完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P11例812(1),《数学四临考演习》P16 第17题,《考研数学大串讲》P9例2. (17)(本题满分8分) 设f(a,v)具有连续偏导数,且满足f2(t,v)+fr(4,v)=av 求y(x)=e2f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解 【分析】先求y,利用已知关系f2(u,v)+f(l,y)=,可得到关于y的一阶微分方程 【详解】y=-2e-2xf(x,x)+e2f(x,x)+e2f(x,x)=-2y+x2e-2x 因此,所求的一阶微分方程为y+2y=x2e2x 解得y=c2x2e2d2+C)=(2x2+C2C为任意常数 【评注】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程,但是,求偏导数与解微分方程都是 基本题型 完全类似的例题见《数学复习指南》P243例1111《数学题型集粹与练习题集》P95例713、 例714,《数学四临考演习》P3第16题,《考研数学大串讲》P76例14 (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量 (D)求需求量对价格的弹性E4(E4>0) (I)推导=Q(1-Ea)(其中R为收益),并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dp 降低价格反而使收益增加 【分析】由于E>0,所以二如由Q=PQ及EB=如可推导 dR Q(-Ed 【详解】()E=PP 0 dP 20-P (I)由R=PQ,得 R P 0+ Q(1+ Qdl-ed 又由Bd-20 1,得P=10 P 当10<P<20时,E>1,于是一<0, 故当10<P<20时,降低价格反而使收益增加8 完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101 例 8.12(1)，《数学四临考演习》P16 第 17 题，《考研数学大串讲》P79 例 2. (17) (本题满分 8 分) 设 f (u , v)具有连续偏导数，且满足 f u v f u v uv u ( , ) + v ( , ) = . 求 ( ) ( , ) 2 y x e f x x − x = 所满足的一阶微分方程，并求其通解. 【分析】先求 y  ，利用已知关系 f u v f u v uv u ( , ) + v ( , ) = ，可得到关于 y 的一阶微分方程. 【详解】 x v x u x x y e f x x e f x x e f x x y x e 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 − − − −  = − +  +  = − + ， 因此，所求的一阶微分方程为 x y y x e 2 2 2 −  + = . 解得 dx x dx x y e x e e dx C x C e 2 2 2 2 3 2 ) 3 1 ( ) ( − − − + = +   =  (C 为任意常数). 【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型. 完全类似的例题见《数学复习指南》P243 例 11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95 例 7.13、 例 7.14，《数学四临考演习》P3 第 16 题，《考研数学大串讲》P76 例 14. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P  (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导 (1 ) Q Ed dP dR = − (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. 【分析】由于 Ed > 0，所以 dP dQ Q P Ed = ；由 Q = PQ 及 dP dQ Q P Ed = 可推导 (1 ) Q Ed dP dR = − . 【详解】(I) P P dP dQ Q P Ed − = = 20 . (II) 由 R = PQ，得 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − . 又由 1 20 = − = P P Ed ，得 P = 10. 当 10 < P < 20 时， Ed > 1，于是  0 dP dR ， 故当 10 < P < 20 时，降低价格反而使收益增加