第一章鲁棒控制问题及其数学描述 §1.1控制系统的鲁棒性 1.1.1鲁棒性及鲁棒控制的基本概念 鲁棒性是英文 ROBUSTNESS一词的音译.它指的是在外界干扰或系统模型发生变化的情况下系统 性能的保持能力。按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制 对控制系统的设计一般都基于控制对象的某一数学模型,如传递函数矩阵或状态空间表达式,并要求 这一模型的所有参数都是已知的。这个模型叫做控制对象的标称模型。根据标称模型可以设计控制器,使 得控制系统具有某种性能.例如在保证稳定性这一控制系统应具备的最基本的性能的基础上,可对系统的 超调、稳态误差以及频率响应特性等提岀要求.但控制对象的实际模型不可能精确地知道,例如用系统辩 识的方法只能得到参数的估计值,为简化设计而忽略掉的一些动特性或用线性化模型代替非线性系统,因 元器件老化而导致的性能退化和参数值的改变,作为设计依据的标称模型只能近似地描述控制对象。于是 根据标称模型进行设计而获得的性能在系统的实际运行过程中不一定得到保证.当系统的实际模型与标 称模型之间存在偏差而系统的某一性能仍能保持,则称这种性能是鲁棒的. 鲁棒控制问题可大致分为鲁棒性分析和鲁棒综合两个方面.鲁棒性分析研究的问题是:当系统中不 确定因素在某一给定范围内变化时,系统性能是否保持不变。例如,线性定常系统的稳定性由闭环系统的 特征多项式的根的分布所决定,对于连续时间系统,如果特征多项式的根全部位于左半开平面,则系统稳 定。当特征多项式的系数全部已知时,对这些系数进行一些代数运算,即可确定其根的分布情况.但当多 项式的系数不完全知道,而仅知道每个系数的取值范围,就得到一族多项式.要研究的问题是:当多项式 的系数在给定的范围内任取值时,是否所有的多项式都是稳定的。鲁棒综合研究的问题是:设计一个控制 器,使得系统中不确定因素在某一范围内变化时系统仍具有要求的性能指标.鲁棒综合的一个例子是鲁棒 镇定问题.例如,设计一个控制器,当控制对象的参数在给定的范围内变化时,闭环系统总是稳定的。注 意,这里强调了设计的是一个控制器.这与自适应控制的策略有明显的不同.自适应控制系统具有的适 应性,是通过改变控制器的参数获得的。而鲁棒控制系统中的控制器则是一个,即控制器的结构和参数 都是不变的。