Vol.23 No.1 王泽南：绘制开环系统Nyquist线的研究 ·91· 式中： 须将其化为式(1)形式，才可使用实、虚频特性 计算通式. a1=T(T=-T,-T,…,-T,T,T,…T) a:=2TZ (T.T=-T,-T",-T.TT"Z) 2曲线的起始渐近线 文献[1~5]对开环系统Nyquist曲线形状的 a=宽IZT(①，T,I=-T,-T,,-T,I,I,…T) 分析中，都认为：由于v+p>m的原因，ω=0时曲 ap-7(=-7,-7,77） 线起始于无穷远处，且可能有渐近线.但迄今 对起始渐近线缺少更深人的讨论，缺少判据， 式(4)的最后结果即为实、虚频特性计算通 因此，判断渐近线往往是盲目的，计算可能是多 式.有了式(4)，计算实、虚频特性，就避免了逐 个地、反复地作复数因子的相乘与拆分运算.式 余的. 2.1起始渐近线判据 (4)中的a,a2,a,…,am+p计算是约简的、有序的、 本文在给出实、虚频特性计算通式的基础 便于计算和验算的，它尤其适宜于计算机编程 上，推出一个重要的起始渐近线判据. 进行运算. 起始渐近线判据开环系统的曲线唯有1 13更适用的实、虚频特性计算通式 型系统具有起始渐近线. 式(4)已将实、虚频拆成两部分，但它们会因 证明考察实、虚频特性的计算通式式(4). 为y的奇、偶取值不同而互换位置，这在实际使 开环系统Nyquist曲线若有渐近线，应发生 用中仍不够方便.为更具直观性与适用性，由式 (4)分解出以下2个并行的实、虚频特性计算通 在ω=0处，因此需要考察G(j0)的值. (1)当v=0(0型系统) 式.当v为偶数时： K(1-a202+a4o4-…） G(j@)=Re[G(j@)]+jIm[G(j@)]= G6j0）=ima+70+0-1+7w+ (-jK(1-a2w2+a4o-… 01+7o1+1a）-(1+7m+ K(a10-aù3+asw'-…） j1+7a1+7wy-1+7]=K+j0 i(j)K(ao-a@'+aso.) w(1+To1+Tw)…(1+Tw (5) 计算结果表明：O型系统Nyquist曲线起始 于正实轴的K(KO)点，因而没有渐近线. 当v为奇数时： (2)当v=1(1型系统) G(j@)=Re[Gja)]+jIm[G(jw)]= o品+ 因为1+p>m,有 K(a10-a3+aw3-…） (-j-lK(a1o-a@3+asω3-…） G()-im (( w(1+T0(1+Tw)…(1+Tw (6) K(1-a2ω2+a4ω-…） 式(5)和式(6)中：a,a,a,…,am+p的计算同式(4). jo(1+72m1+72w)-1+70= K(a1-a3@2+asw-…） 式(5)和式(6)与式(4)的不同之处在于，它们 lim+7200+720)-1+7g 的实部与虚部都已清楚地表示出来，式中的 K(1-a2ω2+a@4-…） (-j),(-j),(-j)是用以判别正、负号的. J@(1+T)(1+T).(1+T=Ka-jc 计算结果表明：1型系统Nyquist曲线有渐近 1,4两点说明 线.渐近线为平行负虚轴的直线，在第3或第4 (1)式(4)(6)中，分子括号内的末项均未表 象限. 出，由式(4)的第2和第3步看，实、虚两部分的 (3)当v>1(2型以上系统) 末项应分别是am+p-+p-l和am+pP中的一项， .v+p>m 由于m+p奇、偶不确定，简单的通式便不能确定 (-jK(1-a2w2+a4w-… 地表示它们.我们认为再讨论m+P的奇偶、派生 G)=lim [)(1+T) 降→0 更多的通式是没有必要的，因为无论(4)式还是 ；（-j广'Ka0-aw3+aw3-…) 式(5)和式(6)表达都十分简洁，而且在实际运算 a0+01+70-+7 (-j)'co+(-j+o 中也不会出错：只要按式中已明示的“两次方递 计算结果表明：2型以上系统的Nyquist曲线均 增、正负号间隔”原则逐项计算，末项便会自然 无渐近线.证毕. 生成. 