截面法求出的剪力Q和弯矩M,对不同的梁或不同的截面或截面的两边，可能得到 正值， 也可能得到负值。我们以前说过，内力是反映杆的变形的，因此我们完全有理由根据梁的变 形来规定剪力和弯矩的正负符号。 研究任意横 mm,在该截面附近取出一微段染，并规定：若微假染的变形如图7.13a 所示，即其左边截面向上而右边向下错动时，则mm截面的剪力Q为正：反之，Q为负 如图7-13b所示。若微段梁的变形如图7-14所示，即由矩形块变成凹形，其下边伸长上边 缩短，则m-m截面的弯矩M为正：反之，M为负，如图7-l4所示。 根据这个规定，截面附近微段梁的一种变形，对应着该哉面内力的一种符号，而不管该 内力是由藏面左边的分离体还是右边的分离体求出的。 00 M⊕ (a) a 图7-13 图7-14 现在，根据这个规定来研究图7-2简支桑的1山截面内力的符号。已经求出 0=Q=P,它表示：第一，图712b和c中假定的剪力方向与真实方向一致：第二， 11截面剪力产生正的剪切变形，应取正号。类似的为研究弯矩M的符号。 三、截面法的简化 由以上用截面法求内力的过程看到，在横向力作用下，染任一横藏面上剪力Q由乎衡 方程∑Y=0求出，弯矩M平衡方程∑M=0求出，且平衡方程中只涉及到截面 边的外力。再注意到剪力和弯矩的符号，我们可以直接根据截面一边的外力求出内力 其规律如下： 梁任一横截面的剪力Q在数值上等于该横面一边所有横向力的代数和：截面左边向上 的外 力或右边向下的外力取正号，反之取负号。 梁任一横截面的弯矩M在数值上等于该截面一边所有横向力及力偶对该截面形心的力 矩的 代数和：向上的外力取正号，反之取负号。力偶项的正、负号按弯矩符号规则处理。 例7-】求外伸梁C截面、B截面和B截面的内力。 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com) 108
省级精品课程—材料力学 4 例7-1图 解：首先求支座反力，由整个梁的平衡条件∑M,=0得，受，由∑M,=0 得X。名.利用∑y=0校核：克1+名1-g0+子=0，计算正确. 应用简化的截面法，得内力（考虑藏面的左边） 15 17 0版=2l-g1=32 M是1-子 0克l-g克l 考虑截面的右边也会到得同样的结果。具体考虑面的那一边应以计算简便为宜。 同以上计算过程可看到，简化的截面法的基础还是截面法，但在求内力时，“切”、“取” “代”等步骤以及分离体图都省略了，平衡方程也简化了，变成为直接由截面一边的外力求 出内力，因而简便易行。 §7.3剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 通常，梁的不同截面上的内力是不同的，也就是梁的内力随截面的位置而变化。设横截 面的位置用坐标x表示，则梁的横截面上的剪力和弯矩都可表示为坐标x的函数，即 Q=Q (x),M=M (X) 并分别称为尊力方得和弯矩方程 为了直观形象地 表示剪力和弯矩随酸面位变化的规律，将剪力方程和弯矩方程用曲线表 示：以截面位置x为横坐标，以剪力Q或弯矩M为纵坐标，绘出Q(x)或M(x)的图线 分别称为剪力图和弯矩图。 要提醒注意的是，为了便于今后的应用，多数情况下坐标轴的选择方法是：坐标原点放 梁的左端：x轴与染的轴线平行，并以指向右为正：Q轴以指向上为正：M轴以指向下为 正 例7-2作图示简支梁的剪力图和弯矩图 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com) 109
