第十五章 动载荷 §15-1基本概念 在前面各章所讨论的问趣中，我们认为构件所承受的载荷是静载荷。所谓静载荷，是 指由零缓慢地增加到某个值后，保持不变的载荷。承受静载荷作用的构件，其质点的加速 度非常微小，可以略去不计。像静水压力，构件的自重，匀速提升重物时绳索上的拉力等 均属静载荷。 若构件或构件的支承物有明显的加速度，这时候就称构件承受了动载荷。如猛然提 起重物，飞轮以等速旋转等就属于动载荷问题。 常用的处理动载荷问题的方法有两种：当计算加速度较方便时，先求出加速度，然后 求出动应力、动变形：当计算加速度较困难时，用能量方法求动应力，动变形。 §15-2构件作等加速运动时的应力和变形 构件作等加速度运动时，其质点的加速度较容易计算。这时可应用达伦贝尔原理（动 静法)去分析。常见的有三类问题。 一，构件作等加速直线运动 1x fa (a) 图15-1 以起重机以等加速度起品一根杆为例（图15-1）。设杆长为L,横截面积为A,材料 单位体积重量为y,加速度为。为简单，不计绳索的重量。为了区别动载荷和静载荷两 种情况下的内力、应力和变形，以下对动载荷下的量附加下标，对静载荷下的量附加下 标j. 计算绳索的拉应力（图15-1b)。杆的自重就是作用在杆上的静载荷，其分布集度是： 1 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
9,=Ay 按照动静法，对杆件各质点再加入惯性力，就可以按静力平衡问题处理。惯性力也是分布 力，其分布集度是红。，方向朝下。于是，考虑动载荷时，作用在杆上的分布力有两个， 其总集度是： g 由平衡条件∑X=0,得动载荷时绳索的拉力 N=91=41+ 绳索横截面上的动应力是： 引入记号 K,=1号 (15-1) 并称为等加速直线运动的动荷系数。 再注意到a0时可得到静载荷时的分布载荷集度q,、绳索的拉力V,、绳索横截面上 的应力0，。于是， 9a=K49 Na=KaN d=Kao 上式表示，构件作等加速直线运动时，动载荷下的量等于静载荷下对应量乘以动荷系数。 同理可计算杆件任一横截面上的内力N,(图15-1C)。 q=A1+8K9, 2 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
N,=4州1+=KN a,=州1+K0 强度条件是： O4ms=K,01mm≤] 式中[]是材料在静载荷下的容许应力。 例：15-1用两根直径d10mm的吊索以等加速度a起吊32a号工字钢，如图所示。 a=10m/s2。在提升过程中，工字钢保持水平。若不计吊索的自重，试求吊索横截面上 的应力和工字钢在危险截面上的最大正应力。 2m -8m 无-2m A A 例15-1图 解：用截面法将吊索切开，取出工字钢及吊索的下部分。于是，研究工字钢时相当于 ·个外伸梁：梁的支反力就是吊索的拉力。作用在工字钢梁上的分布载荷有自重， ?=:程据达伦自尔级里。相隆的横佳力电窗附加到工学钢梁上。(=子放作 用在工字钢梁上的动载荷 g=+经割 动荷系数： K,=1+%=1+9=202 9.8 9=52.7×9.8×2.02=1043N1m 吊索的拉力： This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
N,=N。=41043x12=6258N 2 2 吊索的动应力： 6258 A -=79.7MPa 410×10 计算工字钢梁，最大弯矩在跨中截面 Mimx=6gd=6258N·m 故工字钢梁的最大动应力： 6258 o70820=84hMPa 二。构件作等角速度转动 当构件作等角速度转动时，构件上的质点具有向心加速度R。2,这里⊙为角速度，R 为质点到转动中心的距离。以转动中心为圆心，则在同一圆周上各质点具有大小相同的向 心加速度。 根据达伦伯尔原理，在各质点上施加大小为mR。的离心惯性力，则可用静力平衡的 办法来分析，这里m为质点的质量。 现以飞轮轮缘为例说明。 例15-2如图所示，飞轮以等角速度。转动，计算轮缘横截面上的动应力及轮缘的 动变形。设轮缘的平均直径为D,横截面面积为A,材料单位体积重量为y 95 (a) (c) 例15-2图 解：作为近似计算，不计辐条的影响。在轮缘上施加惯性力，如图(b)所示，每单 位轮缘孤长上，惯性力大小 (a) 4 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
已知q,后，现在的问题与第二章中研究过的受内压p作用的圆柱形薄壁容器问题是类似 的，例如计算轮缘横截面上的应力，可在(2-18)式 O纵=必 21 中用学代帮子、得到轮缘损装面的动应力 a,-Wo (b) 4g 也可以利用图(c)中微段轮缘的平衡条件求出动应力。由∑y=O得， 2N,m99,分0 当do很小时，s血巴、，故由上式得到横藏面上的动应力 2 N 故 ,斗安 (b)式说明，动应力σ，与轮缘的横截面积A无关，因此，增大横截面积A不能提高轮缘的 强度，欲减小动应力，只有限制转速。 下面分析动变形。因为轮缘横截面上的σ，为拉应力，故轮缘在转动过程中要引长， 其直径要增大。设变形后轮缘的平均直径为D,则轮缘的环向应变是： ,心-池D-D D D 应用虎克定律： , D-D1io D E 4g This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
