·368- 智能系统学报 第9卷 和正确性，选取了文献[1-7]中给出的一些算例，并 x、√个+元、1/1+x、sin(x)、e在[0,2]积分区 与传统的梯形法、Simpson方法、Composite Simpson 间的积分值，DEBA算法计算结果和文献[4-7]、文 方法、Romberg方法及一些智能算法（粒子群算法， 献[18]、文献[19]、文献[20]结果对比如表3。函 杂草算法、人工鱼群算法)数值积分方法进行比较。 数x和函数√1+x积分误差变化曲线如图2~3。 例1取N=15,D=60,分别计算6个函数：x2、 表39种算法对例1的函数积分值比较 Table 3 Integral values comparison of the example 1 with 9 algorithms 函数 2 x vI+x 1/1+x sin(x) e 精确值 2.667 6.400 2.958 1.099 1.416 6.389 本文算法 2.66698573 6.401201 2.9581690 1.098754 1.416082 6.388921 IWO 2.66633 6.39865 2.95781 1.09859 1.41632 6.38873 PSO 2.666 6.398 2.9587 1.0985 1.416 6.3887 AFS 2.666593 6.399501 2.957868 1.098598 1.416173 6.388949 FN 2.667 6.3995 2.95789 1.0986 1.416 6.389 ES 2.666 6.398 2.9577 1.098 1.416 6.388 NN 2.665 6.393 2.959 1.101 1.415 6.388 Simpson 2.667 6.667 2.964 1.111 1.425 6.421 梯形法 4.000 16.000 3.326 1.333 0.909 8.389 0.7 0.6 5*10 0.5 0.4 0.3 账3 0.2 0.1F 20 4060 80 100 迭代次数 0 20 4060 80100 迭代次数 图2函数x的积分误差变化曲线 图4例2的积分误差变化曲线 Fig.2 The integral error change curve of functionx Fig.4 The integral error change curve of example 2 ×10 10 表47种算法对例2的函数积分值比较 8 6 Table 4 Integral values comparison of the example 2 with 7 algorithms 2 算法 函数积分值 20 40 60 80100 本文算法 1.5460388345767 迭代次数 Est4) 1.5459805 图3函数√个+x的积分误差变化曲线 PSOIs] 1.546032 Fig.3 The integral error change curve of function 1+x AFSIo] 1.54603261 例2计算奇异函数积分： Iwo7 1.545994 e,0≤x<1 NN[19] 1.5467 fx)= n,1≤x<2 e FNI2o] 1.54604 en,2≤x≤3 该奇异函数的精确积分值是1.546036。本文取 例3求解函数积分 N=15,D=60,获得该函数的积分值与文献[47]、文 由于被积函数的原函数不是初等函数，因此不能 献[19]、文献[20]的计算结果对比如表4所示。DEBA 用牛顿一莱布尼茨公式进行计算)。例3的函数的 算法求解该函数的积分误差变化曲线如图4。 精确积分值是0.746824。本文取N=15,D=200,和正确性， 选取了文献［１⁃７］中给出的一些算例， 并 与传统的梯形法、Ｓｉｍｐｓｏｎ 方法、Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｓｉｍｐｓｏｎ 方法、Ｒｏｍｂｅｒｇ 方法及一些智能算法（粒子群算法， 杂草算法、人工鱼群算法）数值积分方法进行比较。 例 １ 取 Ｎ ＝ １５，Ｄ ＝ ６０，分别计算 ６ 个函数： ｘ ２ 、 ｘ ４ 、 １ ＋ ｘ ２ 、 １ ／ １ ＋ ｘ 、 ｓｉｎ（ｘ） 、 ｅ ｘ 在［ ０，２］ 积分区 间的积分值，ＤＥＢＡ 算法计算结果和文献［４⁃７］、文 献［１８］、文献［１９］、文献［２０］ 结果对比如表 ３。 函 数 ｘ ４ 和函数 １ ＋ ｘ ２ 积分误差变化曲线如图 ２～３。 表 ３ ９ 种算法对例 １ 的函数积分值比较 Ｔａｂｌｅ ３ Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ １ ｗｉｔｈ ９ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ 函数 ｘ ２ ｘ ４ １ ＋ ｘ ２ １ ／ １ ＋ ｘ ｓｉｎ（ｘ） ｅ ｘ 精确值 ２．６６７ ６．４００ ２．９５８ １．０９９ １．４１６ ６．３８９ 本文算法 ２．６６６ ９８５ ７３ ６．４０１ ２０１ ２．９５８ １６９ ０ １．０９８ ７５４ １．４１６ ０８２ ６．３８８ ９２１ ＩＷＯ ２．６６６ ３３ ６．３９８ ６５ ２．９５７ ８１ １．０９８ ５９ １．４１６ ３２ ６．３８８ ７３ ＰＳＯ ２．６６６ ６．３９８ ２．９５８ ７ １．０９８ ５ １．４１６ ６．３８８ ７ ＡＦＳ ２．６６６ ５９３ ６．３９９ ５０１ ２．９５７ ８６８ １．０９８ ５９８ １．４１６ １７３ ６．３８８ ９４９ ＦＮ ２．６６７ ６．３９９ ５ ２．９５７ ８９ １．０９８ ６ １．４１６ ６．３８９ ＥＳ ２．６６６ ６．３９８ ２．９５７ ７ １．０９８ １．４１６ ６．３８８ ＮＮ ２．６６５ ６．３９３ ２．９５９ １．１０１ １．４１５ ６．３８８ Ｓｉｍｐｓｏｎ ２．６６７ ６．６６７ ２．９６４ １．１１１ １．４２５ ６．４２１ 梯形法 ４．０００ １６．０００ ３．３２６ １．３３３ ０．９０９ ８．３８９ 图 ２ 函数 ｘ ４ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｘ ４ 图 ３ 函数 １ ＋ ｘ ２ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ １ ＋ ｘ ２ 例 ２ 计算奇异函数积分： ｆ（ｘ） ＝ ｅ －ｘ ，０ ≤ ｘ ＜ １ ｅ －ｘ ／ ２ ，１ ≤ ｘ ＜ ２ ｅ －ｘ ／ ３ ，２ ≤ ｘ ≤ ３ ì î í ï ï ïï 该奇异函数的精确积分值是 １．５４６ ０３６。 本文取 Ｎ ＝ １５，Ｄ ＝ ６０，获得该函数的积分值与文献［４⁃７］、文 献［１９］、文献［２０］的计算结果对比如表 ４ 所示。 ＤＥＢＡ 算法求解该函数的积分误差变化曲线如图 ４。 图 ４ 例 ２ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．４ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅ ２ 表 ４ ７ 种算法对例 ２ 的函数积分值比较 Ｔａｂｌｅ ４ Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ２ ｗｉｔｈ ７ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ 算法 函数积分值 本文算法 １．５４６ ０３８ ８３４ ５７６ ７ ＥＳ ［４］ １．５４５ ９８０ ５ ＰＳＯ ［５］ １．５４６ ０３２ ＡＦＳ ［６］ １．５４６ ０３２ ６１ ＩＷＯ ［７］ １．５４５ ９９４ ＮＮ ［１９］ １．５４６ ７ ＦＮ ［２０］ １．５４６ ０４ 例 ３ 求解函数积分 ∫ １ ０ ｅ －ｘ ２ ｄｘ 由于被积函数的原函数不是初等函数，因此不能 用牛顿—莱布尼茨公式进行计算［５］ 。 例 ３ 的函数的 精确积分值是 ０．７４６ ８２４。 本文取 Ｎ ＝ １５，Ｄ ＝ ２００， ·３６８· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