·370 智能系统学报 第9卷 通过上述6个不同数值积分算例对本文DEBA 191-195 算法的正确性和有效性进行的测试结果分析得到： [2]刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义[M].北京：高等教育出版 从表3可以得知，对算例1中的6个普通函数进行 社，1992：309.342 [3]华东师范大学数学系数学分析[M].北京：高等教育出版 数值积分，DEBA算法相比目前的数值积分方法所 社，2001：106-109. 求的积分值精度都要高，且优势明显：从表4可以得 「4]周永权，张明，赵城.基于进化策略方法求任意函数的数 知，对算例2的奇异函数积分，DEBA算法相比神经 值积分[J].计算机学报，2008,31(2)：196-205. 网络算法(NN)精度高2个数量级，比杂草算法 ZHOU Yongquan,ZHANG Ming,ZHAO Bin.Solving nu- (IWO)和进化策略(ES)精度高1个数量级，比粒子 merical integration based on evolution strategy method[J]. 群算法(PSO)、人工鱼群算法(AS)、三角函数作为 Chinese Journal of Computers,2008.31(2):196-205. [5]韦杏琼基于粒子群算法的数值方法研究[D].南宁：广西 泛函神经元(FN)3种方法的精度都要略高一些；从 民族大学，2009：11-15. 表5可以得知，对算例3的积分，DEBA算法分别比 WEI Xinggiong.Research on numerical methods based on 矩形法、梯形法精度高4个数量级和2个数量级，比 PSO[D].Nanning:Guangxi Uiversity for Nationalities, 粒子群算法和杂草算法精度高1个数量级，比进化 2009:11-15. 「61聂黎明，周永权基于人工鱼群算法求任意函数的数值积 策略、人工鱼群算法和Simpson法的精度都要略高 分[J].数学的实践与认识，2009,39(19)：127-134. 一些：从表6可以得知，对算例4的积分，DEBA算 NIE Liming,ZHOU Yongquan.Solving numerical integration 法相比梯形法精度高3个数量级，比进化策略、粒子 based on artificial fish-swarm algorithm.Mathematics in 群算法和Simpson法精度高1个数量级，跟杂草算 Practice and Theory,2009,39(19):127-134. 法、人工鱼群算法、FN法3种方法相比，积分精度相 [7]陈欢杂草优化算法的改进分析及应用研究[D].南宁：广 当，积分误差的数量级都是10；对于算例5的振荡 西民族大学，2013：34-39. 函数积分，DEBA算法相比神经网络算法、粒子群算 CHEN Huan.Improvements and applications of invasive weed optimization algorithm[D].Nanning:Guangxi Univer- 法和杂草算法精度都要高1个数量级：对于算例6 sity for Nationalities,2013:34-39. 的振荡函数积分，DEBA算法比粒子群算法、杂草算 [8]YANG Xinshe.A new metaheuristic bat-inspired algorithm 法的精度都要高1个数量级，跟人工鱼群算法相比， [C]//Nature Inspired Cooperative Strategies for Optimiza- 积分精度相当，积分误差的数量级都是10。从图 tion.Berlin:Springer-Verlag,2010:65-74. 2~8可以看出，DEBA算法收敛性较好，经过较少的 [9]盛晓华，叶春明.蝙蝠算法在PFSP调度问题中的应用研 究「J].工业工程，2013,16(1)：119-124 迭代次数就能获得精度较高的积分值。从以上数值 SHENG Xiaohua,YE Chunming.Application of bat algorithm 积分实验仿真结果表明，DEBA算法是非常有效的。 to permutation flow-shop scheduling problemJ.Industrial Engineering Journal,2013,16(1):119-124. 5结束语 [10]KOMARASAMY G,WAHI A.An optimized k-means clus- 本文提出了基于改进的蝙蝠算法求函数数值积 tering technique using bat algorithm[J].European Journal 分的新方法DEBA算法，对6个不同数值积分算例 of Scientific Research,2012,84(2):263-273. [11]YANG X S,GANDOMI A H.Bat algorithm:a novel ap- 进行测试，仿真结果表明，该算法收敛性、计算精度 proach for global engineering optimization [J].Engineering 相比目前的数值积分方法优势比较明显，验证了 0 mputation,2012,29(5):464-483. DEBA算法的有效性和可行性，不仅可以对普通函 [12]YANG X S.Bat algorithm for multi-objective optimization 数进行积分，还可以计算振荡积分、奇异积分和被积 J.International Joumal of Bio-Inspired Computation, 2011,3(5):267-274. 函数的原函数不是初等函数积分，此方法可看作对 [13]刘长平，叶春明.具有Lvy飞行特征的蝙蝠算法[J].智 目前数值积分方法的一种深入扩展。同时，也可以 能系统学报，2013,8(3)：240-246. 看作蝙蝠算法应用领域的一种补充。