由此解得 a- (c) 若将轮缘套在轴上，当转速过大时，则有可能自行脱落。 三构件作等角加速转动 以例说明。 例15-3在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不 计。轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转速为=I00转/分，转动惯量为 /,=0.5KN.m·s2,轴的直径d100m。刹车时使轴在10秒内按均匀减速停止转动。求 轴内最大动应力。 7 例15-3图 解：飞轮与轴的角速度： .-10al/s 60 当飞轮与轴作匀减速转动时，其角加速度 10m 等式右边的负号表示￡为减速度，即ε与0转向相反，按动静法，在飞轮上施加转向与ε相 反的惯性力偶矩M,(如图所示) M,=-1s02wm 设刹车离合器作用在轴上的摩擦力偶矩为M,由平衡条件： M,=M,=O5红kN-m 用截面法求得轴AB的任意横截面上的扭矩 M.=M 6 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
横截面上的最大剪应力 M 05元x10 2 m=W103×10 =2.67MPa 16 §15-3构件受冲击时的应力和变形 一.基本概念 当一运动物体以某个速度与另一物体碰撞时，物体的速度在极短的时间内发生急剧变 化，从而使两个互相碰撞的物体之间产生很大的作用力，这种现象称为冲击.那个运动物体 称为冲击物，另一物体称为被冲击物. 工程中冲击的实例很多，如重锤打桩、冲压加工等，这里重锤、冲头为冲击物，桩、工 件为被冲击物. 由干冲击时物休的速度在极短的时间内发牛急剧变化故计算加谏度较闲难工程上 一般不要求冲击过程中的应力和变形，只要求给出应力和变形的最大值，这时候用能量法 分析较方便 为使计算简化，本节分析时还作如下假定： (1)冲击物的变形很小，可以略去不计，即可视为刚体 (2)被冲击物的重量很小，可以略去不计。 ☐中击物 三转性物 图15-2 根据这两个假定，分析冲击问题的计算模型是：一个运动的刚体（冲击物）与一个无 重弹簧（被冲击物）的冲击。研究的目的是要求出被冲击物中的应力和变形 (3)略去冲击过程中其他能量（如热能等）的损失，只考虑机械能的变化。 根据以上假定的计算结果是近似的，而且是偏于安全的。 此外，还认为冲击过程中冲击物一旦与被冲击物接触，就相互附着在一起成为一个自 由度的运动系统。又假定在冲击载荷P,作用下，构件的变形在线弹性范围内，因此动载 荷、动应力、动位移与静载荷时的相应量有如下关系： (a) P,o,△ 7 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
下面分析几种常见的冲击。 二.自由落体冲击 设重量为Q的冲击物从弹簧顶端为h处自由下落（图153）。冲击的过程如下：当重 物Q下落时，其速度不断增大，当它与弹簧开始接触之前，其速度为v=2g。一当重 物与弹簧接触，便附者在一起，此时弹簧的变形开始并不断增大，而重物的运动速度不断 减小。当弹簧压缩量达到最大值△，，也就是重物下落到最低点时，重物的速度v=0,与 此同时，根据力与变形的线弹性关系，重物与弹簧之间的压力达到最大值P,(图153b)。 a P=Q cay (b) 图15-3 在这个冲击过程中的始端与末端系统能量的变化是：在冲击始端，重物的动能T和位 能V、弹簧的变形能U分别是： T=0,V=Qh+△)，U=0 (b) 在冲击末端，相应的能量分别是： T=0,V=0,0=2P,Ag (c) 根据能量守恒定律，(b)式中机械能之和应等于()式中机械能之和。由此得到 Qh+4)2P,4 (d) 将(a)代入(d)式，并注意到在这里P,就是Q,得到 ea-ag4 △a2-2A,A-2hA,=0 解此方程，得 8 This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
因为△，大于△，故上式右端取正号，即 a要 (e) 记 (15-2a (15-2b) 称为自由落体冲击的动荷系数，则()式变为： △=Kg△ 再利用(a)式，有 P=K.P 0a=Ka0 (15-2)式表明，动荷系数K,与弹簧的静挠度△，有关（图15-3C),这里的△，实 际上是把Q按静载施加在冲击点处，冲击点处弹簧的位移。 在式(15-2)中，若令=0，这相当于将重物Q突然加在构件上，这时K,=2。也就 是构件承受突然加载时的应力和变形均为静载作用下的两倍。 例15-4由25a号工字钢制成的简支梁AB,在其跨度中点C受自由落体的冲击，如图 所示。已知材料的弹性模量E=200Gpa。求梁的最大冲击应力和最大冲击转角 a=5S手 25Q号 A 例15-4图 解：利用表91可求得静载荷作用下梁的挠度和转角。跨中的静挠度是： This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)
4, 5×103×3 48EL 48×200x10°×5023×10-0.280x103m 2×40×103 动荷系数：K,=1十 2h =1 =17.9 △ 0.280×103 静载荷作用下最大正应力在跨中，最大转角发生在支座截面（绝对值） M-L/4 5×103×3 0)m W 4×402x1093WPa Q 5×103×32 8,=1616×200105023×10=0.20x10'97 故最大冲击应力和最大冲击转角分别是： 04mx=K40,mx=17.9×9.33=167MPa 4mx=K,,mx=17.9×0.280×103=5.01×103弧 三.水平冲击 设重为Q的冲击物沿水平方向与被冲击物相撞，这种情况下，冲击物的势能无变化，只 有动能的变化.设冲击物与被冲击物开始接触的瞬间，冲击物的运动速度为；当被冲击物 的变形达到最大时，即冲击点的位移为△，时，冲击物的速度为零，而冲击物与被冲击物之 间的作用力达到最大值P,·研究冲击物与被冲击物开始接触到被冲击物的变形达到最大值 这个过程能量的变化，冲击物的动能 转化为被冲击物的变形能 U=3PA 即 0=2P,A (f) 28 将(a)式代入(f)式，得 (g) This document is generated by trial version of Print2Flash(www.print2flash.com)