第二章控制系统的内稳定性 §23传递函数矩阵的互质分解 前一节导出了镇定问题有解的充要条件,并把镇定线性分式变换系统的问题简化为镇定G22的问题。 本章剩余的部分将讨论如何确定S(G22).由于S(G2)的确定建立在互质分解的基础上,所以首先讨论传 递函数矩阵的互质分解问题。我们从一个简单例子入手。 例21考虑一个控制统,其中控制对象的传递函数为P()=m,控制器的传递函数为C(s)=m 这里N(s),D(s),N(s),D2(s)均为多项式,degD(s)=π.设N(s)和D(s)在右半闭平面内没有公共根 于是存在阶次不超过n的多项式N2(s),D(s)使f1(s)=D(s)D2(s)+N(s)N(s)=f1(s)f2(s),这里f1(s) 和∫2(s)均为n阶 Hurwitz多项式。这个多项式方程又可改写为 D(s)D2(s),N(s)N(8) f1(s)f2(s)f1(s)f2(s) (212) 显然 (8)=Ns)x C(s)=N() m4.2,需,都是稳定的传递函数,由此可见,一个有理函数,只要它没有不稳定的零极相 消,一定可以把它表示为两个稳定的有理函数之比,且存在另外两个稳定的有理函数,使(2.12)成立 我们把这种两个稳定的传递函数之比的形弌叫儆传递函数在R咒、中的分解。如果一个咒η。分解满足 212则称和在R。中互质,自然,和别也在。中互质 现在将上述互质的概念推广到传递函数矩阵。 定义2.1两个列数相同的传递函数矩阵Nr,D,∈RH。叫做右互质,如果存在Xr,Yr∈R。,使得 XrNr+YDr=l 两个行数相同的传递函数矩阵N1,D1∈R。叫儆左互质,如果存在X,Yt∈RH,使得 NX+D, (213)和(2.14)都叫做 Bezout方程。有了传函矩阵互质的概念,就可以定义传函矩阵的互质分解了 定义2.2如果G=NDr1,且Nr和D,右互质的,则称NrDr1是G的一个右互质分解。如果 G=D1N1且N1和D1左互质,则称Dn1Nn是G的一个左互质分解 下述引理描述了传递函数矩阵互质分解的唯一性。 引理2.2设N1D11=N2D21都是右互质分解,则有 里W和W-1均属于R.同理,若D:N1=D2N2都是左互质分解,则有 (216) 这里W,W"∈RH 证明:令W=D1D2则有D2=D1W.由N1D12=N2D21,可得N2=N1W.于是(215)成立 令X2N2+Y2D2=I,由(2.15)得(X2N1+Y2D1)W=I,于是W1=X2N1+Y2D1∈RH。类 似地由X1N1+Y1D1=I可得 1N2+Y1D2∈Rh 个传递函数矩阵W,若W,W1∈R,则称它为R。中的 unimodular.引理2.说明左、右 互质分解在R咒。中的 unimodular的意义下是唯一的。 