省领精品课程—一材料力学 200KW 15 Q(KN) 50 ⊕D 150 M (KN-m) 75 例7-2图 解：(1)求支反力。由整个梁的平衡条件∑Ma=0得YA-50KN:由∑M,=0得 Y=150KN.方向如图示。由∑Y=0校核，计算正确。 (2)写剪力和弯矩方程。该梁分AC和CB两段分别写方程 AC段，取截面以左部分梁为分离体较方便 Q(x)=50 (0<x<1.5) M(x)=50x (0≤x1≤1.5) CB段，取截面以右部分梁为分离体较方便。 Q(x)=-150 (1.5<x2<2) M(x)=150(2-x2) (15≤x≤2) 注意在集中力（含支度力）作用点，剪力为不定值，放截面剪力方程的定义域在此处用开区 (3)画剪力图和弯矩图。坐标如图示。对于线性方程，由两个点即可画出图线。为了 清楚明确，控制点处的剪力、弯矩绝对值以及各段剪力、弯矩符号均标在图上。 例7-3作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。 解：该梁分AC和CB两段分别为一方程。且取截面以右部分梁为分离体较方便。 写剪力弯矩方程 AC This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com) 110
省级精品课程—材料力学 0- 0<x≤么 M兴) 0<x≤ CB Q(x)=90-x) (么≤D M)=90-) (么≤≤ M 例7-3图 注意在固定端支座处，支反力有集中力，故该处剪力为不定值：支反力中还有集中力偶，故 该处弯矩为不定值。因此剪力和弯矩方程的定义域在此处为开区间， (2)画剪力图和弯矩图 例74画图示简支梁的剪力图和弯矩图 解：(1)求支度反力，得Y4=Y。=%,方向如图示。 (2)写剪力方程和弯矩方程 AC段 0<1≤ 0≤w公 CB段 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com) 111
省领精品课程一材料力学 0)=只 (<D M=0-x,) (么<≤ (3)画剪力图和弯矩图。为简便，可以不画出坐标系，如图示。 X 例7-4图 §7.4载荷集度、剪力和弯矩的关系 课程的开头（例如在§2-2里）我们就指出过，材料力学研究的内力是构件在外力作用 下的内力，因此内力与外力必然有关系，对于梁，也就是载荷与剪力、弯矩必然有关系。现 在来研究这个关系及其应用。 ·、微分关系 设图7-15的梁承受分饰栽荷qx,并规定q向上为正。用位置为x的任意横截面和相 距为 dk的横截面切出一微段梁，设两截面上的剪力和弯矩分别是Q(x)、Mx)及Q(x)+QX、 Mx)+dMx,且都为正值.由微段梁的平衡条件∑Y=O,得 Q(x)+q(x)k-2(x)+d2(x]=0 由此导出 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com) 112
省领精品课程—材料力学 b(x) q(x) 2( M(x) \M()+dM(x) Q(x)+de(x) 7-1) 由∑M.=0,得 M+Qx达+qxh套M四+aM=0 略去二阶微量09k空后又导出 M(=0(x) (7-2) 由(7-1)和(7-2)式又可得到 dM因=4x) (7-3) ax- 以上三式就是载荷q和剪力Q、弯矩M之间的微分关系。 下面利用微分关系来分析一下剪力图和弯矩图的规律。 第一，在梁的某一段内剪力弯矩图的形状。假定用多项式表示函数关系，则有：①若 90且Q-0,则M图为水平线：②若q0且Q≠0，则Q图为水平线，M图为斜直线：@ 若q为常数，则Q图斜直线，M图为二次抛物线：④若q为线性分饰载荷，则Q图为二次 曲线，M图为三次曲线：依此类推。 第二，在任一截面x,剪力弯矩图的斜率。在任一裁面x,若q为正（向上），则Q图 在该处的斜率为正，反之为负：若Q为正，则M图在该处的斜率为正，反之为负。 第三，某些特殊点：极值点和突变点。这些点常常也是控制点。 若qx)在某点处为零，则在刻点处Q取极值：若0(x)在某点处为零，则在该点处M 取极 研究集中力P或集中力偶m作用的截面，用集中力P(或集中力偶m)的左右两个相 邻横截面切出一微段梁，如图7-16所示。由平衡条件（图-16a)∑Y=0和∑M。=0得 This document is generated by trial version of PrintFlash(www.printflash.com) 113