·92· 北京科技大学学报 2001年第1期 算1型以外系统的Nyquist曲线渐近线.依据以 若0>0则必然是w2>0;w>0;… 上判据，我们顺便指出文献[1,3,4]中的1个错 现已知式（⑧）左边系数符号全相同，不妨设 误结论（文字描述或例图）：2型系统Nyquist曲 全为正，即：1>0；-a2>0;a>0;…那么式(8)的 线的起始渐近线为负实轴 左边1一a2w2+aw必大于零（若系数全为负则 2.2起始渐近线计算式 小于零)，所以式（⑧）式左边不可能等于零，即此 在以上的证明中，我们实际上已同时得到 方程不成立.其余证明与此相同 了Nyquist曲线渐近线的计算公式.若以y,表示 以上就证明了实（虚）部方程系数符号全相 1型系统起始渐近线与实轴的交点，则 同时，ω无正实数解，因此曲线与虚（实）轴无交 =Ka=K芝I=K(-T-T…-T.+T,+T…T.)(⑦) 点.证毕. 3 Nyquist曲线与实、虚轴的交点 4 示例 求解曲线Nyquist与实、虚轴交点的方法在 已知开环系统传递函数为： 文献-中均有介绍：分别令Re[Go]=0和m 1.50.3S+1)0.4S+1) [G(w)】=0,求解两方程，若求得ω有正实数解， cS-30.85+0.59+1063+可，试绘制 其Nyquist曲线. 再分别代人虚部和实部，即为交点的值.本文利 解：本例以下求解，(2)，(4)，(5)步与本文有 用已推导出的实、虚频特性计算通式，使判断与 关，(2)是运用前文推出的计算通式将开环系统 求算交点变得更方便与简捷. 3.1实部方程与虚部方程通式 频率特性化为实、虚频特性，(4)，(5)是运用本文 推出的判据及求解公式对渐近线和交点进行判 以下，我们称Re[Gw)]=0为实部方程、 定和求解，尽管囿于篇幅未能与传统的计算方 Im[G(w)]=0为虚部方程. 法相比较，但应该能看出有关计算的简单与方 对式(5)和式(6)，分别令Re[G(w)]=0,Im 便 [G(w)]=0,经整理，会得到以下两则方程： (1)求频率特性一般表达式. 1-a20w2+a4w-=0 (⑧) 1.5(1+i0.3w1+j0.4w) a1-a302+as0-=0 (9) G6o）=Gom1+j0.8m1+j0.5m1+j0.6 式(8)和式(9)两式形式非常简洁，它们是本文推 式中v=1,m=2,p=3,K=1.5,T=0.8,T=0.5, 出的实部方程与虚部方程通式. T3=0.6,T=0.3,T为=0.4 当v为偶数时：式（⑧）和式(9)分别为实部方 (2)求实、虚频特性. 程与虚部方程.当v为奇数时：式(8)和式(9)分别 ,v=1,为奇数 为虚部方程与实部方程. ∴，实、虚频特性应由式(6)求得，将上述值 3.2实、虚轴交点判据 代人计算出a1,a,a,a4,a值，分别为：a1=-1.2, 由式（⑧）和式(9)看，实部方程与虚部方程通 a2=-0.03,a=-0.358,a4=0.0264,a5=-0.0288. 式的形式完全一致，它们都是偶次方程.求解偶 再将计算值代入式(6)，得： 次方程尽管比求解同次一般方程要容易，但 G0m）=15-12m-0.358aw-0.0288o） w(1+0.801+0.5w21+0.6w m+P越大，方程阶次越高，求解依然越困难.更 1.5(1+0.03w2-0.0264w 重要的是：ω的解不都是求交点适用的解.换言 o(1+0.82aw21+0.5w21+0.6w= 之，实、虚部方程的求解可能全部或局部无意 1.5(-1.2-0.358w2-0.0288w) 义.为减少计算的盲目性，本文给出一个实、虚 o1+0.82w1+0.52w2)1+0.6w 1.5(1+0.03w2-0.0264w) 轴交点判据，本判据适用于迅速判断某些系统 jam1+0.8*o1+0.5am1+0.6oj 的Nyquist曲线与实轴或虚轴是无交点的. (3)判断曲线起、止点. 实、虚轴交点判据若实部（虚部）方程的系 起始点：∠GG0)=(-90)=-90° 数符号全相同，则曲线与虚轴（实轴）无交点. 终止点：∠G0∞)=(-90)+(m-p)×90°= 证明不失一般性，讨论v为偶数时的实部 -90°-90°=-180°. 方程式(8).由Nyquist曲线特性知，若曲线与虚 (4)判断起始渐近线.