Unimodular可以理解为单位模的。我们知道,整 数环中可逆元素为+1和-1.除这两个元素之外,其余任何元素(整数)的逆(倒数)都不是整数。于是,③ ④ ⑤✖⑥✳⑦⑨⑧✜⑩✦❶✳❷✙❸✜❹✎❺✦❻✜❼ ❽✻❾➀❿ ➁➃➂➅➄➇➆➉➈➅➊➇➋➍➌➉➎➅➏➇➐➇➑ ➒✜➓✳➔✖→✙➣✖↔■↕✜➙✦➛■➜✖➝✖➞✦➟✖➠❄➡✖➢✖➤✦➥✿➦✖➧✖↕✜➙✖➨✳➩✖➫✖➭✖➯✖➲✦➳❄➵✦➟✜➛■➜✜➸✳➺✦➻✳↕✜➙➽➼❩➾ ➾➀➟✜➛■➜✦➚ ➪✖➶✖➹✖➘✦➟❄➴✖➫✖➷✜➬✖➮✖➱✜✃✜❐✜➙➽❒♠❮ ➼❩➾ ➾ ❰ Ï✐Ð❩Ñ➽❒♠❮ ➼✎➾ ➾ ❰♠➟✳❐✖➙✳Ò✖Ó✖Ô✖Õ✜Ö✳➫✜➞✦➟❄×✜Ø✖Ù✙➥✏Ú✙Û❄Ü✖Ý✖➬✜➮✜Þ ß✦à❄á✖â✙ã✳➟❄Õ✦Ö✳➫✜➞✴➛■➜✙➚■ä✜å✳æ✦➓✳ç✦➸✳è✜é✖ê✜ë✖ì✙➚ íïî✻ð ñ✙ò✳ó✦ô✳õ✦ö✦÷➅ø❩ù✜➥❄ú✴û■ö✜÷✜ü✜ý✜þ✳ÿ✁￾✄✂✆☎✞✝✠✟✹❮ ✡ ❰☞☛✍✌✏✎ ✑ ✒ ✓ ✎ ✑ ✒ ✔ ö✦÷✆✕✴þ✳ÿ✁￾✞✂✆☎✞✝✠✖☞❮ ✡ ❰☞☛✍✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ✔ ✘✁✙✛✚ ❮ ✡ ❰ ✔☞✜❮ ✡ ❰ ✔ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✔✤✜✢ ❮ ✡ ❰✏✥✁✝✁✦★✧✁✩✳➥✫✪✬✭ ✜ ❮ ✡ ❰✮☛✆✯✮✰☞✱ ✚ ❮ ✡ ❰✳✲ ✜ ❮ ✡ ❰✣✴✶✵✆✷✞✸✺✹✞✻✄✼✺✽✆✾★✿✁❀✆❁✦➚ ❂★❃✶❄✴✶❅✆❆✄❇★❈✶❉❊✯✜þ✁✦★✧✁✩ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✔☞✜✢ ❮ ✡ ❰✏❋❍●■ ❏ ❮ ✡ ❰✮☛ ✜ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰▲❑ ✚ ❮ ✡ ❰ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰▼☛✁●◆ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ✔ ✘✁✙ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✲✠●➾ ❮ ✡ ❰✳✥✁✝❖✯✆❅❖P✣◗❘❙▼❚ ❯❱❲✦★✧✁✩✳➚ ✘õ✫✦★✧✄✩✆❳✶❨✄❩✶❬✄❭✁❪✶✝ ✜ ❮ ✡ ❰ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ❑ ✚ ❮ ✡ ❰ ●◆ ❮ ✡ ❰ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ●➾ ❮ ✡ ❰ ☛✞❫☞❴ ❮ ③ Ï ❫ ③ ❰ ❵✶❛ ➥ ✟☞❮ ✡ ❰▼☛ ✚ ❮ ✡ ❰ ✜ ❮ ✡ ❰ ☛ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒✳❞ ✖☞❮ ✡ ❰▼☛ ✚✣✢ ❮ ✡ ❰ ✜ ✢ ❮ ✡ ❰ ☛ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒❢❞ ❣ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✔ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✔ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✔ ✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒✐❤❃✶❥✆❦ þ❄ÿ✶￾✄✂✆☎✜➚✶❧♥♠✄❬✁♦✖➥❩ô✳õ✄✾✁♣✁✂✆☎✜➥✶q✺r✄s✶✽✶✾✁❇ ❥✆❦ þ✶t★✉✁✈ ✇ ➥❄ô❦ ❬✞①★②✞s✆③✄④✄✝✁⑤❄õ❥✶❦ þ✶✾✁♣✄✂✆☎✁⑥✄⑦✜➥ ❣❄ ✴⑨⑧✺⑩✄⑤❄õ❥✶❦ þ✶✾✶♣✄✂✆☎✦➥✺❋❷❶❸ ✰ ❹ ❸❺❲❻✁❼✁❽ ❾✶❿✁②✘✄➀ ⑤❄õ❥✶❦ þ✳ÿ✁￾✞✂✆☎✁⑥✄⑦✦þ✶➁✁✩✁➂✆➃✖ÿ✁￾✞✂✆☎✄✴✠➄➆➅➈➇◗û✳þ✆➉✁➊✦➚✺➋✄➌✜ô✳õ❊➄➆➅❢➇➍➉✁➊✄➎✆➏ ❶❸ ✰ ❹ ❸❺ ✔▼➐★➑ ✌✏✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✲ ✓ ✎ ✑ ✒ ❜ ❝ ✎ ✑ ✒ ✴✛➄➆➅➒➇✇û✺➓✆➔✜➚⑨→ ❛ ➥➣✌☞✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒ ✲ ✓ ✗ ✎ ✑ ✒ ❜ ❡ ✎ ✑ ✒❢↔✴✛➄➆➅➒➇✇û✺➓✆➔✜➚ ↕Ô✖➷✖Ù✶➙✖Õ✜Ö✦➟★➛✁➜✁➝✁➞✶➟✜Þ✖ß✦à✳á✜â✙ã✖➚ ➠✆➡ïî✻ð ñ✞⑤■õ✄➢✆☎✶✈⑨➤❄þ❄ÿ✁￾✄✂✆☎✶➥✫➦✛➧✞➨ ✔✤➩➨✣➫❢➄➆➅➒➇➭➂★➃✁✵✶➓✆➔✜➥✺➋✁➌❄ ✴✠➯✄➨ ✔✤➲➨✳➫✐➄➆➅✐➇➇➥✺❋✁➳ ➯✶➨ ➧✶➨✮❑ ➲ ➨ ➩ ➨✳☛✆➵➈❴ ❮ ③ Ï ❫ ➸ ❰ ⑤■õ✁➺✶☎✶✈⑨➤■þ✳ÿ✶￾✞✂✆☎✶➥✫➦✛➧✞➻ ✔✤➩➻☞➫❢➄➆➅➒➇➭➂★➃✁➼✶➓✆➔✜➥✺➋✁➌❄✴✠➯✞➻ ✔✤➲➻✤➫❢➄➆➅➒➇ ✔ ❋✁➳ ➧✁➻➯✶➻ ❑ ➩ ➻➲ ➻▲☛✶➵❲❴ ❮ ③ Ï ❫ ➽ ❰ ❮ ③ Ï ❫ ➸ ❰☞➾ ❮ ③ Ï ❫ ➽ ❰☞➚✫➪♥➶❊➹▼✬ ➘ ➴➷➬✳➮✁➱✜➚❩➝✙↔❄Þ✜à❄â✴ã❄Õ✜Ö✦➟★➛✁➜✦➥♥✃✄❐✙Û❄➙✁❒✖Þ✦à❄â✴ã✳➟✳Õ✦Ö✳➫✜➞✙↔✖➚ ➠✆➡ïî✻ð î✄➋✞➌❲➼❮☛✛➧✶➨ ➩✆❰ ◆ ➨ ✔ ❣ ➧✶➨★✲ ➩ ➨✺✵✄➓✁➔✴þ✜➥ ➐✶➑ ➧✶➨ ➩✆❰ ◆ ➨ ❃ ➼ þ✜ô✖õ✫✵✄➓✁➔✄➉✄➊✙➚✺➋✞➌ ➼✫☛ ➩ ❰ ◆ ➻ ➧✶➻ ❣ ➧✶➻✏✲ ➩ ➻▼➼✶➓✆➔✜➥ ➐★➑❍➩ ❰ ◆ ➻ ➧✶➻ ❃ ➼❱þ✳ô❄õ✄➼✶➓✆➔✁➉✶➊✦➚ Ï➙✄Ð★Ñ✶Ò✶➙✙↔✳Þ✳ß✙à✳á✖â✴ã■Õ✦Ö✳➫✜➞✙➟✶Ó✖➓✳➩✙➚ Ô★Õïî✻ð î✁✱❮➧✄◆ ➩★❰ ◆ ◆ ☛✁➧✜➾ ➩★❰ ◆ ➾ ❤❃✵✶➓✆➔✶➉✶➊✦➥ ➐ ✾ Ö ➧✜➾ ➩ ➾♥× ☛ Ö ➧✄◆ ➩ ◆♥×★Ø ❮ ③ Ï ❫ Ù ❰ ✘✁✙ Ø ✲ ØÚ❰ ◆ ✥✆Û ❂ ➄➆➅➒➇♥✰✣➤♥♣✖➥★ÜÞÝ➩ ❰ ◆ ◆ ➧✞◆✮☛✛Ý Ý ➩ ❰ ◆ ➾ ➧✦➾ Ý ❤❃➼✶➓✆➔✶➉✶➊✦➥ ➐ ✾ ß➧✜➾ Ý Ý➩ ➾ à▲☛ ÝØß➧✄◆ Ý Ý➩ ◆ à ❞ ❮ ③ Ï ❫ ④ ❰ ✘✁✙ ÝØÚ✔ ÝØ❰ ◆ ➫❢➄➆➅➒➇➒✰ á✞â✠ã♥ä Ø ☛ ➩ ❰ ◆ ◆ ➩ ➾ å æ✜➝ ➩ ➾✳☛ ➩ ◆ ØÏ✹ÐÚ➧✄◆ ➩ ❰ ◆ ◆ ☛✁➧✜➾ ➩ ❰ ◆ ➾ å ❐✶ç❊➧✜➾✳☛✁➧✞◆ØÏ➀Ñ✶è ❮ ③ Ï ❫ Ù ❰☞é✜Ó✙➚ ä ➯✜➾ ➧✜➾☞❑ ➲ ➾ ➩ ➾✏☛✶➵✤å Ð➍❮ ③ Ï ❫ Ù ❰☞ç ❮➯✜➾ ➧✄◆✤❑ ➲ ➾ ➩ ◆ ❰Ø ☛✶➵❩➥★Ñ✆è ØÚ❰ ◆ ☛✶➯✖➾ ➧✄◆✤❑ ➲ ➾ ➩ ◆✏➫❢➄➆➅➒➇➅➚✐ê ë✶ì➉Ðí➯✞◆ ➧✄◆☞❑ ➲ ◆ ➩ ◆✮☛✶➵➒❐✆ç Ø ☛✶➯✄◆➧✦➾▼❑ ➲ ◆ ➩ ➾✳➫❢➄➆➅➒➇✏Ï ➓✖ç✦Þ✖ß✙à✳á✜â✴ã Øå î Ø ❞ Ø➭❰ ◆ ➫✐➄➆➅➒➇❢å æ✄ï✁ð✜➻❊➄➆➅❢➇➭ñ✳➟✛➷òóô❢➴ ✪➷õö÷ Ï▼Ð✆Ñ ③ Ï ③✣ø⑨ù✺ú✞û♥ü Õ✜Ö✳➫✖➞✖Ôí➄➆➅♥➇✍ñ❄➟Ú➷òóô❢➴ ✪➷õö÷ ➟★ý✁❒Ïè✄Ó✳➓✜➟✖➚✄þ✏òóô❢➴ ✪➷õö÷▼❐✦Û✺Ñ✖➞✜➻✛ÿ✁￾✄✂✙þ➍➚✐ä✜å✄☎✝✆✦➥✟✞ á✡✠✞ñ✺❐✝☛✄☞✍✌✖➻❖❑➈❫❲➾✏✎❲❫ Ï✒✑✁✓✄✔✖ç✄☞✍✌✄✕✝✖✙➥✘✗✖➘✍✙✳✃✡☞✍✌ ❮✞✜á✖❰✹➟✁☛ ❮✚✖á✖❰✮➚✡✛✆è✄✞✖á✦➚■Ñ✆è✦➥