如何利用其他 LIU Changping,YE Chunming.Bat algorithm with the char- 智能算法的优点来改进基本的BA算法，如与花朵 acteristics of Levy flights[J].CAAI Transaction on Intelli- 授粉算法进行融合：如何扩展BA算法的应用领域， gent System,2013,8(3):240-246. 利用BA算法解决离散性问题：对蝙蝠算法的理论 [14]STORM R,PRICE K.Differential evolution dash a simple and efficient heuristic for global optimization over continu- 研究（如利用Markov链证明蝙蝠算法的收敛性）等 ous spaces[J].Journal of Global Optimization,1997(11): 问题是今后进一步研究的内容和方向。 341-359. 参考文献： [15]HAUPT R L,HAUPT S E.Practical genetic algorithm [M].New Jersey:John Wiley Sons,2004:1-25. [1]薛密数值数学和计算[M].上海：复旦大学出版社，1991： [16]李明，曹德欣.混合CS算法的DE算法[J].计算机工程通过上述 ６ 个不同数值积分算例对本文 ＤＥＢＡ 算法的正确性和有效性进行的测试结果分析得到： 从表 ３ 可以得知，对算例 １ 中的 ６ 个普通函数进行 数值积分，ＤＥＢＡ 算法相比目前的数值积分方法所 求的积分值精度都要高，且优势明显；从表 ４ 可以得 知，对算例 ２ 的奇异函数积分，ＤＥＢＡ 算法相比神经 网络算法 （ＮＮ） 精度高 ２ 个数量级，比杂草算法 （ＩＷＯ）和进化策略（ＥＳ）精度高 １ 个数量级，比粒子 群算法（ＰＳＯ）、人工鱼群算法（ＡＦＳ）、三角函数作为 泛函神经元（ＦＮ）３ 种方法的精度都要略高一些；从 表 ５ 可以得知，对算例 ３ 的积分，ＤＥＢＡ 算法分别比 矩形法、梯形法精度高 ４ 个数量级和 ２ 个数量级，比 粒子群算法和杂草算法精度高 １ 个数量级，比进化 策略、人工鱼群算法和 Ｓｉｍｐｓｏｎ 法的精度都要略高 一些；从表 ６ 可以得知，对算例 ４ 的积分，ＤＥＢＡ 算 法相比梯形法精度高 ３ 个数量级，比进化策略、粒子 群算法和 Ｓｉｍｐｓｏｎ 法精度高 １ 个数量级，跟杂草算 法、人工鱼群算法、ＦＮ 法 ３ 种方法相比，积分精度相 当，积分误差的数量级都是 １０ －５ ；对于算例 ５ 的振荡 函数积分，ＤＥＢＡ 算法相比神经网络算法、粒子群算 法和杂草算法精度都要高 １ 个数量级；对于算例 ６ 的振荡函数积分，ＤＥＢＡ 算法比粒子群算法、杂草算 法的精度都要高 １ 个数量级，跟人工鱼群算法相比， 积分精度相当，积分误差的数量级都是 １０ －５ 。 从图 ２～８ 可以看出，ＤＥＢＡ 算法收敛性较好，经过较少的 迭代次数就能获得精度较高的积分值。 从以上数值 积分实验仿真结果表明，ＤＥＢＡ 算法是非常有效的。 ５ 结束语 本文提出了基于改进的蝙蝠算法求函数数值积 分的新方法 ＤＥＢＡ 算法，对 ６ 个不同数值积分算例 进行测试，仿真结果表明，该算法收敛性、计算精度 相比目前的数值积分方法优势比较明显，验证了 ＤＥＢＡ 算法的有效性和可行性，不仅可以对普通函 数进行积分，还可以计算振荡积分、奇异积分和被积 函数的原函数不是初等函数积分，此方法可看作对 目前数值积分方法的一种深入扩展。 同时，也可以 看作蝙蝠算法应用领域的一种补充。 如何利用其他 智能算法的优点来改进基本的 ＢＡ 算法，如与花朵 授粉算法进行融合；如何扩展 ＢＡ 算法的应用领域， 利用 ＢＡ 算法解决离散性问题；对蝙蝠算法的理论 研究（如利用 Ｍａｒｋｏｖ 链证明蝙蝠算法的收敛性）等 问题是今后进一步研究的内容和方向。 参考文献： ［１］薛密．数值数学和计算［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，１９９１： １９１⁃１９５． ［２］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版 社，１９９２： ３０９⁃３４２． ［３］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版 社，２００１： １０６⁃１０９． ［４］周永权，张明，赵斌．基于进化策略方法求任意函数的数 值积分［Ｊ］． 计算机学报， ２００８，３１（２）： １９６⁃２０５． ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇｑｕａｎ， ＺＨＡＮＧ Ｍｉｎｇ， ＺＨＡＯ Ｂｉｎ． Ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｕ⁃ ｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｍｅｔｈｏｄ ［ Ｊ］． Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ， ２００８， ３１（２）： １９６⁃２０５． ［５］韦杏琼．基于粒子群算法的数值方法研究［Ｄ］．南宁：广西 民族大学，２００９： １１⁃１５． ＷＥＩ Ｘｉｎｇｑｉｏｎｇ． Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＰＳＯ ［ Ｄ］． Ｎａｎｎｉｎｇ： Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ， ２００９： １１⁃１５． ［６］聂黎明，周永权．基于人工鱼群算法求任意函数的数值积 分［Ｊ］．数学的实践与认识， ２００９， ３９（１９）： １２７⁃１３４． ＮＩＥ Ｌｉｍｉｎｇ， ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇｑｕａｎ． Ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｒｔｉｆｉｃｉａｌ ｆｉｓｈ⁃ｓｗａｒｍ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［ Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎ Ｐｒａｃｔｉｃｅ ａｎｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ２００９， ３９（１９）： １２７⁃１３４． ［７］陈欢．