由起始渐近线判据知： 轴有交点，则实部方程式(8)必有正实数解，即： v=1,有起始渐近线.用式(7)求渐近线与实轴 @>0.以下用反证法 交点y.=Ka=1.5×(-1.2)=-1.8.北 京 科 技 算 型 以外 系统 的 曲线渐近线 依据 以 上判据 ， 我们顺便指出文献 ， ， 中的 个错 误结论 文字描述或例 图 型 系统 曲 线 的起始渐近线为 负实轴 起始渐近线计算式 在 以上 的证 明 中 ， 我们实际 上 已 同时得 到 了 曲线渐近线 的计算公式 若 以 表示 型 系统起始渐近 线与实轴 的交点 ， 则 旧 十 叭司翻 丢不一 一 一 一， 十 聆 二 曲线与实 、 虚轴的交点 求解 曲线 吻 与实 、 虚 轴交点 的方法在 文献〔 中均有介绍 分别令 【 心口 」 和 〔 伽 」 ， 求解两方程 ， 若求得。 有 正实数解 ， 再分别代人虚部和实部 ， 即为交点 的值 本文利 用 已推导 出的实 、 虚频特性计算通式 ， 使判断与 求算交点变得更方便与简捷 实部方程与虚部方程通式 以 下 ， 我 们称 〔 伽 卜 为 实 部 方 程 、 【 仃山 」 为虚部方程 对式 和式 ， 分别令 【 伽 」 ， 【 伽 卜 ， 经整 理 ， 会得到 以 下两则 方程 大 学 学 报 年 第 期 若。 则必然 是扩 扩 … 现 已 知式 左边 系数符号全相 同 ， 不妨设 全为正 ， 即 一 几 。 … 那么 式 的 左边 一 仇。 ， 久。 ‘ … 必大于零 若系数全为负则 小于零 ， 所 以 式 式左边不可能等于零 ， 即此 方程 不成立 其余证 明 与此相 同 以 上就证 明 了 实 虚 部方程 系 数符号全相 同时 ， 。 无正 实数解 ， 因此 曲线与虚 实 轴无交 点 证毕 示 例 已 知开环 系统传递 函数为 以习 ， 试绘制 一 毋 山， 一 一 一 伪功 氏山 一 …二 其 曲线 解 本例 以 下求解 ， ， ， 步与本文有 关 ， 是运用 前文推 出的计算通式将开 环系统 频率特性化为实 、 虚频特性 ， ， 是运用 本文 推 出的判据及求解公式对渐近线和交点进行判 定和 求解 ， 尽管 囿于篇 幅未能与传统的计算方 法相 比较 ， 但应该能看 出有关计算 的简单与方 便 求频率特性一般表达式 臼， 。 。 勺。 ， 。 。 、了了 、少、产 心 式 和 式 两式形式非 常 简洁 ， 它们 是 本文推 出 的实部 方程 与虚 部方程 通式 当 为偶数时 式 和 式 分别为实部方 程与虚部方程 当 为奇数时 式 和式 分别 为虚部方程与实部方程 实 、 虚轴交点判据 由式 和式 看 ， 实部方程与虚部方程通 式 的形式完全一致 ， 它们都是偶次方程 求解偶 次方 程 尽 管 比 求解 同次一般 方程 要 容 易 ， 但 越 大 ， 方程 阶次越 高 ， 求解依然越 困难 更 重要 的是 。 的解不都是求交点适用 的解 换言 之 ， 实 、 虚 部方程 的求解可 能全部或 局部无意 义 为减少计算 的盲 目性 ， 本文 给 出一个实 、 虚 轴交点判据 ， 本判据适用 于迅速判 断某些 系统 的 曲线与实轴或虚轴是无交点 的 实 、 虚轴 交 点判 据 若实部 虚部 方程 的系 数符号全相 同 ， 则 曲线与虚轴 实轴 无交点 证 明 不失 一般性 ， 讨论 为偶数时 的实部 方程式 由 曲线特性知 ， 若 曲线与虚 轴有交点 ， 则实部方程式 必有正实数解 ， 即 。 以 下用 反证法 式 中 ， ， ， ， ， ， ， ， 兀 二 ， 兀 求实 、 虚频特性 丫 ， 为奇数 … 实 、 虚频特性应 由式 求得 ， 将上述值 代人计算 出 ，， 几 ， 角 ， 山 ， 值 ， 分别 为 ， 一 ， 仇 一 ， 一 ， ， 口礴 ， 角 一 再将计算值代人式 ，得 。 一、 、 一 丛二 加 一 。 ， 一 。 ， 、 一， 一 一 。 山 。 ， 一 一 。 ， 一 山 ，，， ， 。 ， ，。 ， ’ 一 田 硕石而叭巧瓦蔽污骊万石下 ， 。 ， 判 断 曲线起 、 止点 起始点 艺 勺 一 一 终止点 之 因 卜 一 夕 一 一 一 判断起始渐近线 由起始渐近线判据知 ， 有起始渐近线 用 式 求渐近线与实轴 交点 犬 ，二 一 一