证明a)若f(x),g(x)为E上非负简单函数,则(2)式显然成立 b)若f(x),g(x)为E上的非负可测函数,则存在简单函数列 {φ(x)}、{,(x)}满足 0≤中,(x)≤中n+1(x),中n(x)→f(x)(n→+∞) 0≤,(x)≤Wn+1(x),甲n(x)→g(x)(n→+∞) 从而中,(x)+W,(x)≤中n+1(x)+甲n+1(x), 且φ,(x)+旷,(x)→f(x)+g(x)(n→+∞), [f+g]dx=lim[中n+甲n](x)dx imn[.φndx+[vndx] lim「φdx+lim fdx+[gdx,即(2)式成立。 (值得注意的是:对非负函数而言,只须可测就足以保证(2)式成立。 c)若f(x),g(x)为E上的一般可积函数,则[f+g]≤f+f+g+g 从而G[+g,E)=(+f+g2+g,B),故 nc(+g},E)≤m(r*+f+g2+g,B)<+∞,即[+g]在E上可积,同理 [f+g]在E上可积。[f+g]=[+g-[f+g]=(f-f)+(g-g-), 移项得[f+g]+f-+g^=ft+g++[f+g] 由b)得证明 a) 若 f(x)，g(x)为 E 上非负简单函数，则(2)式显然成立。 b) 若 f(x)，g(x)为 E 上的非负可测函数，则存在简单函数列 {φn (x)}、{ψn (x)}满足 0≤φn (x)≤φ n + 1 (x)，φn (x)→f(x) (n→＋∞)， 0≤ψn (x)≤ψ n + 1 (x)，ψn (x)→g(x) (n→＋∞)， 从而 φn (x)＋ψn (x)≤φ n + 1 (x)＋ψ n + 1 (x)， 且 φn (x)＋ψn (x)→f(x)＋g(x) (n→＋∞)， ∫E [f+g]dx＝n→∞ lim ∫E [φn ＋ψn ](x)dx ＝n→∞ lim [ ∫E φn dx＋∫E ψn dx] ＝n→∞ lim ∫E φn dx＋n→∞ lim ∫E ψn dx ＝∫E fdx＋ ∫E gdx，即(2)式成立。 (值得注意的是：对非负函数而言，只须可测就足以保证(2)式成立。) c) 若 f(x)，g(x)为 E 上的一般可积函数，则[f+g] + ≤f + ＋f − ＋g + ＋g − 从而 G ([ ] f g , E) + + ⊂ G (f f g g , E) + − + − + + + ，故 mG ([ ] f g , E) + + ≤mG (f f g g , E) + − + − + + + ＜＋∞，即[f＋g] + 在 E 上可积，同理 [f＋g] − 在 E 上可积。 [f＋g]＝[f＋g] + －[f＋g] − ＝(f + －f − )＋(g + －g − )， 移项得 [f＋g] + ＋f − ＋g − ＝f + ＋g + ＋[f＋g] − 由 b)得