省级精品课程—材料力学 第十四章压杆稳定 §14.1压杆稳定的概念 短而粗的杆受轴向压力作用时，将会发生屈服或剪断，从而丧失承载能力。这些破坏属 于强度问题。低碳钢或铸铁试件在压缩试验时的破坏就属于这种情况。但是，细长杆在轴向 压力作用下，将表现出与强度问题完全不同的性质，这是本章要研究的内容。 我们用一小实验来说明。图1所示为两端较支的细长杆，设压力与杆的轴线重合。当 压力P较小时，杆能保持它在直线形状下的平衡。即使作用一个微小的侧向干扰力，暂时使 杆发生微小的弯曲变形，但干扰力解除后，杆仍能恢复其直线形状（图4-1）。这说明压杆 的直线形状的平衡是稳定的。当压力P逐渐增大，并达到某一极限值时，压杆原有的直线形 状的平布就开始变为不稳定了。这时若再作用一微小创向干犹力，使其发生微小弯曲恋形 在干扰力解除后，杆仍将保持在曲线形状下的平衡，不能恢复到原来的直线形状（图4一1〉 压杆保持其直线平衡形式的能力称为压杆具有稳定性.压杆丧失共原有的直线平衡形式的现 象称为丧失稳定性，简称失稳。 La) () 图14-1 压杆失稳后，改变了原来的受力性质。压力的微小增加，将引起弯曲变形的显著增大 这时压杆已丧失了承载能力，不能正常工作，因此，为保证压杆能正常工作，必要求压力不 超过某一极限值，以使压杆的直线平衡形式是稳定的。这个极限值称为临界压力，用P,表 示。求P:是分析压杆的关键问题。 现在可以将压杆的实际压力P和临界压力P,作一比较说明。当PP,时，压杆的直线平衡形式是不稳定的：当P=P,时，它代表稳定平 衡和 稳定平衡之间的临界状态。可以将P,看作是直线平衡形式下的最大压力，也可以将 P,看作是曲线平衡形式下的最小压力，也就是刚开始失稳时的压力。见图4-1b,c。 工程实际中有不少压杆失稳的实例。例如1907年加拿大长达548米的魁北克大桥在施 工时突然倒塌，就是由于两根压杆失稳而引起。可见，研究压杆稳定性问趣对于保证工程结 构的安全是非常重要的.除了压杆外，还有很多其他形式的构件也存在稳定性问题.图14-2 和b分别表示狭长矩形截面染和圆弧形薄拱失稳现象的示意图。 271 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 1P字 (a】 ck) 图14-2 §14.2细长杆的临界压力欧拉公式 现在计算不同支座情况下细长杆的临界力。 一、两端较支的细长杆 设图143所示的压杆两端为球形较，受到轴向压力P作用。如前述，当力P达到 时，若给杆以微小的横向干扰力，压杆便发生弯曲，且在干扰力解除后杆仍保持其曲线平衡 状态。 图14- 因杆的弯曲变形很小，可应用挠曲线微分方程(91)去求解。取坐标如图示，任意截 面x处的弯矩为 M(x)=-Py (a) 这里，压力P:只取绝对值：又因为M和y的符号总是相反的，故上式中取负号。在图 143的坐标系中，曲率的符号与弯矩的符号一致，故(91)式应取正号，即有 dy M(x) (b) 将(a)代入(b),得到 (e) d 为方便解方程()，令 (A】 则有 y”+ky=O 该方程的通解是 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程—一材料力学 y=Csinkx+Dcoskx (E) 其中积分常数C和D由杆的边界条件 当x=0时，y0 (g) 当x1时，y=0 来确定。将(g)代入()，得到 D=0] Csin kl+Dcoskl =0 上列线性齐次方程组的零解不是我们所需要的，因为C==-0表示y0,它对应着压杆没有发 生弯曲的情况。我们需要的是()式的非零解，这就要求由C和D的系数所组成的行列式 等于零，即 上e (i) ()式称为稳定的特征方程。由(i)式得到 sink/=0 G) 由此 k1=n元 (m=0,1,2,…) 代入(d)式得到 R 名 根据压杆失稳的概念，应当采用上式中最小的压力，即取1，这样便得到两端铰支压杆的 临界压力为 πEI (141) 这就是所谓欧拉公式。对于两端为球铰的杆，其弯曲变形将在刚度最小的平面内发生，故上 式中的1，是杆截面的最小形心主惯性矩：又因为压杆的失稳是整个杆的行为，即使杆截面 有个别削弱（如开一个小孔），对临界力的影响是很小的，故上式中的1，是杆的毛截面的惯 性矩。 将0和k二代入(D式，得到P,作用下杆的挠黄线方程 y-Csin巴 这是半个波长的正弦曲线 三、其他支座条件下的细长村 作为一个例子，再研究一种支座条件下的细长杆。 例14-1求图示一端固定另一端铰支细长压杆的临界力。 273 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 例14-1图 解：选坐标如图示。设压杆在P,时在微弯状态下平衡，任意被面x上的弯矩是 M(x)=R(/-x)-Piiy 弯矩是叠加法得到：P,作用下产生的弯矩永远同图14-3，其余力产生的弯矩符号判断：产 生弯曲变形与P,相同者，与P,取相同符号，否则相反。 于是挠曲线微分方程 尖9白--R列 (n) 或写成 合-0=0- (o) 其中k的意义同(d)式。(o)式的通解为 Cik-到 共中积分常数C、D和未知的支座反力R可由边界条件确定，即 x=0时，y=0 x=0时，y'=0 x=/时，y=0 由此得到 Csink/+Dcosk/=0 这是关于C、D、R的齐次线性方程组。因为y不恒为零，故C、D、R不全为零。