「。[+g]'dx+」fd+』gdx 「。f'dx+。gdx+」[+gdx 「。fdx-Jfdx+』gdx- 即[[f+g]dx=[fdx+[gdx,证毕。 推论5.1.1:设f(x),g(x)在E上可积,则对任意a、β∈R, af(x)±Bg(x)也在E上可积,且 [af±βg]dx=afdx±B[gdx 定理5.1.3:1)设f(x)在E上可积,则f在E的任意一个可测子集El上 可积 2)(有限可加性)若f(x)在E,El上均可积,其中E1、E2为E的互不 相交的可测子集,且E=EI∪E2,则f(x)在E上可积,且 fdx= fdx+ fdx 证明1)因为6(,)={(x,y)1x∈,0≤y<f(x) ={(x,y)|x∈E,0≤y<f(x)}U{(x,y)|x∈E-E1,0≤y<f(x)} GU,EUG(', E-E), 于是[fd=m(,E1)≤m(C,E)=fdx<+∞∫E [f＋g] + dx＋∫E f − dx＋∫E g − dx ＝∫E f + dx＋∫E g + dx＋∫E [f+g] − dx 故 ∫E [f＋g] + dx－∫E [f＋g] − dx ＝∫E f + dx－∫E f − dx＋∫E g + dx－∫E g − dx 即∫E [f＋g]dx＝ ∫E fdx＋∫E gdx，证毕。 推论５.１.１：设 f(x)，g(x)在 E 上可积，则对任意 α、β∈R， αf(x)±βg(x)也在 E 上可积，且 ∫E [αf±βg]dx＝α ∫E fdx±β∫E gdx (3) 定理５.１.３：1)设 f(x)在 E 上可积，则f在E 的任意一个可测子集 E1上 可积。 2)（有限可加性）若 f(x)在 E1，E1上均可积，其中 E1、E 2 为 E 的互不 相交的可测子集，且 E＝E1∪E 2 ，则 f(x)在 E 上可积，且 ∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx (4) 证明 1)因为 G (f , E) + ＝{(x,y)｜x∈E,0≤y＜f + (x) } ＝{(x,y)｜x∈E1 ,0≤y＜f + (x)}∪{(x,y)｜x∈E-E1 ,0≤y＜f + (x)} ＝G ( ) 1 f , E + ∪G ( ) 1 f , E − E + ， 于是∫Ei f + dx＝mG ( ) 1 f , E + ≤mG (f , E) + ＝∫E f + dx＜+∞