·1090. 工程科学学报，第39卷，第7期 表1设计参数初始误差设置 型的训练样本x的数据来源，每个训练样本点只包含 Table 1 Initial error of design parameters 筛选出的3个参数的水平值及其对应的响应值，进而 参数 名称 初始误差/% 求解Kriging模型的构造参数. 尾翼x向弹簧刚度 -10 本文选取高斯相关函数作为训练样本点的空间相 42 尾翼y向弹簧刚度 0 关函数，通过求解式(9)可得修正参数“材料密度”、 A3 尾翼Σ向弹簧刚度 -10 “弹性模量”和“机翼模量”所对应的日值分别为：6，= A 机翼x向弹簧刚度 10 4.95259,02=4.45985,03=5.33281.则相应的B、R As 机翼y向弹簧刚度 -10 和r随之确定，Kriging模型便构造完成，可以预测设计 6 机翼：向弹簧刚度 10 空间中任一点的输出响应.当其近似精度满足要求便 M 材料密度 -10 认为模型有效，即可代替有限元模型进行优化求解. As 弹性模量 10 为评估近似模型的有效性，用实验设计的方法选 取训练样本点之外的l0组设计参数值，作为Kriging Ag 机翼质量单元质量 -10 Ao 模型近似精度评估点.通过计算该10个评估点处有 尾翼质量单元质量 10 限元计算值和Kriging模型预测值间的决定系数 Au 机翼模量 -10 (COD)和均方根误差(RMSE)来定量分析近似精度， 注：机翼模量表示机翼材料的弹性模量 当COD越接近l或RMsE越接近0时表明Kriging模 |A.（w）-A（o） 型预测越精确.COD和RMSE分别通过式(14)和式 (13) A.(o） (15)计算，所选的10个评估点处的响应值如图4 在各因子初始值的20%区间内进行实验设计，用 所示. 采样较为均匀的优化拉丁方设计生成因子的设计矩 阵，并最终产生了200个样本点.根据该样本点的因 (y-)2 COD=1- 女 (14) 子和响应数据建立多元二次回归方程，从而计算各因 ∑ (y-2 子对响应的灵敏度值，该值经过归一化并转换为百分 比的形式，按从大到小排列如图3所示 RMSE=√ (y-)2. (15) 60 式中，k为评估点数量，y为评估点有限元模型响应的 50 均值，y,为评估点有限元模型响应值，：为Kriging模型 在评估点处的预测值. 30 250m 。有限元 230 -◆-Kriging 20 210 190 10 170 0 ☑☑man山 150 AA,AA:小AAA,AA。Am 130 因子 110 图3各因子灵敏度 90 Fig.3 Sensitivity of each factor 70 50 由图3可见，因子A(机翼模量)和A,(材料密 5 6 7 8 910 评估点 度)的灵敏度最高，在优化过程中肯定能得到有效优 化.此外，经简单尝试把灵敏度第三高的因子A,(弹性 图4各评估点处响应值 Fig.4 Response value of each assessment point 模量)与前两个因子一同优化时，因子A也能得到可 接受的优化效果，而更低灵敏度因子便不能有效优化， 经计算，此次修正所用Kriging模型COD值和 甚至出现优化后初始误差被扩大的现象.因此，选择 RMSE值分别约为0.984和0.0216，表明其对有限元 因子A,、A,和A作为待修正参数参与优化过程 模型具有良好的近似精度，该模型有效 4.2 Kriging模型的构造及评估 4.3模型修正 基于筛选出的3个参数来构造Kriging近似模型， 本文采用模拟退火法对模型修正的优化问题进行 需要将实验设计生成的200个样本点作为Kriging模 求解，该算法类似于遗传算法，但比遗传算法的编制简工程科学学报，第 39 卷，第 7 期 表 1 设计参数初始误差设置 Table 1 Initial error of design parameters 参数 名称 初始误差/% A1 