2006春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 4.2向量组的线性相关与线性无关 设a1,C2,…,a是n维向量,若存在不全为 零的数k1,k2,…,k,使得 k1C1+k,a,+…+k 成立,则称向量组a1,C2,…,a,线性相关.否则 称为线性无关 只有一个向量的向量组{a},如果a=0,则 向量组是线性相关的;如果C≠0,则向量组是 线性无关的. 一个不少于2个向量的向量组若线性相关, 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示.反之,若一个向量组中,有一个 向量可以由其余向量线性表示,那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是:向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 这个命题中要特别注意的是"有一个"和 "其余"这两个词.一个向量组线性相关,则 至少有一个向量可以由其余向量线性表示,而 不是每个向量都可以由其余向量线性表示 例如ax1=(1,0,0),a2=(2,0,0)y2006 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—5 ４． 2 向量组的线性相关与线性无关 设α α α s , , , 1 2 L 是n维向量，若存在不全为 零的数 ，使得 k k ks , , , 1 2 L k1α 1 + k2α 2 + L+ ksα s = 0 成立，则称向量组α α α s , , , 1 2 L 线性相关．否则 称为线性无关． 只有一个向量的向量组{α}，如果α = 0，则 向量组是线性相关的；如果α ≠ 0，则向量组是 线性无关的． 一个不少于２个向量的向量组若线性相关， 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个 向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组 是线性相关的． 这个命题的等价命题就是：向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示． 这个命题中要特别注意的是＂有一个＂和 ＂其余＂这两个词．一个向量组线性相关，则 至少有一个向量可以由其余向量线性表示，而 不是每个向量都可以由其余向量线性表示． 例如 ( ) ， T α1 = 1, 0, 0 ( ) T α 2 = 2, 0, 0