有了以上判据，我们便不再会去盲目地计 (2)当开环系统传递函数为式(2)形式时，必王 泽南 绘制开环 系统 线的研究 · ， 式 中 ，一 窗界 不一 ，一 ，… ，一 ， ，兀 ，兀 ，… 几 须将其化为式 形式 ， 才可使用 实 、 虚频特性 计算通式 二 艺 不不 界 ，不 一 ，一 及 ，… ，一 ， ，兀 ，… 一窗界不界 几几双一 ，一 爪 ，… ，一 ， ，兀 ，几 ，… 兀 心 晓户秃 二 ， 一 育不 不一 ，一 ，… ，一 ，界 ，兀 ，… 兀 式 的最后结果 即 为实 、 虚频特性计算通 式 有 了式 ， 计算实 、 虚频特性 ， 就避免 了 逐 个地 、 反复地作复数 因子 的相乘与拆分运算 式 中的 ，， 伪 ， ， ， … ， 氏 计算是约 简 的 、 有序 的 、 便 于计算和验算 的 ， 它尤其适宜于计算机编程 进行运算 更适用 的实 、 虚频特性计算通式 式 已将实 、 虚频拆成两部分 ， 但它们会 因 为 的奇 、 偶取值不 同而互换位置 ， 这在实 际使 用 中仍不够方便 为更具直观性与适用性 ， 由式 分解 出 以 下 个并行 的实 、 虚频特性计算通 式 当 为偶数时 勺。 「 。 勺。 」 曲线的起始渐近线 文献 【 一 对开环 系统 吻 曲线形状 的 分析 中 ， 都认为 由于 的原 因 ， 。 时 曲 线起始于无穷远处 ， 且可 能有渐近 线 但迄今 对起始渐近线缺少更深人 的讨论 ， 缺少判据 ， 因此 ， 判 断渐近线往往是盲 目的 ， 计算可能是多 余 的 起始渐近线判据 本文在 给 出实 、 虚频特性计算通式 的基础 上 ， 推 出一个重要 的起始渐近 线判据 起 始 渐 近线 判 据 开环 系统 的 曲线唯 有 型 系统具有起始渐近线 证 明 考察实 、 虚频特性 的计算通式式 开环 系统 曲线若有渐近线 ， 应发生 在 。 处 ， 因此需要考察 的值 当 型 系统 。 ， 八、 一 ，一 。 一 。 ， 久。 ‘ ‘ 气 一 防二 片下益厂 万斌不犷气 石布一苏犷 一 一下一丁万布，，式 下 ‘ ’ 。 一。 一 以 十 石田 一八 十 云毋 一 ” ’ 以 十 兄田 一 一 一 伪，， 面奋 此。 ， 双。 ， 山 … 了 一双。 ， 流骤箭恶搬瑞粼 ， 一 。 ， 山， 一 二 土 万获 于了二万了不工下两二万不 一 几 丁 、 丈 “ 产 户、 ’ 丈 为 刀 一 、 ’ 升 忆。 计算结果表 明 型 系统 咖 曲线起始 当 为 奇数 时 勺。 【 。 」 【 勺， 藉兴豁摆汾佘炭汤 十 若群赘箫吴豁号兴韶 ， 于 正实轴 的 双脸 点 ， 因而没有渐近 线 当 型 系统 因 为 ， 有 。 ， 。 、 一 ， 一 。 。 一 功， ，山， 少一 。 丁万万二了不 二云了「二下而二二汉二而一工万硕二 、 一 一 。 户气 丁 诬 山 八 上 石 山 ’ 气 ’ 上 ‘ 山 户 式 和 式 中 ，， ， 伪 ， … ， 偏 ， 的计 算 同式 式 和式 与式 的不 同之处在于 ， 它们 的 实部 与 虚 部都 已 清 楚地 表 示 出来 ， 式 中的 卜 ， 一 ’ 一 ， ， 一 是用 以 判别正 、 负号 的 两点说明 式 卜 中 ， 分子括号 内的末项均未 表 出 ， 由式 的第 和第 步看 ， 实 、 虚 两部分 的 末项应分别是 十， 一 ，， ’ ， 一 ’和 ， 。 。 十， 中的一项 ， 由于 奇 、 偶不确定 ， 简单的通式便不能确定 地表示它们 我们认为再讨论 的奇偶 、 派生 更多 的通式是没有 必要 的 ， 因为无论 式还 是 式 和 式 表达都十分简洁 ， 而且在实际运算 中也不会 出错 只要按式 中已 明示 的 “ 两次方递 增 、 正负号 间 隔 ” 原则逐项计算 ， 末项便会 自然 生成 当开环 系统传递 函数为式 形式时 ， 必 一止丝些卫塑 些鲤吐二匕一 。 此。 兀。 … 及， ， 一 ， 。 ， 。 ‘ 七劣 窍。 照。 … 一双。 ， 一 伪。 ， 仇山 一 … 二 丁 气祥六元爷卜蔽箫二万廿夜不 一。 “ 。 对。 双。 ， … 双。 ， 一 ‘ 、 “ ， “ 一 计算结果表 明 型 系统 曲线有 渐近 线 渐近线 为平行负虚轴 的直线 ， 在第 或第 象 限 当 型 以 上 系统 ’ ’ ’ 助，一 兽 【潇聋珊斋淤台赫 窍。 暇 鱼 … 里上二三 尺田 的 计算结果表 明 型 以 上 系统 的 曲线均 无渐近 线 证毕 有 了 以 上 判据 ， 我们便不再会去盲 目地计