尾翼 x 向弹簧刚度 － 10 A2 尾翼 y 向弹簧刚度 10 A3 尾翼 z 向弹簧刚度 － 10 A4 机翼 x 向弹簧刚度 10 A5 机翼 y 向弹簧刚度 － 10 A6 机翼 z 向弹簧刚度 10 A7 材料密度 － 10 A8 弹性模量 10 A9 机翼质量单元质量 － 10 A10 尾翼质量单元质量 10 A11 机翼模量 － 10 注: 机翼模量表示机翼材料的弹性模量． Ｒ = ∑ 85 i = 1 Ati ( ωi ) － Aai ( ωi ) Ati ( ωi ) ． ( 13) 在各因子初始值的!20% 区间内进行实验设计，用 采样较为均匀的优化拉丁方设计生成因子的设计矩 阵，并最终产生了 200 个样本点． 根据该样本点的因 子和响应数据建立多元二次回归方程，从而计算各因 子对响应的灵敏度值，该值经过归一化并转换为百分 比的形式，按从大到小排列如图 3 所示． 图 3 各因子灵敏度 Fig． 3 Sensitivity of each factor 由图 3 可见，因子 A11 ( 机翼模量) 和 A7 ( 材料密 度) 的灵敏度最高，在优化过程中肯定能得到有效优 化． 此外，经简单尝试把灵敏度第三高的因子 A8 ( 弹性 模量) 与前两个因子一同优化时，因子 A8 也能得到可 接受的优化效果，而更低灵敏度因子便不能有效优化， 甚至出现优化后初始误差被扩大的现象． 因此，选择 因子 A7、A8和 A11作为待修正参数参与优化过程． 4. 2 Kriging 模型的构造及评估 基于筛选出的 3 个参数来构造 Kriging 近似模型， 需要将实验设计生成的 200 个样本点作为 Kriging 模 型的训练样本 xi的数据来源，每个训练样本点只包含 筛选出的 3 个参数的水平值及其对应的响应值，进而 求解 Kriging 模型的构造参数． 本文选取高斯相关函数作为训练样本点的空间相 关函数，通过求解式( 9) 可得修正参数“材料密度”、 “弹性模量”和“机翼模量”所对应的 θ 值分别为: θ1 = 4. 95259，θ2 = 4. 45985，θ3 = 5. 33281． 则相应的 β* 、Ｒ 和 r 随之确定，Kriging 模型便构造完成，可以预测设计 空间中任一点的输出响应． 当其近似精度满足要求便 认为模型有效，即可代替有限元模型进行优化求解． 为评估近似模型的有效性，用实验设计的方法选 取训练样本点之外的 10 组设计参数值，作为 Kriging 模型近似精度评估点． 通过计算该 10 个评估点处有 限 元 计 算 值 和 Kriging 模型预测值间的决定系数 ( COD) 和均方根误差( ＲMSE) 来定量分析近似精度， 当 COD 越接近 1 或 ＲMSE 越接近 0 时表明 Kriging 模 型预测越精确． COD 和 ＲMSE 分别通过式( 14) 和式 ( 15) 计 算，所 选 的 10 个 评 估 点 处 的 响 应 值 如 图 4 所示． COD = 1 － ∑ k i = 1 ( yi － y^ i ) 2 ∑ k i = 1 ( yi － y) 2 ． ( 14) ＲMSE = 1 k y ∑ k i = 1 ( yi － y^ i ) 槡 2 ． ( 15) 式中，k 为评估点数量，y 为评估点有限元模型响应的 均值，yi为评估点有限元模型响应值，y^ i 为 Kriging 模型 在评估点处的预测值． 图 4 各评估点处响应值 Fig． 4 Ｒesponse value of each assessment point 经计算，此 次 修 正 所 用 Kriging 模 型 COD 值 和 ＲMSE 值分别约为 0. 984 和 0. 0216，表明其对有限元 模型具有良好的近似精度，该模型有效． 4. 3 模型修正 本文采用模拟退火法对模型修正的优化问题进行 求解，该算法类似于遗传算法，但比遗传算法的编制简 · 0901 ·