第3期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·367. 理论全局最优解。 表2方平均运行时间对比 410 Table 2 Comparison of average running timef3 BA DEBA 维数 DEBA BA 巡3 10 0.9555 0.3276 30 1.0109 0.3526 50 1.1069 0.3853 ×10 3 4 5 迭代次数 3 DEBA算法求解数值积分算法 (a)函数的收敛对比曲线 通过上述实验仿真表明，改进的蝙蝠算法DE 200 BA具有收敛精度高、收敛速度快等特性。针对目前 BA @150 DEBA 数值积分方法存在的缺陷，利用DEBA算法求数值 100 积分，其基本思想是：在积分区间[a,b]随机生成 50 NP个节点位置，然后通过本文算法优化这些点的位 置，最终获得精度较高的积分值，实现步骤为 ×10 法代次数 10 1)在积分区间随机生成NP个D维个体的种 群，并确定种群中的每个个体的表达式，个体的表示 (b)函数的收敛对比曲线 形式为(X,V)=（(x1,x2,…,xp),(1,2,…,D)。 5*10 2)计算适应度。对积分区间内的每个个体的 BA D维分量进行升序排列，接着分别计算D+2个节点 --DEBA 相邻之间的距离dj=1,2,…,D+1,然后计算D+ 1个小段中间节点和D+2个节点的函数值，并比较 ◇ 每小段中间节点、左端点和右端点的函数值，记下最 大的函数值为Max,最小的函数值为MinJ=1,2, 50 100 150 200 迭代次数 ,D+1,每个个体的适应度定义为：i)= D+1 (c)∫函数的收敛对比曲线 0.5∑d,1Max-Mim,l,设定一个很接近0的值s -0.5 作为程序的终止条件，当最小适应度小于ε时程序 -0.6 BA -0.7 DEBA 运行终止，适应度越接近于0，表明该个体越优良。 0.8 3)对算法的终止条件进行判断，假如终止条件 -0.9 不成立，则算法往下继续执行，如终止条件满足，算 .0 *10 法停止运行，并输出种群的最优个体，同时求出函数 迭代次数 的积分值。 (d)f函数的收敛对比曲线 4)更新蝙蝠种群。 图1DEBA与BA的收敛曲线对比 5)重复运行4)，直到终止条件满足为止，输出 Fig.1 Comparison of convergence curves of DEBA and BA 种群的最优个体，并把它作为结果。 2.2算法复杂度的分析 6)算法停止执行时，算法最终所求出的函数积 一个好的智能优化算法，时间复杂度应该比较 分值近似于 低。由于篇幅限制，这里只选用了测试函数对本 文算法的时间复杂度进行测试分析，取相同的种群 4 (6) j=1 数(40)、独立运行次数(20次)，计算所需要的平均 式中，(d1,d2,…,do)是积分区间的D+1个小段 运行时间，仿真结果如表2所示。从表2的平均运 对应的距离，(m1,m2,…,mo+1)为积分区间的D+1 行时间来看，虽然DEBA算法多了利用差分进化策 个小段对应的中间点所对应的函数值。 略进行变异操作，但在不同维数情况下DEBA算法 的平均运行时间比BA算法的平均运行时间略长一 4数值积分仿真实验与分析 些，说明本文算法是可行和有效的。 为验证DEBA算法求解数值积分问题的有效性理论全局最优解。 （ａ） ｆ １ 函数的收敛对比曲线 （ｂ） ｆ ２ 函数的收敛对比曲线 （ｃ） ｆ ３ 函数的收敛对比曲线 （ｄ） ｆ ４ 函数的收敛对比曲线 图 １ ＤＥＢＡ 与 ＢＡ 的收敛曲线对比 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ＤＥＢＡ ａｎｄ ＢＡ ２．２ 算法复杂度的分析 一个好的智能优化算法，时间复杂度应该比较 低。 由于篇幅限制，这里只选用了测试函数 ｆ ３ 对本 文算法的时间复杂度进行测试分析，取相同的种群 数（４０）、独立运行次数（２０ 次），计算所需要的平均 运行时间，仿真结果如表 ２ 所示。 从表 ２ 的平均运 行时间来看，虽然 ＤＥＢＡ 算法多了利用差分进化策 略进行变异操作，但在不同维数情况下 ＤＥＢＡ 算法 的平均运行时间比 ＢＡ 算法的平均运行时间略长一 些，说明本文算法是可行和有效的。 表 ２ ｆ ３ 平均运行时间对比 Ｔａｂｌｅ ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ａｖｅｒａｇｅ ｒｕｎｎｉｎｇ ｔｉｍｅ ｆ ３ 维数 ＤＥＢＡ ＢＡ １０ ０．９５５５ ０．３２７６ ３０ １．０１０９ ０．３５２６ ５０ １．１０６９ ０．３８５３ ３ ＤＥＢＡ 算法求解数值积分算法 通过上述实验仿真表明，改进的蝙蝠算法 ＤＥ⁃ ＢＡ 具有收敛精度高、收敛速度快等特性。 针对目前 数值积分方法存在的缺陷，利用 ＤＥＢＡ 算法求数值 积分，其基本思想是：在积分区间［ ａ，ｂ ］ 随机生成 ＮＰ 个节点位置，然后通过本文算法优化这些点的位 置，最终获得精度较高的积分值，实现步骤为 １） 在积分区间随机生成 ＮＰ 个 Ｄ 维个体的种 群，并确定种群中的每个个体的表达式，个体的表示 形式为 （Ｘ，Ｖ） ＝ （（ｘ１ ，ｘ２ ，…，ｘＤ），（ｖ１ ，ｖ２ ，…，ｖＤ）） 。 ２） 计算适应度。 对积分区间内的每个个体的 Ｄ 维分量进行升序排列，接着分别计算 Ｄ ＋ ２ 个节点 相邻之间的距离 ｄｊ，ｊ ＝ １，２，…，Ｄ ＋ １，然后计算 Ｄ ＋ １ 个小段中间节点和 Ｄ ＋ ２ 个节点的函数值，并比较 每小段中间节点、左端点和右端点的函数值，记下最 大的函数值为 Ｍａｘｊ ，最小的函数值为 Ｍｉｎｊ，ｊ ＝ １，２， …，Ｄ ＋ １， 每 个 个 体 的 适 应 度 定 义 为： ｆ（ｉ） ＝ ０．５∑ Ｄ＋１ ｊ ＝ １ ｄｊ ｜ Ｍａｘｊ － Ｍｉｎｊ ｜ ，设定一个很接近 ０ 的值 ε 作为程序的终止条件，当最小适应度小于 ε 时程序 运行终止，适应度越接近于 ０，表明该个体越优良。 ３） 对算法的终止条件进行判断，假如终止条件 不成立，则算法往下继续执行，如终止条件满足，算 法停止运行，并输出种群的最优个体，同时求出函数 的积分值。 ４） 更新蝙蝠种群。 ５） 重复运行 ４），直到终止条件满足为止，输出 种群的最优个体，并把它作为结果。 ６） 算法停止执行时，算法最终所求出的函数积 分值近似于 ∑ Ｄ＋１ ｊ ＝ １ ｍｊｄｊ （６） 式中， （ｄ１ ，ｄ２ ，…，ｄＤ＋１ ） 是积分区间的 Ｄ ＋ １ 个小段 对应的距离， （ｍ１ ，ｍ２ ，…，ｍＤ＋１ ） 为积分区间的 Ｄ ＋１ 个小段对应的中间点所对应的函数值。 ４ 数值积分仿真实验与分析 为验证 ＤＥＢＡ 算法求解数值积分问题的有效性 第 ３ 期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·３６７·