「。f'dx,Jfdx从而获得fdx,显然测度有限的可测集E上定义的有界 可测函数均为可积函数。 以上三大步骤,不仅说明了1 lebesgue积分的可操作性,也是在证明一系列 积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。 定理5.1.1设f(x)在E上有积分值,则对任意实数a,af(x)在E上 也有积分值,且 a fdx= a fdx 证明1当α≥0时,分三种情形证明之 a)若f(x)为E上的非负简单函数,(1)式显然成立 b)若f(x)为E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列 {中n(x)}满足中。(x)≤中tn(x),中n(x)→f(x)(n→+∞), 「。afdx=m「。a中,=ma「。中,=am』中,d = ae fdx,即(1)式成立。 c)若f(x)为一般可测函数,利用b)及(af)=af,(af)=af即 「afdx=J。afdx- j af dx=a f dx-a f d fd 2°当a<0时,利用b)及(af)+=-afˉ,(af)=-af即得 「。afdx=「(a)fdx-J(a)fdx=(a)』fd-(-a) f'd=a[fdx,证毕 定理5.1.2:设f(x),g(x)在E上可积,则f(x)±g(x)也在E上可积, 且 [f+g]dx= fdx+.gdx (2)∫E f + dx，∫E f − dx 从而获得∫E fdx，显然测度有限的可测集 E 上定义的有界 可测函数均为可积函数。 以上三大步骤，不仅说明了 lebesgue 积分的可操作性，也是在证明一系列 积分性质时所采取的通用的循序渐进的方法。 定理５.１.１ 设 f(x)在 E 上有积分值，则对任意实数 α，αf(x)在 E 上 也有积分值，且 ∫E αfdx=α ∫E fdx (1) 证明 1 0 当 α≥0 时，分三种情形证明之。 a) 若 f(x)为 E 上的非负简单函数，(1)式显然成立。 b) 若 f(x)为 E 上的非负可测函数，则存在 E 上的非负简单函数列 {φn (x)}满足 φn (x)≤φ1+n (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)， ∫E αfdx＝n→∞ lim ∫E αφn dx＝n→∞ lim α∫E φn dx＝αn→∞ lim ∫E φn dx ＝α∫E fdx，即(1)式成立。 c) 若 f(x)为一般可测函数，利用 b)及(αf) + ＝αf + ，(αf) − ＝αf − 即 得∫E αfdx＝ ∫E αf + dx－ ∫E αf − dx＝α ∫E f + dx－α ∫E f − dx＝α ∫E fdx 2 0 当 α＜0 时，利用 b)及(αf) + ＝－αf − ，(αf) − ＝-αf + 即得 ∫E αfdx＝ ∫E (-α)f − dx－ ∫E (-α)f + dx＝(-α) ∫E f − dx－(-α) ∫E f + dx＝α∫E fdx，证毕。 定理５.１.２：设 f(x)，g(x)在 E 上可积，则 f(x)±g(x)也在 E 上可积， 且 ∫E [f+g]dx＝ ∫E fdx＋∫E gdx (2)