为要求上式 有非零的解，则要求系数行列式等于零，于是得特征方程 274 This document is generated by trial version of Print2Flash (www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 s sin kl cosk/ 展开后得到 tgk/=k/ t 用试算法得到最小的根 k/=4.49 精确解为4.4934094585 11 由此得到临界力 a'El (上式中0.7的精确值为0.699155659) 若再利用()式，则得到未知常数的解： D=-Ck B=CkP, 这里C为任意微小量。代入(p)式得挠曲线方程 y=C[sinkx-k/coskx+k(/-x)] () 代入(m)式得弯矩方程 M(x)=CP::(k/coskx-sinkx) 今=0.31，代入(x)式得 M(x)l.a=CP(k/cosk(/-0.7/)-sink(J-0.7/)) =CP..(k/cosk/cos0.7k/+k/sink/sin0.7k/-sink/cos0.7k/+cosk/sin0.7k/) 运用(t)式得 M(x)=CPusin0.7k/(k/sink/+cosk/) 运用(v)式计算k,得到sin0.7k1=0,故知 M(x=0 由此可见，可将该压杆右边的0.71段看作是两端较支的压杆 工程中的压杆有多种情况，用上述计算临界压力的方法计算出几种常见的典型的细长压 杆的临界压力，并将临界力公式写成统一的形式： πEI (14-2 式中称为长度系数，它代表不同支座对临界压力的影响，两端较支压杆取μ=山，支座越牢 固μ越小，支座不牢固μ较大。几种常见压杆及其长度系数见表14-1。 275 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省领精品课程—材料力学 表141几种常见压杆及其长度系数山 端固 两端固 一端固定 端固 定，一端 一端较支 两端铰支 可移动但 定， 一端铰支， 一端 端可移动，但 自由 不能转动 不能转动 提曲线 1 , -3 长 系数 0.5 0.7 μ §14.3压杆的临界应力压杆的分类 为了进一步研究压杆的稳定性，需要计算压杆的临界应力 、细长压杆的临界应力 将临界力P,看作是直线平衡形式下的最大压力，则可应用轴向压缩的正应力公式来计 算临界应力0对于细长杆，将(142)式中的临界压力P;除以横被面面积A,得到 式中1A为截面的惯性半径，因为I为最小惯性矩，故为最小惯性半径。引用记号 AL (14-3)》 入称为压杆的柔度或细长比，它综合地反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因 素对临界应力·，的影响，是一个无量纲量。于是细长压杆的临界应力公式可写成 0 (14-4) (14-4)式是欧拉公式(142)的另一种形式。若以入为横坐标，以,为纵坐标，则(14-4 式所表示的o,和入的关系可用图14-4中的曲线GCD来表示。 6 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
省级精品课程 材料力学 分行政拉公式的推导过置可知，我们应用我有线数分方登女-六号出了压杆的脂 界力，而那个方程的推导又应用了虎克定律。由此可知，只有临界应力不超过比例极限时 欧拉公式才成立，即欧拉公式的适用条件是 0150。 (a) 将这个条件用柔度表示，有 ≤0或λ E (14-5) 它是一个材料常数，则欧拉公式的适用条件又可表示为 ≥入 (14-6 在图14-4中，G点的纵坐标对应于o。,横坐标对应于入。因此，(14-6)式的意义是，欧 拉公式只有对曲线的GD段才适用。满足(146)式的压杆称为大柔度杆。前面提到的细长 玉杆就是指大柔度杆 不同材料的压杆，X,不同。现以例说明。 例14-2计算A3钢制成的压杆的入，已知E=206GPa,o,=200MPa. 解：由(14-5)式， ×206×107 200×10° ≈101 因此，用A3钢制成的压杆，只有当它的入≥101时，才能使用欧拉公式。 二、非细长压杆的临界应力 对于非细长压杆，其临界应力·大于材料的此例极限。，这时欧拉公式不能使用。分 析这类压杆的临界应力，工程中常采用试验结果为依据的经验公式，且有两种经常使用的经 验公式：直线公式和抛物线公式。 采用直线公式时 将非细长压杆分为两类 第一类为短粗压杆，又称为小柔度杆。这类压杆的破坏是因为压应力达到屈服极限。 (塑性材料)或强度极限·。（脆性材料）而引起的。这是一个强度问题。所以，对小柔度 杆来说，临界应力就是屈服极限或强度极限，即 「1-7 第二类是介于短相压杆和细长压杆之间的压杆，称为中柔度杆，其临界应力，表示为 柔度入的直线关系 01=a-b入 (14-8) 式中a和b是与材料性质有关的常数，见表142。 27 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.printflash.com)
省级精品课程—材料力学 万(MRa) ,5%=a-6入 元 入。 入 妹度中受杆大来定桥一一入 图14-4 瓦(a) y=a-62 入c 图14-5 表1-2几种材料的a和b,入：和x 材料 (n0,单位 a(MPa) b(MPa) A. MPa) 304 112 460 2.51 60 45钢 3.7 60 100 铬细钢 980 5.29 5 铸铁 332 1.45 使用直线公式(14一8)时，柔度入应有一个最低界限入。，它所对应的临界应力等于屈服极 限或强度极限，于是由a=a-b入：或a=a-b入 可得到 (14-9) 278 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)