鲁棒控制系统的这个特性使得控制器的实现更为容易,更为经济 系统中的不确定因素可分为结构和非结构两类。多项式系数中的不确定性即为结构不确定性的一种, 又叫徹参数不确定性。为简化建模或控制而忽略掉的动特性则属于非结构不确定性,如机电系统的动特性 主要取决于机械子系统,电气部分子系统的动特性则可忽略.对于不同的不确定因素,分析和综合的方法 不同,但又有联系 由于不确定因素存在于任何一个控制系统中,任何一个可实际运行的控制系统的设计都应是鲁棒的 (事实上,任何成功的反馈控制系统都具有某种鲁棒性)。所以鲁棒控制问题一直是控制学科和其它相关学 科重要的研究领域。近20年里,这个领域的研究取得了一些决定性的进展.特别要提到的是关于区间多 项式族鲁棒稳定性分析的 Kharitonov方法,和关于多项式多面体鲁棒稳定性分析的棱边定理.这些结果 给具有参数不确定性的控制系统的鲁棒性分析提供了强有力的工具.∞控制理论则为具有非结构不确 定性的控制系统的鲁棒综合问题提供了系统化的解决办法 §1.12鲁棒控制问题举例 图11是单级倒立摆系统的示意图.小车M在推力u的作用下前后移动,以将倒立摆pp保持在与 水平面垂直、自由端p′在上的姿态.这可以认为是杂技演出的一个经典节目的示意图,也可认为是运载 火箭发射騰空前姿态控制问题的示意图.前者完全靠杂技演员M的经验进行控制,并不需要建模、仿真 等复杂的过程。用控制学科的术语,这已经属于目能第一的范畴.后者则需要对运载火箭的姿态控制问 题进行建模、仿真,以制定合适的控制策略 忽略摆的章鲁m的分布性和摆控的变制,可以将摆近似为位于摆问1题(章及)其数与其学定端p1 性联结的一个章1..忽略摆在运动时的空气动力学特性等一些制要因素,可用下述非线性常系分方程统t✈✉✈✇②①✈③✈④✈⑤✈⑥✈⑦✈⑧✈⑨✈⑩✈❶✈❷✈❸ ❹❚❺❼❻ ❺❾❽➀❿➀➁➀➂➄➃➄➅➀➆➄➇ ➈ ➉❀➊ ➉❀➊ ➉➌➋✟➍✟➎✟➏✟➋✟➍✟➐☎➑✟➒☎➓✟➔☎→✟➣ ↔☎↕☎➙☎➛☎➜☎➝✘➞✸➟➡➠✶➢➥➤➦➥➧➥➨❼➤ ➤➫➩☎➭☎➯☎➲☎➳☎➵✍➸☎➺☎➯☎➛☎➻☎➼☎➽☎➾☎➚☎➪☎➶☎➹☎➘☎➴☎➷☎➬☎➮☎➱☎➯☎✃☎❐☎❒☎➶☎➹ ➙✟❮✟➯✟❰✟Ï✟❮✟Ð☎➵✍Ñ☎Ò✟↔☎↕✟➙☎Ó✟Ô☎Õ☎Ö✟➯☎×✟Ø☎Ù✟Ú☎Û✟Ü☎↔☎↕✟×☎Ø✟➵ Ý✟×✟Ø✟➶✟➹✟➯✟Õ✟Ö✟➩✟Þ✟ß✟à☎á✟×✟Ø☎Ý✟â✟➯☎ã✟➩✟ä☎å✟➘✟➴✟æèç✟é✟ê☎ë✟ä✟ì☎í✟➪✟î☎ï✟ð✟ñ✟ò☎ó✟ô✟æèõ✟Ó✟Ô ö✟➩✟➘✟➴✟➯✟÷✟ø✟ù✟ä✟ß☎➛✟ú☎û✟➯✟➵➫ö✟ü☎➘✟➴✟Û☎Ü✟×✟Ø☎Ý✟â☎➯✟ý✟þ☎➘✟➴☎➵ ÿ✂✁☎ý✟þ✟➘☎➴✂✄✆☎✟Õ✟Ö☎×✟Ø✆✝✟æ✟✞ ✠×✟Ø✟➶✟➹✂✡✟ø✟ã✂☛✟➙✟❮✟➵✌☞✟ç✟➻☎❰✂✍✂✎✆✏✟➙✟ö☎➩✟×✟Ø☎➶✟➹✂✑✂✡✆✒✟➯✂✓☎à✂✔✟➯☎➙✟❮✟➯☎à✂✕✂✖☎æ✗✄✟Ý☎➶✟➹✟➯ ✘✂✙✛✚✗✎✟ï✂✜✂✢✂☎✂✣✂✤✆✥✛✦✧✑✂★✟➙✆✩✂✪✬✫✓Ó✟Ô☎➵✟✭✟×☎Ø✟Ý☎â✟➯✆✮✛✯✍➘☎➴✆✰✧✄☎❮✂✱✛✲✧✳✟û✆✴✟æ✟☞☎ç✆✵✟➶✟➹✂✶ ✷➯✟Ù✂✸✛✹✍❮✠✂✺ù✟ä✟➯✂✻☎Ö✂✼✟æ✟✽✂✾✝➱☎Õ✟Ö✂✿❁❀✧❂✧❃☎➯✟➩✂❄✛❅✧★✟➙☎➪✆✵✂❆✝➙☎➱✟➘✟➴✆❇✆❈✂❉✆❆✝➙✟➶☎➹✟æ❋❊ ●✝✂❍✂■✟➱✂✿✂❏✂❑✟➯✟➙✟❮✂▲☎➱✂▼✟ù☎ä✂✼✟➯✛◆✝➮✟æ✌❖✆✽✝Õ☎Ö✆P✧✁☎➯✟ý✟þ☎➘✟➴✛✹✍❮✆◗✂❘✂✳✆❙✂❚✟×☎Ø✟Ý✟â☎➵ á✟➛ ÿ✆✁☎ý☎þ☎➘☎➴✆❯✆❱☎Õ☎Ö✆✿✛❲✠➯☎➙☎❮☎➻☎➶☎➹☎➯✛✮✛✯✧❳✆❱✆❨✛❩✬❬❭✰✟➩✆✏✠✆✺❰✆✍☎➵✂❪✝➶☎➹☎➯✛✮✛✯✝➘☎➴✛❫✟ý þ✟➘✟➴✆❴✝ñ✂❵✟➻✆❛✂✢✆✿☎➶✟➹☎➯✟ã☎➩✟➙☎❮✆❜✟❮☎❰✟Ï☎æ❭❝✟þ☎ö✆☛✟➙☎❮✟➛☎↔✟↕☎➯✟➵ ↔☎↕☎×☎Ø✬❞❭❡✆✄✆❢✆❑✆❣✛✽✟↔☎↕☎➙✆❣✆❤✆▼☎↔☎↕✆✐✆❥✆❦☎ü☎Ù✛❧✟➵✍↔☎↕☎➙✆❣✆❤✆♠❁♥✟➯✬❞❭❡☎➛❁♦❭❪✝➶☎➹♣❬❭✰ ✲✧✏❁❊✧q✍➻✟ã✟➩✆r✧✏✆s✬t✆✉➮✟➱✛✈✝æ ➶☎➹✟➙✟❮☎➛✆✇✝❰☎Ï✆✰✟➮✟➵✟☞☎ç✟æ①❆✝➙✂✏✛②✝➶☎➹✟➯✂✎✆✏✟➙♣③✧④❭⑤✟➶✟➹✟➯ ★✆⑥✂⑦✧⑧✟ô✟➯✟ÿ✟➯✂❣✆⑨✟÷✂⑩✆✏✟æ Ý☎á✂❶✆❷✛✈✍ñ☎➶✟➹✟æ➫ç✂❸✆★✆⑥✂⑦✂⑧✟ô✟➯☎ÿ✂❹✆❺✂❻☎á✂❼✂❽✆❾✂❿✆❧✟æ✟❝☎➶✟➹✂✎ ✏✟➵➀❪❭★✆⑥✂⑦✧⑧✟ô✟➯✟➶☎ä✂❹✂❺☎ú✟û❁✈✍æ Ý✟ö✆❄✟➶☎ä✂❯✂❱☎➩✂❄✆❇✟ä✆❳✂➁✟æ❭➂❭✄✆✲✧✏✆➃✟ÿ☎➯✂❣✛⑨✝✃✟❐☎➵①✭✛❪✧⑦ ⑧✟ô✟➯✟➶✟ä✆✰✂➄✧❹✟û✆✴✟æ①✿✂➅☎û✂✴✛➆✝ü☎➶✟ä✟➯✆➇✂✼✛s❁t✓æ①➈✠✂✺➩✂➉✆⑦✂⑧✟ô☎➵ Ó✂♠✛♥✝➯❁❞❭❡✟➛✛♦➊❪✧⑦✧⑧✟ô ➯✟➶✟ä✟➻✆r✧✏✟➯✆s❁t✆✉➀➋✧➇✆✼✛✈✍æ➫➛✆✇✟÷✟ø✟➯✛⑦✧⑧✟ô☎ß✟➛✆✎✂✏✟➯☎➵ ↔✟↕✆✐✂❥✆♠✛♥✝➯❁❞➀❡☎➛✛♦ Õ☎Ö✟➩☎ü✟×✟Ø ✝✟æ✗✞✠➶✟➹✬❬➀✰✂✲✧✏❁❊✂q✍➻✟ã☎➩✆s❁t✛✉➮✟➱✛✈✝➶✟➹✂❜✆✡✟ø✟Ó☎Ô✟➯✟➙☎❮✟➺✟ý✟➵è↔✟↕✆✐✂❥✟➯✟➩☎ü✂☞✂➌☎➛✟↔✟↕ ➍✂✏❁❞➀❡✟➵①☞✟ç✟æ Õ✟Ö☎➩✟ü☎×✟Ø✆✝✟æ❭❪✍×☎Ø✟Ý☎â✟➯✟ù☎ä✟➻✛r✧✏☎➯✆s✬t✆✉➮✟➱❁✈✍æ✧④❭⑤✟➶✟➹✛➎✝➛✂✎✆✏✟➯☎➵➊➏ ➐✟æ✍ö✂➑✂➒✂✙❁➓✓Õ☎Ö✟➯☎➛→➔❭➣ ×✟Ø✂✝☎➵✍ö✆❫↕↔✟➙✂✑☎×✟Ø☎➯✂➛✛❂✝ø♣➜❭➝✝➯✛✰✛➞✍➵➟↔✌➙✆✑✟×☎Ø☎➶✟➹✆✡✟ø☎➯✂➙ ✑✟➙✟æ✍➛✂➠✂❨✆◆✝➮☎×✟Ø✆✝☎➯✟ù☎ä✆❲✠➯☎➵❭✿✟↔☎↕✟×☎Ø☎➶✟➹♣❬➯☎×✟Ø✆✝✂❝☎➛→➔❭➣ æ✂➂✍×✟Ø✆✝☎➯✂➡✆➢✂▼☎ù✟ä ß✟➛✆✰✝➮✟➯✟➵✍↔✟↕☎×☎Ø✟➶☎➹✟➯☎ö✟ü✆★☎➙✂✞✠×☎Ø✂✝☎➯✆✮✂➤✆➥✆✽✂➦✛➧✝æ❭➥✆✽✆➨✂➩✟➵ ➶✟➹✬❬➯✆✰✂✲✧✏❁❊✧q❭✄✂❣✆✽✧➡✂➢✂▼✆❉✧➡✂➢✂❦✂➫☎➵➭⑦✧⑧✟ô✟➶✟ä✬❬➯✛✰✂✲✧✏✟➙✛➂✂✽✧➡✂➢✆✰✂✲✧✏☎➙✟➯✟➩✂☛✟æ ➯Û✟Ü✟ù✟ä✆✰✂✲✧✏✟➙✟➵✌✽✆✾✝➱✂➲☎➘✟➪✟×✟Ø✆✿✛❀✧❂✂❃✟➯✆❅✂★✟➙✂❝✆➳✟á✆❉✧➡✆➢✆✰✆✲✧✏✟➙✟æèç✂➵♣➸➶✟➹✟➯✛❅✧★✟➙ ➺✝Ó✂➇✂⑩✟á✂➵✂➻✂➌✟➶✟➹☎æ❭➸➊➼✂❺✂❣✆➌✟➶☎➹✟➯✆❅✂★✟➙✂❝✆✄✛❀✂❂✝➵ Ý☎á✆✰❁➞✓➯✆✰✆✲✧✏✬❊✧q✍æ❋❣✂❤✂▼✆✐✂❥☎➯✟Ù✂✸ ✰✛➞✓æ❭✭➯ø✂➽✟➶☎➵ ③ á✛✰✆✲✂✏✬❊✂q✧❵☎➻☎á✛➋✂➾☎➩☎ü☎×☎Ø☎➶☎➹♣❬✓æ✧➋✂➾☎➩☎ü✆✄✛✮✛✯✧❳✆❱☎➯☎×☎Ø☎➶☎➹☎➯☎Õ☎Ö☎ß✆✑☎➛☎↔☎↕☎➯ ➚➪✮✧✖✟æ✟➋✧➾✂➶✂➹✟➯✂➘✂➴✟×✟Ø☎➶✟➹✟ß✆✡✟ø✟ã✆☛✟↔✟↕☎➙✂➷✶➵è÷✂☎✟↔✟↕✟×✟Ø❁❞➀❡✟➩✂➬✟➛✟×☎Ø✟å✂➮✆▼✂➃✟➸✆➱✂✃✟å ➮✂❐✟Ó✟➯✂♠✛♥❭❒✆❮✟➵❭◗Ï❰ Ð✌Ñ✂➑✟æ✓ö✟ü✂❒✂❮☎➯✂♠❁♥❭➇✠➓✍➩✂❄✆⑩✂✏☎➙☎➯✂❯✛Ò✝➵➀★✆Ó☎Ó✂✪✺➯☎➛✂✃☎á❁Ô✍ñ✆⑦ ⑧☎ô✆➉☎↔☎↕✆✎✆✏☎➙✆❣✆❤☎➯ÖÕØ×ÙÚ Û Ü ÝÞÝß Ù✆✸☎æ❭▼✆✃☎á✛⑦✂⑧☎ô✛⑦✆❧✂à☎↔✟↕✆✎✆✏✟➙✆❣✆❤☎➯✂á✆â✆✏✂ã☎➵✍ö✆❄✆➡✂❸ r✂✡☎ø☎ù☎ä✛✰✆✲✂✏☎➙☎➯☎×✟Ø☎➶☎➹✟➯☎↔☎↕✟➙✆❣✆❤✆✪✂ä✬➓❭➒✟ø☎Ð☎➯✂å✆✡☎➵çæ❋è✡×☎Ø✆ã✆é✆❝✛✽✂✡☎ø✛❉✂➡✆➢✛✰✂✲ ✏✟➙✟➯✟×✟Ø✟➶✟➹☎➯✟↔☎↕✆✐✂❥✬❞➀❡✆✪✂ä✬➓✍➶✟➹☎➱✟➯✆ê✂⑩✛ë✧✸☎➵ ➈ ➉❀➊ ➉❀➊ ì ➋✟➍✟➐✟➑✛í❭î✂ï✆ð ñóò ô ò ➛✆õ✆ö✆÷✆ø✆ù☎➶☎➹☎➯✂ú✆➐ ñ➵✧û✆üóý ➻✆þ☎Ðóÿ➫➯✆❖✛✵✟❒✁￾✁✂☎✄✆❅✟æ❭☎✁✆✂÷✆ø✆ù✞✝✝✟ ❰☎Ï☎➻✛❫ ✠✆❿✛❧☛✡✆➬❁✚✬↔❭③✌☞✍✝✟ ➻✆✖☎➯☎✎✟ï☎➵✍ö✆✄✆☎✁✏✛✽✟➛✁✑✁✒✁✓❁✫✍➯☎➩✟ü✛➨☛✔✁✕✗✖ ➯✆ú✆➐ñæ✙✘✆✄☛✏✛✽✟➛✆❳☛✚ ✛☛✜✟➷☛✢✁✣✝ð☛￾☎✎✝ï☎×✟Ø✬❞➀❡☎➯✂ú✆➐ñ➵✤￾✁✥✆➄✂❹☛✦✁✑☛✒✁✓✁✧óý✂➯✆➨✩★✂❯✂❱✟×✟Ø✟æ✓õ✛✰✁✪✝Ó✆➲✟➘❁✚✬✫☛✭ ✩☛✮☛✑✟➯✂❨✆❩✝➵✧✵✟×✟Ø☎å✆➮✟➯✁✯☛✰☎æ✍ö✟ú✛➨✧➳☎á✲✱✩✳☛✴✁✵ ➯✆s✁✶✝➵✙✂✁✥✂❝☎✪✝Ó☎Ý✂❳✁✚☛✛✁✜☎➯✁✎✟ï✟×☎Ø❁❞ ❡✂❯✂❱✂➲✟➘✛✚✌✫☛✭☎æ❭☎☎Ø✂✏✆❥✂➙☎➯✟×☎Ø✆➛✆❂✟➵ ❀✂❂✂ù☎➯☎✷☛✸✺✹➀➯✆❣✛⑨✟➙✆▼✆ù✁✻☎➯☎➮✁✼☎æ❭✄✂☎✁✆✆ù✂◗✆❘✛✽✧❻☎á✆ù✁✽ ò ✾ ❰ ➚✷☎✿❭➷❁❀✁❂✛❫✂➃❄❃➀✏✁☞❅✝❇❆ ➙✂➽✂➡✟➯✟➩✟ü✁✷✁❈✍➵❊❉✛❀✂❂✧ù✟➻✆❳✆❅✆✈✍➯☎ð✂➼✆❅✟Ð✟å✂★☎➙✂✩✟➩✆❄☛❋✟Ó✬❊✧q✍æ✌✄✆✵✝❒✆❚✆❉✂❆✝➙✛②✩●✂❣☎Ù✆❩✩❍ ò