第五章,向量几何和向量代数 交换律 a+b=b+a 结合律 a+b)+c=a+b+c) 注]∶因为一般的变换组合都是满足结合律的,而位移向量的加法是定 义为平移的组合,当然也会满足结合律。再者,由 (AB+BC)+CD=AC+CD=AD AB +(BC +CD)=AB+BB=AB 亦可以直接验证位移向量的加法结合律。 零和可逆性氵以0表示恒等变换这个特殊的平移·(-a)表示和a互逆 的平移,则有 0+a=a+0=a和a+(-a)=(-a)+a=0恒成立 注]:平移和[定理5,2的证明都和空间中的「平行性」( parallelism)以 及平行四边形定理密切相关的。而交换律a+b=b+a更可以想成是 平行四边形定理的向量表述形式。由此可见’往後我们每次运用向量 加法交换律,其实也就是对于所研讨的几何问题用了一次平行四边形 定理 5.2.1相似三角形定理和位移向量的倍积 一个数a的整数倍n·a其实就是n个a相加的总和。同样我们也 自然地把η个(位移向量)a相加的总和定义为倍积n·a,亦即 +a,(n+1)·a=n·a+a 由上述位移向量的整数倍的定义·容易直接验证下列运算律·即 m·a+n·a=(m+n).a (i)m.(n·a)=(mn 基础几何学之✯✰✯ ✱✳✲✖✴✜✵✥✶✄✷✥✸✺✹✥✻✭✶✄✷✩✼✾✽ ✿❁❀✥❂ ❃ ❄❆❅❈❇❊❉❋❇●❅❈❄ ❍✄■ ❂ ❃ ❏❑❄❆❅❈❇▼▲◆❅✆❖❆❉❋❄❆❅P❏❑❇◗❅✆❖❘▲ ❙❯❚❲❱ ❃❨❳✆❩✣❬✄❭✫❪❴❫❊❀❴❵ ■✩❛✫❜✩❝P❞✘❍✄■❂❴❪❢❡❤❣✺✐❦❥ ✶❧✷ ❪❁♠✭♥ ❜✩♦ ♣ ❩✾q❋❥r❪✣❵ ■ ❡ts✈✉✜✇✣① ❝✜❞✥❍❋■❂③②❆④✜⑤⑥❡❨⑦ ❏⑨⑧❶⑩❷❹❸ ❅✄⑧❺⑩❸❤❻▲◆❅✄⑧❼⑩❻❾❽ ❉✣⑧❿⑩❷❹❻ ❅✄⑧❼⑩❻❾❽ ❉✣⑧➀⑩❷❹❽ ❷❹❸⑧✰⑩ ❅P❏⑨⑧❺⑩❸❤❻ ❅✄⑧❼⑩❻❾❽▲➁❉✣⑧❶⑩❷❹❸ ❅✄⑧➂⑩❸❤❽ ❉❦⑧❺⑩❷❹❽ ➃P➄r➅P➆❧➇✩➈❦➉ ✐✾❥ ✶✄✷ ❪✺♠➊♥ ❍❋■❂③② ➋ ✻ ➄✜➌✜➍ ❃ ➅➏➎➑➐✥➒❋➓✣➔ ❫➑❀➣→✩↔❋↕✜➙➣❪✜q❧❥③❡➛❏ ⑧ ❄➜▲ ➐✥➒ ✻ ❄➑➝ ➌ ❪✩q❋❥➞❡❆➟P➠ ➎ ❅❈❄✟❉✄❄❤❅ ➎ ❉✄❄ ✻ ❄❤❅P❏ ⑧ ❄➜▲➁❉✥❏ ⑧ ❄➜▲◆❅❈❄➡❉ ➎ ➓❦➢❦➤ ❙❯❚✆❱ ❃❹qP❥ ✻ ❙ ♦✜➥⑥➦➨➧➫➩ ❱ ❪ ➉➯➭ ❛ ✻➯➲✾➳✘➵ ❪✖➸➺q✜➻ ➍➽➼ ❏❑➾➀➚❿➪➶➚❿➹➘➹➘➴➷➹➘➬➘➮✃➱➡▲ ➅ ❐ qP➻r❒✜❮✩❰ ♦P➥✫Ï✜ÐPÑ➊Ò ❪❢②❨❣✣✿✺❀✘❂Ó❄❤❅❈❇❊❉✄❇◗❅❈❄❁Ô ➄r➅✜Õ✜➢ ❜ q✜➻❴❒✜❮❦❰ ♦✜➥ ❪ ✶P✷ ➐✥Ö ❰➊×Ø②●⑦✄Ù ➄rÚ ❡ÜÛ✥Ý➣Þ✩ß✘àrá✾â➣ã ✶❋✷ ♠➯♥❦✿❧❀➣❂✎❡❾ä✭å❧✇✾æ ❜✜ç✘è✣éPêrë ❪ ✸✄✹íì❈î ã➯ï❁❬✾á✥q✜➻✫❒✜❮✣❰ ♦❋➥ ② ðòñôóòñöõ ÷ùøûúýü➯þ ÿ ✁✄✂✆☎✞✝✠✟☛✡✌☞✎✍✆✏ ❬✾↔ ✽✠✑ ❪✓✒ ✽✕✔✗✖✙✘✚✑ ä✭å❁æ ❜ ✖ ↔ ✑ Ñ ♠➊❪✜✛ ✻ ②✣✢✥✤➣ÞPßr✇ ✦ ✉✕✧✩★ ✖ ↔✫✪ ✐❦❥ ✶❧✷✄✬ ❄ Ñ ♠✭❪✭✛ ✻ ♦ ♣ ❩ ✔✓✮ ✖✯✘ ❄❊❡ ➃✓✰ ❃ ✖✱✘ ❄➡❉❋❄❤❅❈❄❆❅✎✲✳✲✳✲ ❅❈❄ ✴ ✵✷✶ ✸ ✹✻✺ ✼ ❏ ✖ ❅✾✽ ▲ ✘ ❄➡❉ ✖✱✘ ❄❤❅❈❄ ④✜⑤✎❏ ⑧ ✖▲ ✘ ❄➡❉ ✖✱✘ ❏ ⑧ ❄▲ ❉ ⑧ ❏ ✖✯✘ ❄➜▲Ü② ⑦❀✿ Ö ✐❦❥ ✶✄✷ ❪✓✒ ✽❁✔ ❪ ♦ ♣ ❡❃❂❅❄ ➆✄➇✩➈❦➉❇❆✭❈ â✭❉❋❂➞❡ ✰ ❃ ❏❑➬❯▲❋❊ ✘ ❄❤❅ ✖✱✘ ❄➡❉✾❏●❊✘❅ ✖▲ ✘ ❄ ❏❑➬➘➬❯▲❍❊ ✘ ❏ ✖✱✘ ❄➜▲➁❉✥❏●❊✖▲ ✘ ❄ ■❑❏ ✸✺✹❅▲✾▼✓◆