第3期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·369 获得该函数的积分值与文献[4-7]、文献[19]、文献 [20]的计算结果对比如表5所示。DEBA算法求解 该函数的积分误差变化曲线如图5所示。 6 ×10 0 20 4060 80 100 迭代次数 图6例4的积分误差变化曲线 0 20 4060 80100 Fig.6 The integral error change curve of example 4 迭代次数 图5例3的积分误差变化曲线 例5计算振荡函数积分 sin(20x)dx Fig.5 The integral error change curve of example 3 该函数的精确积分值为0.05，本文取N=15, 表58种算法对例3的函数积分值比较 Table 5 Integral values comparison of the example 3 with 8 al- D=120,计算的结果为0.0499928607447172。在 gorithms 用复化梯形公式计算此积分2]时，为了使此函数的 算法 函数积分值 积分误差不超过10-3，则至少应该取503个点，求解 本文算法 中的计算工作量非常大，运用神经网络计算的结果 0.7468269544604 为0.04992，利用粒子群计算的结果为 PSO 0.746866 0.050038,采用杂草算法获得的结果为 IWO 0.746834 0.050025239093085)。DEBA算法求解该函数 AFS 0.746827304 的积分误差变化曲线如图7所示。 ES 0.74683 1.0m 矩形法 0.77782 0.8 阳 梯形法 0.74621 0.6 0.4 Simpson 0.74683 0.2 例4计算积分 √1+(cosx)2d 20 4060 80100 送代次数 该积分函数在利用Romberg方法进行计算时遇到 了困难s】。用Composite Simpson rule法计算时，把积 图7例5的积分误差变化曲线 分区间划分为100个等距子区间，计算结果为 Fig.7 The integral error change curve of example 5 58.4708215[18]。例4的函数的精确积分值是 例6计算振荡函数积分xsinxsin(100x)dx 58.4704691。运用DEBA算法，取N=15,D=100,得 该函数积分值与文献[4-7]、[19]、[20]的结果对比如 该振荡函数积分的精确值为-0.0073279，利用 表6。DEBA法求解该函数积分误差变化曲线如图6。 粒子群进行计算得到的结果为-0.0073409)，采用 表68种算法对例4的函数积分值比较 人工鱼群算法计算得到的结果为 Table 6 Integral values comparison of the example 4 with 8 -0.00733208492792[6),运用杂草算法计算得到 algorithms 的结果为-0.00736273，本文取N=15,D=360, 算法 函数积分值 计算得到的结果为-0.00733541185521367。DE 本文算法 58.470505372351 BA算法求解该函数的积分误差变化曲线图如图8。 PSO 58.47024 0.4 IWO 58.470492 AFS 58.47044483 ≤0.1 ES 58.47065 20 40 60 80 100 FN 58.4705 迭代次数 梯形法 58.5209 图8例6的积分误差变化曲线 Simpson 58.4708215 Fig.8 The integral error change curve of example 6获得该函数的积分值与文献［４⁃７］、文献［１９］、文献 ［２０］的计算结果对比如表 ５ 所示。 ＤＥＢＡ 算法求解 该函数的积分误差变化曲线如图 ５ 所示。 图 ５ 例 ３ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．５ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅ ３ 表 ５ ８ 种算法对例 ３ 的函数积分值比较 Ｔａｂｌｅ ５ Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ３ ｗｉｔｈ ８ ａｌ⁃ ｇｏｒｉｔｈｍｓ 算法 函数积分值 本文算法 ０．７４６ ８２６ ９５４ ４６０ ４ ＰＳＯ ０．７４６ ８６６ ＩＷＯ ０．７４６ ８３４ ＡＦＳ ０．７４６８ ２７３ ０４ ＥＳ ０．７４６ ８３ 矩形法 ０．７７７ ８２ 梯形法 ０．７４６ ２１ Ｓｉｍｐｓｏｎ ０．７４６ ８３ 例 ４ 计算积分 ∫ ４８ ０ １ ＋ （ｃｏｓ ｘ） ２ ｄｘ 该积分函数在利用 Ｒｏｍｂｅｒｇ 方法进行计算时遇到 了困难［１８］ 。 用 Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｓｉｍｐｓｏｎ ｒｕｌｅ 法计算时，把积 分区 间 划 分 为 １００ 个 等 距 子 区 间， 计 算 结 果 为 ５８．４７０ ８２１ ５ ［１８］ 。 例 ４ 的 函 数 的 精 确 积 分 值 是 ５８．４７０ ４６９ １。 运用 ＤＥＢＡ 算法，取 Ｎ ＝ １５，Ｄ ＝ １００，得 该函数积分值与文献［４⁃７］、［１９］、［２０］的结果对比如 表 ６。 ＤＥＢＡ 法求解该函数积分误差变化曲线如图 ６。 表 ６ ８ 种算法对例 ４ 的函数积分值比较 Ｔａｂｌｅ ６ Ｉｎｔｅｇｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ４ ｗｉｔｈ ８ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ 算法 函数积分值 本文算法 ５８．４７０ ５０５ ３７２ ３５１ ＰＳＯ ５８．４７０ ２４ ＩＷＯ ５８．４７０ ４９２ ＡＦＳ ５８．４７０ ４４４ ８３ ＥＳ ５８．４７０ ６５ ＦＮ ５８．４７０ ５ 梯形法 ５８．５２０ ９ Ｓｉｍｐｓｏｎ ５８．４７０ ８２１ ５ 图 ６ 例 ４ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．６ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅ ４ 例 ５ 计算振荡函数积分 ∫ ５π ８ ０ ｓｉｎ（２０ｘ）ｄｘ 该函数的精确积分值为 ０．０５，本文取 Ｎ ＝ １５， Ｄ ＝１２０，计算的结果为 ０．０４９ ９９２ ８６０ ７４４ ７１７ ２。 在 用复化梯形公式计算此积分［２１］ 时，为了使此函数的 积分误差不超过 １０ －３ ，则至少应该取 ５０３ 个点，求解 中的计算工作量非常大，运用神经网络计算的结果 为 ０． ０４９ ９２ ［２２］ ， 利 用 粒 子 群 计 算 的 结 果 为 ０．０５０ ０３８ ［５］ ， 采 用 杂 草 算 法 获 得 的 结 果 为 ０．０５０ ０２５ ２３９ ０９３ ０８５ ［７］ 。 ＤＥＢＡ 算法求解该函数 的积分误差变化曲线如图 ７ 所示。 图 ７ 例 ５ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．７ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅ ５ 例 ６ 计算振荡函数积分 ∫ １ ０ ｘｓｉｎｘｓｉｎ（１００ｘ）ｄｘ 该振荡函数积分的精确值为－０．００７ ３２７ ９，利用 粒子群进行计算得到的结果为－０．００７ ３４０ ９ ［５］ ，采用 人 工 鱼 群 算 法 计 算 得 到 的 结 果 为 －０．００７ ３３２ ０８４ ９２７ ９２ ［６］ ，运用杂草算法计算得到 的结果为－０．００７ ３６２ ７３ ［７］ ，本文取 Ｎ ＝ １５，Ｄ ＝ ３６０， 计算得到的结果为－０．００７ ３３５ ４１１ ８５５ ２１３ ６７。 ＤＥ⁃ ＢＡ 算法求解该函数的积分误差变化曲线图如图 ８。 图 ８ 例 ６ 的积分误差变化曲线 Ｆｉｇ．８ Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｒｒｏｒ ｃｈａｎｇｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅ ６ 第 ３ 期 肖辉辉，等：改进的蝙蝠算法在数值积分中的应用研究 ·３６９·