注5.1.1此处作“fdx,Jfd至少有一个有限”的限制在于保 证不出现∞-∞的无意义表达式。 注5.1.2(L)积分定义有三大优点:定义简洁、直观明了,不需大、小 和概念,不必考虑函数是否有界,定义域测度是否有限 如何具体计算积分值呢? 1)若f为可测集E上的非负简单函数,则f(x) c,x∈E(i=1,2,3,,n),E∩E≠中(i≠j),从而f在E上的积分值 为mG(,E)=∑cmE 例5.1.1 Dinichni函数 D(x)=1x∈E1=(x为]中的有理数 0,x∈E2={;x为中的无理数 可积,且Ddx=1×mE1+0×mE2=0 2)若f(x)为可测集E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列 {中,(x)}满足0≤中,(x)≤中。(x),中。(x)→f(x)(n→+∞),则显然 G{n,E)cG(Φn,E),且G(,E)= linG(a,E),从而由测度的外极限定理知 f在E上的积分值为m(,E)=m(n,E)=m∫中,dx 当我们按定理4.2.1方法构造简单函数列{中n(x)时,m(n,E)便是f 在分划T:E E下的小和s(r,T,),即。fdx=immG(,E)= lims(f,Tn)。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似;区别 在于(R)积分直接将定义域分成区间,(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过 来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。 3)若f(x)为可测集E上的一般可测函数,则按2)分别求出注５.１.１ 此处作“∫E f − dx，∫E f + dx 至少有一个有限”的限制在于保 证不出现∞－∞的无意义表达式。 注５.１.2 (L)积分定义有三大优点：定义简洁、直观明了，不需大、 小 和概念，不必考虑函数是否有界，定义域测度是否有限。 如何具体计算积分值呢？ 1) 若 f 为可测集 E 上的非负简单函数，则 f(x)＝ c i ,x∈E i (i=1,2,3,...,n)， E i ∩E j ≠φ(i≠j)，从而f在E 上的积分值 为 mG ( ) f , E ＝∑= n i 1 c i mE i 例５.１.１ Dinichni 函数 D(x)＝ { } [ ] { } [ ]    ∈ = ∈ = ， 为 ，中的无理数 。 为 ，中的有理数 ， 0 ; 0 1 1, ; 0 1 2 1 x E x x x E x x 可积，且∫E Ddx＝1×mE1＋0×mE 2 ＝0。 2) 若 f(x)为可测集 E 上的非负可测函数，则存在 E 上的非负简单函数列 {φn (x)}满足 0≤φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→+∞)，则显然 G ( ) Φn , E ⊂ G ( ) Φn+1 , E ，且 G ( ) f , E ＝n→∞ lim G ( E) n Φ , ，从而由测度的外极限定理知： f 在 E 上的积分值为 mG ( ) f , E ＝n→∞ lim mG ( E) n Φ , ＝n→∞ lim ∫E φn dx 当我们按定理４.２.１方法构造简单函数列{φn (x)}时， mG ( ) Φn , E 便是 f 在分划 T n :E＝ U 2 1 1 + = n n k E k 下的小和 s(f,T n )，即∫E fdx＝n→∞ lim mG ( E) n Φ , ＝ n→∞ lim s(f,T n )。这与定义(R)积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似；区别 在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可能是通过将值域分成区间后反过 来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。 3) 若 f(x)为可测集 E 上的一般可测函数，则按 2）分别求出