杂草优化算法的改进分析及应用研究［Ｄ］．南宁：广 西民族大学，２０１３：３４⁃３９． ＣＨＥＮ Ｈｕａｎ． Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｉｎｖａｓｉｖｅ ｗｅｅｄ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｄ］． Ｎａｎｎｉｎｇ： Ｇｕａｎｇｘｉ Ｕｎｉｖｅｒ⁃ ｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ， ２０１３： ３４⁃３９． ［８］ ＹＡＮＧ Ｘｉｎｓｈｅ． Ａ ｎｅｗ ｍｅｔａｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ｂａｔ⁃ｉｎｓｐｉｒｅｄ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ［Ｃ］ ／ ／ Ｎａｔｕｒｅ Ｉｎｓｐｉｒｅｄ Ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｆｏｒ Ｏｐｔｉｍｉｚａ⁃ ｔｉｏｎ． Ｂｅｒｌｉｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ⁃Ｖｅｒｌａｇ， ２０１０： ６５⁃７４． ［９］盛晓华，叶春明．蝙蝠算法在 ＰＦＳＰ 调度问题中的应用研 究［Ｊ］．工业工程， ２０１３， １６（１）： １１９⁃１２４． ＳＨＥＮＧ Ｘｉａｏｈｕａ，ＹＥ Ｃｈｕｎｍｉｎｇ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｆｌｏｗ⁃ｓｈｏｐ ｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ［ Ｊ］． Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊｏｕｒｎａｌ， ２０１３， １６（１）： １１９⁃１２４． ［１０］ＫＯＭＡＲＡＳＡＭＹ Ｇ， ＷＡＨＩ Ａ． Ａｎ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｋ⁃ｍｅａｎｓ ｃｌｕｓ⁃ ｔｅｒｉｎｇ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｕｓｉｎｇ ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［ Ｊ］． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ， ２０１２， ８４（２）： ２６３⁃２７３． ［１１］ ＹＡＮＧ Ｘ Ｓ，ＧＡＮＤＯＭＩ Ａ Ｈ． Ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ： ａ ｎｏｖｅｌ ａｐ⁃ ｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｇｌｏｂａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｊ］．Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１２， ２９（５）： ４６４⁃４８３． ［１２］ ＹＡＮＧ Ｘ Ｓ． Ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ［ Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｏ⁃Ｉｎｓｐｉｒｅｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２０１１， ３（５）： ２６７⁃２７４． ［１３］刘长平， 叶春明．具有 Ｌｅｖｙ 飞行特征的蝙蝠算法［ Ｊ］．智 能系统学报，２０１３， ８（３）： ２４０⁃２４６． ＬＩＵ Ｃｈａｎｇｐｉｎｇ，ＹＥ Ｃｈｕｎｍｉｎｇ．Ｂａｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｈａｒ⁃ ａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｌｅｖｙ ｆｌｉｇｈｔｓ［ Ｊ］．ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉ⁃ ｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍ， ２０１３， ８（３）： ２４０⁃２４６． ［１４］ＳＴＯＲＭ Ｒ， ＰＲＩＣＥ Ｋ． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｄａｓｈ ａ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ｆｏｒ ｇｌｏｂａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｃｏｎｔｉｎｕ⁃ ｏｕｓ ｓｐａｃｅｓ［ Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｌｏｂａｌ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，１９９７（１１）： ３４１⁃３５９． ［１５］ ＨＡＵＰＴ Ｒ Ｌ， ＨＡＵＰＴ Ｓ Ｅ． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ［Ｍ］． Ｎｅｗ Ｊｅｒｓｅｙ： Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ＆ Ｓｏｎｓ， ２００４： １⁃２５． ［１６］李明，曹德欣． 混合 ＣＳ 算法的 ＤＥ 算法［ Ｊ］．计算机工程 ·３７０· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