同理fd=m(,E)≤n(E)=f<+∞,故f()在E上可积 2)若f(x)在E1,E2上均可积,则令 f:(x)=Jf(x)x∈E1 f2(x)= 0,x∈E1 0.x∈E f(x)x∈E2 显然,f1,f2均在在E上可积,由定理2知 IfI(x)+f2(x)]dx= fI(x)dx+ f2(x)dx 即[fdx=fdx+[fdx。证毕 定理51.4:①若m=0,则在E上定义的函数皆可积,且fx=0 ②设f(x)=g(x)a.e于E,则f(x)与g(x)有相同的可积性,且 ③(单调性)若f(x),g(x)在E上可积,且f(x)≤g(x)a.e于E,则 fdx≤ 特别地,若m≤f≤M,m+∞,则mE≤[fdx≤MmE ④(绝对可积性)设f(x)在E上可积,则丨f(x)|在E上可积,且 fdx≤[|f|d 证明:①设f(x)在E上非负,则由推论4.1.2知f(x)在E上可测,当 0≤中n(x)≤中n1(x),中,(x)→f(x)(n→+∞)时,对任意n有 中,(x)dx=0,故f在E上可积且「f(x)dx=0。同理∫Ei f − dx＝mG ( ) 1 f , E + ≤mG ( f , E)＝∫E f − dx＜+∞，故 f(x)在 E1上可积。 2)若 f(x)在 E1，E 2 上均可积，则令 f1 (x)＝ ( )    ∈ ∈ 2 1 0, , x E f x x E ， f 2 (x)＝ ( )    ∈ ∈ 2 1 , 0, f x x E x E 显然，f1，f 2 均在在 E 上可积，由定理２知 ∫E [f1 (x)＋f 2 (x)]dx＝∫E f1 (x)dx＋∫E f 2 (x)dx 即∫E fdx＝∫E1 fdx＋∫E2 fdx。证毕 定理５.１.４：①若 mE＝0，则在 E 上定义的函数皆可积，且∫E fdx＝0 ②设 f(x)＝g(x) a.e 于 E，则 f(x)与 g(x) 有相同的可积性，且 ∫E fdx＝ ∫E gdx (4) ③（单调性）若 f(x)，g(x)在 E 上可积，且 f(x)≤g(x) a.e 于 E，则 ∫E fdx≤ ∫E gdx (5) 特别地，若 m≤f≤M,mE<+∞,则 mmE≤ ∫E fdx≤MmE ④（绝对可积性）设 f(x)在 E 上可积，则｜f(x)｜在 E 上可积，且 ∫E fdx≤ ∫E |f|dx (6) 证明：①设 f(x)在 E 上非负，则由推论４.１.２知 f(x)在 E 上可测，当 0≤φn (x)≤φn+1 (x)，φn (x)→f(x) (n→+∞)时，对任意 n 有 ∫E φn (x)dx=0，故f在E 上可积且∫E f(x)dx=0