第五章积分理论 本章定义了可测函数的 Lebesgue积分,并讨论了新积分的性质、计算方法 及其与旧( Riesman)积分的关系,在条件相当弱(相对 Riesman相应定理条件中 的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得 了 Riesman可积的本质特征;最后研究了重积分与累次积分的关系 §5.1非负函数积分 有了第四章的准备之后,就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义 大、小和 S(D, f)=2 y,mELy;<y 1, s(D, f)=2yi-mELy-sfy, I 然后分别规定supS(D,f)、infs(D,f为上、下积分值,且进一步证明二者相等 从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是 Lebesgue创立新积分的原始思路, 也是传统教材介绍 Lebesgue积分定义的普遍方法 然而在第四章研究可测函数的结构时,我们发现函数可测的实质是函数正 负部下方图形可测,再加之由数学分析我们已经知道:对连续函数而言(R)积分 值是函数曲线与x轴,x=a,x=b所围的x轴上、下方图形面积的代数和,现 遵循此基本思路直接定义新积分概念。 定义5.1.1若f(x)为可测集E上的非负可测函数,则称mG(,E)为f在 E上的 Lebesgue积分值,记为u)Jf,也简称mG(,E)为f在E上的积分值, 并简记fdx。若f()为可测集E上的一般可测函数,且∫fd=m(,B), ∫fd=m(,)至少有一个有限,则称f(x)在E上存在积分值,并规定积 分值为 「fdx=fdx-』fd=m(,E)-m(C,E) 如果一∞<[fdx<+∞,则称f在E上可积。第五章 积分理论 本章定义了可测函数的 Lebesgue 积分，并讨论了新积分的性质、计算方法 及其与旧(Riemman)积分的关系，在条件相当弱(相对 Riemman 相应定理条件中 的一致收敛而言)的条件下证明了积分的极限定理，并利用积分的极限定理获得 了 Riemman 可积的本质特征；最后研究了重积分与累次积分的关系。 §５.１ 非负函数积分 有了第四章的准备之后，就可以根据对可测集上定义的可测函数 f 先定义 大、小和 Ｓ(D,f)＝∑= n i 1 y i mE[y i−1 ≤f<y i ]， s(D,f)=∑= n i 1 y i−1 mE[y i−1 ≤f<y i ] 然后分别规定 D supＳ(D,f)、 D inf s(D,f)为上、下积分值，且进一步证明二者相等， 从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路， 也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 然而在第四章研究可测函数的结构时，我们发现函数可测的实质是函数正、 负部下方图形可测，再加之由数学分析我们已经知道：对连续函数而言(R)积分 值是函数曲线与 x 轴，x＝a，x＝b 所围的 x 轴上、下方图形面积的代数和，现 遵循此基本思路直接定义新积分概念。 定义５.１.１ 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，则称 mG ( ) f , E 为f在 E 上的 Lebesgue 积分值，记为(L) ∫E fdx,也简称 mG ( f , E)为 f 在 E 上的积分值， 并简记∫E fdx。若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，且∫E f + dx＝mG (f , E) + ， ∫E f − dx＝mG (f , E) − 至少有一个有限，则称 f(x)在 E 上存在积分值，并规定积 分值为 ∫E fdx＝∫E f + dx－∫E f − dx＝mG (f , E) + －mG (f , E) − ； 如果－∞＜∫E fdx＜＋∞，则称f在E 上可积